第9章数学モデルと幾何

9.2 Solve Money Applications9.2　金銭に関する応用問題を解く

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

この節を終えると、次のことができるようになる。

Solve coin word problems
硬貨の文章題を解く
Solve ticket and stamp word problems
チケットと切手の文章題を解く

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Solve Coin Word Problems硬貨についての文章題を解く

Imagine taking a handful of coins from your pocket or purse and placing them on your desk. How would you determine the value of that pile of coins?

英語のヒント

ポケットや財布からひとつかみの硬貨を取り出し、机の上に置くところを想像しよう。この硬貨の山の金額をどう求めるだろうか。

If you can form a step-by-step plan for finding the total value of the coins, it will help you as you begin solving coin word problems.

英語のヒント

硬貨の合計金額を求める計画を順を追って立てられれば、硬貨の文章題を解き始めるときに役立つ。

One way to bring some order to the mess of coins would be to separate the coins into stacks according to their value. Quarters would go with quarters, dimes with dimes, nickels with nickels, and so on. To get the total value of all the coins, you would add the total value of each pile.

英語のヒント

雑然とした硬貨を整理する方法の一つは、額面ごとに分けて積み重ねることである。25セント硬貨は25セント硬貨、10セント硬貨は10セント硬貨、5セント硬貨は5セント硬貨というようにまとめる。すべての硬貨の合計金額を求めるには、それぞれの山の合計金額を足す。

Image omitted because its reuse rights could not be verified.権利の確認ができないため画像を割愛。

Figure 9.4図 9.4

To determine the total value of a stack of nickels, multiply the number of nickels times the value of one nickel.(Credit: Darren Hester via ppdigital)

5セント硬貨の山の合計金額は、5セント硬貨の枚数に1枚の額面を掛けて求める。(Credit: Darren Hester via ppdigital)

How would you determine the value of each pile? Think about the dime pile—how much is it worth? If you count the number of dimes, you'll know how many you have—the number of dimes.

それぞれの山の金額はどう求めるだろうか。10セント硬貨の山について考えよう。いくらあるだろうか。10セント硬貨の枚数を数えれば、何枚あるか、つまり10セント硬貨の枚数がわかる。

But this does not tell you the value of all the dimes. Say you counted

17

dimes, how much are they worth? Each dime is worth

$0.10

—that is the value of one dime. To find the total value of the pile of

17

dimes, multiply

17

$0.10

to get

$1.70 .

This is the total value of all

17

dimes.

しかし、それだけでは10セント硬貨すべての金額はわからない。10セント硬貨を

17

枚数えたとしよう。それはいくらになるか。10セント硬貨は1枚

$0.10

であり、これが1枚の額面である。

17

枚の10セント硬貨の山の合計金額は、

17

に

$0.10

を掛けて

$1.70

と求める。これが

17

枚すべての10セント硬貨の合計金額である。

\begin{matrix} 17 \cdot $0.10 = $1.70 \\ number \cdot value = total value \end{matrix}

\begin{matrix} 17 \cdot $0.10 = $1.70 \\ 枚数 \cdot 額面 = 合計金額 \end{matrix}

You could continue this process for each type of coin, and then you would know the total value of each type of coin. To get the total value of all the coins, add the total value of each type of coin.

硬貨の種類ごとにこの操作を続ければ、種類ごとの合計金額がわかる。すべての硬貨の合計金額を求めるには、それぞれの種類の合計金額を足す。

Let's look at a specific case. Suppose there are

14

quarters,

17

dimes,

21

nickels, and

39

pennies. We'll make a table to organize the information – the type of coin, the number of each, and the value.

英語のヒント

具体例を見よう。25セント硬貨が

14

枚、10セント硬貨が

17

枚、5セント硬貨が

21

枚、1セント硬貨が

39

枚あるとする。硬貨の種類、各種類の枚数、金額という情報を整理する表を作る。

Table 9.1表 9.1
Type 種類	$Number$ $枚数$	$Value ($)$ $額面（ドル）$	$Total Value ($)$ $合計金額（ドル）$
Quarters 25セント硬貨	$14$	$0.25$	$3.50$
Dimes 10セント硬貨	$17$	$0.10$	$1.70$
Nickels 5セント硬貨	$21$	$0.05$	$1.05$
Pennies 1セント硬貨	$39$	$0.01$	$0.39$
			$6.64$

The total value of all the coins is

$6.64 .

