プリンキピア

第9章数学モデルと幾何

Use the Properties of Triangles三角形の性質を使う

We now know how to find the area of a rectangle. We can use this fact to help us visualize the formula for the area of a triangle. In the rectangle in Figure 9.20, we’ve labeled the length b and the width h, so it’s area is bh.
これで長方形の面積の求め方がわかった。このことを使い、三角形の面積の公式を視覚的に捉えられる。図9.20の長方形では、長さをb、幅をhと記したので、面積はbhである。
側辺にh、底辺にbと記された長方形。中央にA＝bhとある。
Figure 9.21図 9.21
The area of a rectangle is the base, b, times the height, h.
長方形の面積は底辺bと高さhの積である。
We can divide this rectangle into two congruent triangles (Figure 9.22). Triangles that are congruent have identical side lengths and angles, and so their areas are equal. The area of each triangle is one-half the area of the rectangle, or 12bh. This example helps us see why the formula for the area of a triangle is A=12bh.
英語のヒント
この長方形は、合同な2つの三角形に分けられる（図9.22）。合同な三角形は辺の長さも角も同じなので、面積も等しい。各三角形の面積は長方形の面積の半分、つまり12bhである。この例を見ると、三角形の面積の公式がA=12bhになる理由がわかる。
長方形の左上から右下へ対角線が引かれている。側辺にはh、底辺にはbとあり、それぞれの三角形に1/2bhとある。右側には「各三角形の面積」と、式A＝1/2bhがある。
Figure 9.22図 9.22
A rectangle can be divided into two triangles of equal area. The area of each triangle is one-half the area of the rectangle.
長方形は、面積の等しい2つの三角形に分けられる。各三角形の面積は長方形の面積の半分である。
The formula for the area of a triangle is A=12bh, where b is the base and h is the height.
三角形の面積の公式はA=12bhであり、bは底辺、hは高さである。
To find the area of the triangle, you need to know its base and height. The base is the length of one side of the triangle, usually the side at the bottom. The height is the length of the line that connects the base to the opposite vertex, and makes a 90° angle with the base. Figure 9.23 shows three triangles with the base and height of each marked.
三角形の面積を求めるには、底辺と高さを知る必要がある。底辺は三角形の1辺の長さで、通常は下側の辺である。高さは、底辺と向かい合う頂点を結び、底辺と90°の角をなす線分の長さである。図9.23は、それぞれの底辺と高さを示した3つの三角形である。
3つの三角形。左は直角三角形で、底辺にb、側辺にhとある。中央は鋭角三角形で、底辺にbとある。上の頂点から底辺へ点線が引かれ、底辺と直角をなしている。この点線にhとある。右は鈍角三角形で、底辺にbとある。底辺を延長した点線が、上の頂点からの点線と直角をなしており、垂直な点線にhとある。
Figure 9.23図 9.23
The height h of a triangle is the length of a line segment that connects the the base to the opposite vertex and makes a 90° angle with the base.
三角形の高さhは、底辺と向かい合う頂点を結び、底辺と90°の角をなす線分の長さである。
Example 9.33例題 9.33
Find the area of a triangle whose base is 11 inches and whose height is 8 inches.
底辺11インチ、高さ8インチの三角形の面積を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information.
手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。
.
Step 2. Identify what you are looking for.
手順2　何を求めるのかを明らかにする。
the area of the triangle
三角形の面積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it.
手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。
let A = area of the triangle
Aを三角形の面積とする。
Step 4.Translate.
Write the appropriate formula.
Substitute.
手順4．式に表す。適切な公式を書く。代入する。
.
Step 5. Solve the equation.
手順5　方程式を解く。
.
Step 6. Check:
手順6　確認：
.
Step 7. Answer the question.
手順7　問いに答える。
The area is 44 square inches.
面積は44平方インチである。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 9.34例題 9.34
The perimeter of a triangular garden is 24 feet. The lengths of two sides are 4 feet and 9 feet. How long is the third side?
三角形の庭の周の長さは24フィートである。2つの辺の長さは4フィートと9フィートである。残りの辺はどれだけの長さか。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information.
手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。
.
Step 2. Identify what you are looking for.
手順2　何を求めるのかを明らかにする。
length of the third side of a triangle
三角形の残りの辺の長さ
Step 3. Name. Choose a variable to represent it.
手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。
Let c = the third side
cを残りの辺とする。
Step 4.Translate.
Write the appropriate formula.
Substitute in the given information.
手順4．式に表す。適切な公式を書く。与えられた情報を代入する。
.
Step 5. Solve the equation.
手順5　方程式を解く。
.
Step 6. Check:
手順6　確認：
.
Step 7. Answer the question.
手順7　問いに答える。
The third side is 11 feet long.
残りの辺の長さは11フィートである。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 9.35例題 9.35
The area of a triangular church window is 90 square meters. The base of the window is 15 meters. What is the window’s height?
教会の三角形の窓の面積は90平方メートルである。底辺は15メートルである。窓の高さはいくらか。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information.
手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。
.
Step 2. Identify what you are looking for.
手順2　何を求めるのかを明らかにする。
height of a triangle
三角形の高さ
Step 3. Name. Choose a variable to represent it.
手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。
Let h = the height
hを高さとする。
Step 4.Translate.
Write the appropriate formula.
Substitute in the given information.
手順4．式に表す。適切な公式を書く。与えられた情報を代入する。
.
Step 5. Solve the equation.
手順5　方程式を解く。
.
Step 6. Check:
手順6　確認：
.
Step 7. Answer the question.
手順7　問いに答える。
The height of the triangle is 12 meters.
三角形の高さは12メートルである。
Try It (2)確認問題（2題）