第9章数学モデルと幾何

Find the Volume and Surface Area of a Cylinder円柱の体積と表面積を求める

If you have ever seen a can of soda, you know what a cylinder looks like. A cylinder is a solid figure with two parallel circles of the same size at the top and bottom. The top and bottom of a cylinder are called the bases. The height

h

of a cylinder is the distance between the two bases. For all the cylinders we will work with here, the sides and the height,

h

, will be perpendicular to the bases.

英語のヒント

炭酸飲料の缶を見たことがあれば、円柱がどのような形かわかるだろう。円柱とは、上と下に同じ大きさの平行な円がある立体である。円柱の上と下の面を底面という。円柱の高さ

h

は、2つの底面の間の距離である。ここで扱う円柱ではすべて、側辺と高さ

h

は底面に垂直である。

円柱の図。赤い矢印が上面の半径を指し、「r、半径」とある。もう1本の赤い矢印が高さを指し、「h、高さ」とある。 — Figure 9.32図 9.32
A cylinder has two circular bases of equal size. The height is the distance between the bases.
円柱には同じ大きさの円形の底面が2つある。高さは底面の間の距離である。

Rectangular solids and cylinders are somewhat similar because they both have two bases and a height. The formula for the volume of a rectangular solid,

V = B h

, can also be used to find the volume of a cylinder.

直方体と円柱には、どちらにも2つの底面と高さがあるという共通点がある。直方体の体積の公式

V = B h

は、円柱の体積を求めるためにも使える。

For the rectangular solid, the area of the base,

B

, is the area of the rectangular base, length × width. For a cylinder, the area of the base,

B,

is the area of its circular base,

π r^{2} .

Figure 9.33 compares how the formula

V = B h

is used for rectangular solids and cylinders.

直方体の底面積

B

は、長方形の底面の面積、つまり長さ×幅である。円柱の底面積

B

は円形の底面の面積

π r^{2}

である。図9.33では、直方体と円柱で公式

V = B h

を使う方法を比較している。

（a）は辺にL、W、Hと記された直方体。その下にV＝Bh、V＝底面積×h、V＝(lw)×h、V＝lwhとある。（b）は上面の半径にr、高さにhと記された円柱。その下にV＝Bh、V＝底面積×h、V＝(πr²)×h、V＝πr²hとある。 — Figure 9.33図 9.33
Seeing how a cylinder is similar to a rectangular solid may make it easier to understand the formula for the volume of a cylinder.
円柱と直方体の共通点を見ると、円柱の体積の公式を理解しやすくなるだろう。

To understand the formula for the surface area of a cylinder, think of a can of vegetables. It has three surfaces: the top, the bottom, and the piece that forms the sides of the can. If you carefully cut the label off the side of the can and unroll it, you will see that it is a rectangle. See Figure 9.34.

英語のヒント

円柱の表面積の公式を理解するには、野菜の缶詰を考えよう。面は3つあり、上面、底面、そして側面を作る部分である。側面のラベルを注意深く切り離して広げると、長方形であることがわかる。図9.34を参照せよ。

円柱形のサヤインゲンの缶詰に、高さhと記されている。横には缶の上面と底面を表す円と、残りの部分を表す長方形がある。円の上にはC＝2πr。長方形の上辺にはl＝2πr、左辺にはh、右辺にはwとある。 — Figure 9.34図 9.34
By cutting and unrolling the label of a can of vegetables, we can see that the surface of a cylinder is a rectangle. The length of the rectangle is the circumference of the cylinder’s base, and the width is the height of the cylinder.
野菜の缶詰のラベルを切って広げると、円柱の側面が長方形であることがわかる。長方形の長さは円柱の底面の円周、幅は円柱の高さである。

The distance around the edge of the can is the circumference of the cylinder’s base it is also the length

L

of the rectangular label. The height of the cylinder is the width

W

of the rectangular label. So the area of the label can be represented as

缶の縁を一周する距離は円柱の底面の円周であり、長方形のラベルの長さ

L

でもある。円柱の高さは長方形のラベルの幅

W

である。したがってラベルの面積は次のように表せる。

To find the total surface area of the cylinder, we add the areas of the two circles to the area of the rectangle.

円柱全体の表面積は、長方形の面積に2つの円の面積を加えて求める。

The surface area of a cylinder with radius

r

and height

h,

半径

r

、高さ

h

の円柱の表面積は

S = 2 π r^{2} + 2 π r h

Example 9.53例題 9.53

A cylinder has height

5

inches and radius

3

inches. Find the ⓐ volume and ⓑ surface area.

円柱の高さは

5

インチ、半径は

3

インチである。ⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and label
it with the given information.

手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。

ⓐ
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the volume of the cylinder 円柱の体積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	let V = volume V＝体積とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. Substitute. (Use 3.14 for $π$ ) 手順4．式に表す。適切な公式を書く。代入する。（ $π$ には3.14を使う。）	$V = π r^{2} h$ $V \approx (3.14) 3^{2} \cdot 5$
Step 5. Solve. 手順5　解く。	$V \approx 141.3$
Step 6. Check: We leave it to you to check your calculations. 手順6．確かめる。計算の確認は読者に任せる。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The volume is approximately 141.3 cubic inches. 体積は約141.3立方インチである。

ⓑ
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the surface area of the cylinder 円柱の表面積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	let S = surface area S＝表面積とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. Substitute. (Use 3.14 for $π$ ) 手順4．式に表す。適切な公式を書く。代入する。（ $π$ には3.14を使う。）	$S = 2 π r^{2} + 2 π r h$ $S \approx 2 (3.14) 3^{2} + 2 (3.14) (3) 5$
Step 5. Solve. 手順5　解く。	$S \approx 150.72$
Step 6. Check: We leave it to you to check your calculations. 手順6．確かめる。計算の確認は読者に任せる。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The surface area is approximately 150.72 square inches. 表面積は約150.72平方インチである。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.54例題 9.54

Find the ⓐ volume and ⓑ surface area of a can of soda. The radius of the base is

4

centimeters and the height is

13

centimeters. Assume the can is shaped exactly like a cylinder.

炭酸飲料の缶のⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。底面の半径は

4

センチメートル、高さは

13

センチメートルである。缶は完全な円柱形とする。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and
label it with the given information.

手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。

ⓐ
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the volume of the cylinder 円柱の体積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	let V = volume V＝体積とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. Substitute. (Use 3.14 for $π$ ) 手順4．式に表す。適切な公式を書く。代入する。（ $π$ には3.14を使う。）	$V = π r^{2} h$ $V \approx (3.14) 4^{2} \cdot 13$
Step 5. Solve. 手順5　解く。	$V \approx 653.12$
Step 6. Check: We leave it to you to check. 手順6．確認する。確認は各自で行おう。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The volume is approximately 653.12 cubic centimeters. 体積は約653.12立方センチメートルである。

ⓑ
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the surface area of the cylinder 円柱の表面積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	let S = surface area S＝表面積とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. Substitute. (Use 3.14 for $π$ ) 手順4．式に表す。適切な公式を書く。代入する。（ $π$ には3.14を使う。）	$S = 2 π r^{2} + 2 π r h$ $S \approx 2 (3.14) 4^{2} + 2 (3.14) (4) 13$
Step 5. Solve. 手順5　解く。	$S \approx 427.04$
Step 6. Check: We leave it to you to check your calculations. 手順6．確かめる。計算の確認は読者に任せる。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The surface area is approximately 427.04 square centimeters. 表面積は約427.04平方センチメートルである。

Try It (2)確認問題（2題）