Notice how Table 9.1 helped us organize all the information. Let's see how this method is used to solve a coin word problem.

すべての硬貨の合計金額は

$6.64

である。表9.1がすべての情報の整理にどう役立ったかに注目しよう。この方法で硬貨の文章題を解く様子を見よう。

Example 9.11例題 9.11

Adalberto has

$2.25

in dimes and nickels in his pocket. He has nine more nickels than dimes. How many of each type of coin does he have?

アダルベルトはポケットに10セント硬貨と5セント硬貨を合計

$2.25

持っている。5セント硬貨は10セント硬貨より9枚多い。それぞれ何枚持っているか。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Make sure you understand all the words and ideas.

手順1．問題を読む。すべての言葉と内容を理解していることを確かめる。

Determine the types of coins involved.
どの種類の硬貨が出てくるかを確認する。

Think about the strategy we used to find the value of the handful of coins. The first thing you need is to notice what types of coins are involved. Adalberto has dimes and nickels.

ひとつかみの硬貨の金額を求めるために使った方法を思い出そう。まず、どの種類の硬貨が出てくるかに注目する必要がある。アダルベルトは10セント硬貨と5セント硬貨を持っている。

Create a table to organize the information.
表を作って情報を整理する。
- Label the columns ‘type’, ‘number’, ‘value’, ‘total value’.
  各列に「種類」「枚数」「額面」「合計金額」という見出しを付ける。
- List the types of coins.
  硬貨の種類を書き並べる。
- Write in the value of each type of coin.
  各種類の硬貨の額面を書き込む。
- Write in the total value of all the coins.
  すべての硬貨の合計金額を書き入れる。

We can work this problem all in cents or in dollars. Here we will do it in dollars and put in the dollar sign ($) in the table as a reminder.

英語のヒント

この問題は、すべてセントで計算しても、すべてドルで計算してもよい。ここではドルで計算し、それがわかるように表にドル記号（$）を付ける。

The value of a dime is

$0.10

and the value of a nickel is

$0.05 .

The total value of all the coins is

$2.25 .

10セント硬貨の額面は

$0.10

、5セント硬貨の額面は

$0.05

である。すべての硬貨の合計金額は

$2.25

である。

Type 種類	$Value ($)$ $額面（ドル）$	$Total Value ($)$ $合計金額（ドル）$
Dimes 10セント硬貨	$0.10$
Nickels 5セント硬貨	$0.05$
		$2.25$

Step 2. Identify what you are looking for.

手順2　何を求めるのかを明らかにする。

We are asked to find the number of dimes and nickels Adalberto has.
求めるのは、アダルベルトが持つ10セント硬貨と5セント硬貨の枚数である。

Step 3. Name what you are looking for.

手順3．求めるものを文字で表す。

Use variable expressions to represent the number of each type of coin.
それぞれの種類の硬貨の枚数を文字式で表す。
Multiply the number times the value to get the total value of each type of coin.
In this problem you cannot count each type of coin—that is what you are looking for—but you have a clue. There are nine more nickels than dimes. The number of nickels is nine more than the number of dimes.
$Let d = number of dimes.$
$d + 9 = number of nickels$
Fill in the “number” column to help get everything organized.
枚数に額面を掛け、種類ごとの合計金額を求める。この問題では、各種類の硬貨を数えることはできない。それこそが求めるものだからである。しかし、手掛かりはある。5セント硬貨は10セント硬貨より9枚多い。5セント硬貨の枚数は、10セント硬貨の枚数より9多い。 $次のようにおく： d = 10セント硬貨の枚数。$ $d + 9 = 5セント硬貨の枚数$ すべてを整理するために「枚数」の列を埋める。

Type 種類	$Number$ $枚数$	$Value ($)$ $額面（ドル）$	$Total Value ($)$ $合計金額（ドル）$
Dimes 10セント硬貨	$d$	$0.10$
Nickels 5セント硬貨	$d + 9$	$0.05$
			$2.25$

Now we have all the information we need from the problem!

これで、問題から必要な情報がすべて得られた。

You multiply the number times the value to get the total value of each type of coin. While you do not know the actual number, you do have an expression to represent it.

英語のヒント

枚数に額面を掛ければ、種類ごとの合計金額が得られる。実際の枚数はわからなくても、それを表す式はある。

And so now multiply

number \cdot value

and write the results in the Total Value column.

そこで

枚数 \cdot 額面

を計算し、結果を「合計金額」の列に書く。

Type 種類	$Number$ $枚数$	$Value ($)$ $額面（ドル）$	$Total Value ($)$ $合計金額（ドル）$
Dimes 10セント硬貨	$d$	$0.10$	$0.10 d$
Nickels 5セント硬貨	$d + 9$	$0.05$	$0.05 (d + 9)$
			$2.25$

Step 4. Translate into an equation. Restate the problem in one sentence. Then translate into an equation.

手順4．方程式に置き換える。問題を一つの文で言い直し、それを方程式に置き換える。

「10セント硬貨の金額と5セント硬貨の金額の和は、硬貨の合計金額である」という文が書かれている。「10セント硬貨の金額」の下は0.10d、「と」の下は加号、「5セント硬貨の金額」の下は0.05(d＋9)、「である」に対応するのは等号、「硬貨の合計金額」の下は2.25である。

Step 5. Solve the equation using good algebra techniques.

手順5．適切な代数の手法を使って方程式を解く。

Write the equation. 方程式を書く。
Distribute. 分配法則を使う。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Subtract 0.45 from each side. 両辺から0.45を引く。
Divide to find the number of dimes. 割り算をして10セント硬貨の枚数を求める。
The number of nickels is d + 9 5セント硬貨の枚数はd＋9である。

Step 6. Check.

手順6．確かめる。

\begin{matrix} 12 dimes: 12 (0.10) & = & 1.20 \\ 21 nickels: 21 (0.05) & = & \underset{_____}{1.05} \\ $2.25 ✓ \end{matrix}

\begin{matrix} 12 10セント硬貨： 12 (0.10) & = & 1.20 \\ 21 5セント硬貨： 21 (0.05) & = & \underset{_____}{1.05} \\ $2.25 ✓ \end{matrix}

Step 7. Answer the question.

手順7　問いに答える。

Adalberto has twelve dimes and twenty-one nickels.

アダルベルトは10セント硬貨を12枚、5セント硬貨を21枚持っている。

If this were a homework exercise, our work might look like this:

これが宿題なら、解答は次のように書ける。

「それぞれの種類を何枚持っているか」の下に、4行4列の表がある。1行目は見出しで、「種類」「枚数」「額面（ドル）」「合計金額（ドル）」とある。「種類」の列は10セント硬貨と5セント硬貨、「枚数」の列はdとd＋9、「額面」の列は0.10と0.05、「合計金額」の列は0.10dと0.05(d＋9)で、その下に2.25がある。表の下には太字で「5セント硬貨」とあり、方程式0.10d＋0.05(d＋9)＝2.25が示されている。その下は2列で、左列には0.10d＋0.05d＋0.45＝2.25、0.15d＋0.45＝2.25、0.15d＝1.80、d＝10セント硬貨12枚と順に書かれている。赤い矢印が右列を指している。右列にはd＋9、赤い12を使った12＋9、5セント硬貨21枚と順に書かれている。

Check:

確認：

\begin{matrix} 12 dimes & 12 (0.10) & = & 1.20 \\ 21 nickels & 21 (0.05) & = & \underset{_____}{1.05} \\ $2.25 \end{matrix}

\begin{matrix} 12 枚の10セント硬貨 & 12 (0.10) & = & 1.20 \\ 21 枚の5セント硬貨 & 21 (0.05) & = & \underset{_____}{1.05} \\ $2.25 \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

Solve a coin word problem.硬貨の文章題を解く。

Read the problem. Make sure you understand all the words and ideas, and create a table to organize the information.
問題を読む。すべての言葉と内容を理解していることを確かめ、情報を整理する表を作る。
Identify what you are looking for.
何を求めるのかを明らかにする。
Name what you are looking for. Choose a variable to represent that quantity.
求める量を明らかにする。その量を表す変数を選ぶ。
- Use variable expressions to represent the number of each type of coin and write them in the table.
  それぞれの種類の硬貨の枚数を文字式で表し、表に書く。
- Multiply the number times the value to get the total value of each type of coin.
  枚数に額面を掛け、種類ごとの合計金額を求める。
Translate into an equation. Write the equation by adding the total values of all the types of coins.
方程式に置き換える。すべての種類の硬貨の合計金額を足して方程式を書く。
Solve the equation using good algebra techniques.
適切な代数の手順を使って方程式を解く。
Check the answer in the problem and make sure it makes sense.
答えを問題に戻して確かめ、筋が通っていることを確認する。
Answer the question with a complete sentence.
完全な文で問いに答える。

You may find it helpful to put all the numbers into the table to make sure they check.

すべての数を表に入れると、答えの確認に役立つだろう。

Table 9.2表 9.2
Type 種類	Number 数	Value ($) 値（ドル）	Total Value 合計金額

Example 9.12例題 9.12

Maria has

$2.43

in quarters and pennies in her wallet. She has twice as many pennies as quarters. How many coins of each type does she have?

英語のヒント

マリアは財布に25セント硬貨と1セント硬貨を合計

$2.43

持っている。1セント硬貨の枚数は25セント硬貨の枚数の2倍である。それぞれ何枚持っているか。

Solution解答

Step 1. Read the problem.

手順1　問題を読む。

Determine the types of coins involved.
We know that Maria has quarters and pennies.
どの種類の硬貨が出てくるかを確認する。マリアが持つのは25セント硬貨と1セント硬貨である。
Create a table to organize the information.
表を作って情報を整理する。
- Label the columns type, number, value, total value.
  各列に「種類」「枚数」「額面」「合計金額」という見出しを付ける。
- List the types of coins.
  硬貨の種類を書き並べる。
- Write in the value of each type of coin.
  各種類の硬貨の額面を書き込む。
- Write in the total value of all the coins.
  すべての硬貨の合計金額を書き入れる。

Type 種類	$Value ($)$ $額面（ドル）$	$Total Value ($)$ $合計金額（ドル）$
Quarters 25セント硬貨	$0.25$
Pennies 1セント硬貨	$0.01$
		$2.43$

Step 2. Identify what you are looking for.

手順2　何を求めるのかを明らかにする。

We are looking for the number of quarters and pennies.

25セント硬貨と1セント硬貨の枚数を求める。

Step 3. Name: Represent the number of quarters and pennies using variables.

手順3．文字で表す。25セント硬貨と1セント硬貨の枚数を変数で表す。

We know Maria has twice as many pennies as quarters. The number of pennies is defined in terms of quarters.

マリアの1セント硬貨の枚数は25セント硬貨の2倍である。1セント硬貨の枚数を25セント硬貨の枚数で表す。

Let q represent the number of quarters.

次のようにおく： q で25セント硬貨の枚数を表す。

Then the number of pennies is 2 q .

すると1セント硬貨の枚数は 2 q

Type 種類	$Number$ $枚数$	$Value ($)$ $額面（ドル）$	$Total Value ($)$ $合計金額（ドル）$
Quarters 25セント硬貨	$q$	$0.25$
Pennies 1セント硬貨	$2 q$	$0.01$
			$2.43$

Multiply the ‘number’ and the ‘value’ to get the ‘total value’ of each type of coin.

「枚数」と「額面」を掛け、種類ごとの「合計金額」を求める。

Type 種類	$Number$ $枚数$	$Value ($)$ $額面（ドル）$	$Total Value ($)$ $合計金額（ドル）$
Quarters 25セント硬貨	$q$	$0.25$	$0.25 q$
Pennies 1セント硬貨	$2 q$	$0.01$	$0.01 (2 q)$
			$2.43$

Step 4. Translate. Write the equation by adding the 'total value’ of all the types of coins.

手順4．置き換える。すべての種類の硬貨の「合計金額」を足して方程式を書く。

Step 5. Solve the equation.

手順5　方程式を解く。

Write the equation. 方程式を書く。
Multiply. 掛ける。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Divide by 0.27. 0.27で割る。
The number of pennies is 2q. 1セント硬貨の枚数は2qである。

Step 6. Check the answer in the problem.

手順6．問題に照らして答えを確認する。

Maria has

9

quarters and

18

pennies. Does this make

$2.43 ?

マリアが持つのは25セント硬貨

9

枚と1セント硬貨

18

枚である。これで

$2.43

になるか。

\begin{matrix} 9 quarters & 9 (0.25) & = & 2.25 \\ 18 pennies & 18 (0.01) & = & \underset{_____}{0.18} \\ Total & $2.43 ✓ \end{matrix}

\begin{matrix} 9 枚の25セント硬貨 & 9 (0.25) & = & 2.25 \\ 18 枚の1セント硬貨 & 18 (0.01) & = & \underset{_____}{0.18} \\ 合計 & $2.43 ✓ \end{matrix}

Step 7. Answer the question. Maria has nine quarters and eighteen pennies.

手順7．問いに答える。マリアは25セント硬貨9枚と1セント硬貨18枚を持っている。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.13例題 9.13

Danny has

$2.14

worth of pennies and nickels in his piggy bank. The number of nickels is two more than ten times the number of pennies. How many nickels and how many pennies does Danny have?

英語のヒント

ダニーの貯金箱には、1セント硬貨と5セント硬貨が合計

$2.14

ある。5セント硬貨の枚数は、1セント硬貨の枚数の10倍より2多い。ダニーは5セント硬貨と1セント硬貨をそれぞれ何枚持っているか。

Solution解答

Step 1: Read the problem. 手順1．問題を読む。
Determine the types of coins involved. Create a table. どの種類の硬貨が出てくるかを確認し、表を作る。	Pennies and nickels 1セント硬貨と5セント硬貨
Write in the value of each type of coin. 各種類の硬貨の額面を書き込む。	Pennies are worth $$0.01.$ Nickels are worth $$0.05.$ 1セント硬貨の額面は $$0.01$ 、5セント硬貨の額面は $$0.05$ である。
Step 2: Identify what you are looking for. 手順2．求めるものを特定する。	the number of pennies and nickels 1セント硬貨と5セント硬貨の枚数
Step 3: Name. Represent the number of each type of coin using variables. The number of nickels is defined in terms of the number of pennies, so start with pennies. 手順3．文字で表す。種類ごとの硬貨の枚数を変数で表す。5セント硬貨の枚数は1セント硬貨の枚数を使って定義されているので、1セント硬貨から始める。	Let $p = number of pennies$ $p = 1セント硬貨の枚数$ とおく。
The number of nickels is two more than then times the number of pennies. 5セント硬貨の枚数は、1セント硬貨の枚数の10倍より2多い。	$10 p + 2 = number of nickels$ $10 p + 2 = 5セント硬貨の枚数$

Multiply the number and the value to get the total value of each type of coin.

枚数と額面を掛け、種類ごとの合計金額を求める。

Type 種類	$Number$ $枚数$	$Value ($)$ $額面（ドル）$	$Total Value ($)$ $合計金額（ドル）$
pennies 枚の1セント硬貨	$p$	$0.01$	$0.01 p$
nickels 枚の5セント硬貨	$10 p + 2$	$0.05$	$0.05 (10 p + 2)$
			$$2.14$

Step 4. Translate: Write the equation by adding the total value of all the types of coins.

手順4．置き換える。すべての種類の硬貨の合計金額を足して方程式を書く。

Step 5. Solve the equation.

手順5　方程式を解く。





How many nickels? 5セント硬貨は何枚か。

Step 6. Check. Is the total value of

4

pennies and

42

nickels equal to

$2.14 ?

手順6．確認する。1セント硬貨

4

枚と5セント硬貨

42

枚の合計金額は、

$2.14

に等しいか。

\begin{matrix} 4 (0.01) + 42 (0.05) \overset{?}{=} 2.14 \\ 2.14 = 2.14 ✓ \end{matrix}

Step 7. Answer the question. Danny has

4

pennies and

42

nickels.

手順7．問いに答える。ダニーは1セント硬貨

4

枚と5セント硬貨

42

枚を持っている。

Try It (2)確認問題（2題）

第9章数学モデルと幾何

9.2 Solve Money Applications9.2 金銭に関する応用問題を解く

Learning Objectives学習目標

Solve Coin Word Problems硬貨についての文章題を解く

Solution解答

Solution解答

Solution解答

9.2 Solve Money Applications9.2　金銭に関する応用問題を解く