第9章数学モデルと幾何

Isosceles and Equilateral Triangles二等辺三角形と正三角形

Besides the right triangle, some other triangles have special names. A triangle with two sides of equal length is called an isosceles triangle. A triangle that has three sides of equal length is called an equilateral triangle. Figure 9.24 shows both types of triangles.

英語のヒント

直角三角形のほかにも、特別な名前を持つ三角形がある。2つの辺の長さが等しい三角形を二等辺三角形という。3つの辺の長さが等しい三角形を正三角形という。図9.24はこの2種類を示している。

2つの三角形。左は3辺すべてにsと記され、「正三角形」とある。右は2辺にsと記され、「二等辺三角形」とある。 — Figure 9.24図 9.24
In an isosceles triangle, two sides have the same length, and the third side is the base. In an equilateral triangle, all three sides have the same length.
二等辺三角形では2つの辺の長さが等しく、残りの辺が底辺である。正三角形では3つの辺すべての長さが等しい。

Example 9.36例題 9.36

The perimeter of an equilateral triangle is

93

inches. Find the length of each side.

正三角形の周の長さは

93

インチである。各辺の長さを求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information. 手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。	Perimeter = 93 in. 周の長さ＝93インチ
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	length of the sides of an equilateral triangle 正三角形の各辺の長さ
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let s = length of each side sを各辺の長さとする。
Step 4.Translate. Write the appropriate formula. Substitute. 手順4．式に表す。適切な公式を書く。代入する。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Step 6. Check: 手順6　確認：
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	Each side is 31 inches. 各辺は31インチである。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.37例題 9.37

Arianna has

156

inches of beading to use as trim around a scarf. The scarf will be an isosceles triangle with a base of

60

inches. How long can she make the two equal sides?

英語のヒント

アリアンナはスカーフの縁取りに使うビーズの飾りを

156

インチ持っている。スカーフは底辺

60

インチの二等辺三角形にする。等しい2つの辺は、それぞれどれだけの長さにできるか。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information. 手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。	P = 156 in. P＝156インチ
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the lengths of the two equal sides 等しい2つの辺の長さ
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let s = the length of each side sを各辺の長さとする。
Step 4.Translate. Write the appropriate formula. Substitute in the given information. 手順4．式に表す。適切な公式を書く。与えられた情報を代入する。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Step 6. Check: 手順6　確認：
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	Arianna can make each of the two equal sides 48 inches long. アリアンナは、等しい2つの辺をそれぞれ48インチにできる。

Try It (2)確認問題（2題）

Use the Properties of Trapezoids台形の性質を使う

A trapezoid is four-sided figure, a quadrilateral, with two sides that are parallel and two sides that are not. The parallel sides are called the bases. We call the length of the smaller base

b,

and the length of the bigger base

B .

The height,

h,

of a trapezoid is the distance between the two bases as shown in Figure 9.25.

英語のヒント

台形は4つの辺を持つ図形、つまり四角形であり、2辺が平行で、ほかの2辺は平行でない。平行な辺を上底と下底という。短い方の底辺の長さを

b

、長い方を

B

とする。台形の高さ

h

は、図9.25に示すように2つの底辺の間の距離である。

台形の上辺にはbと「短い底辺」、下辺にはBと「長い底辺」とある。両方の底辺と直角をなす垂直な線にhとある。 — Figure 9.25図 9.25
A trapezoid has a larger base, $B,$ and a smaller base, $b .$ The height $h$ is the distance between the bases.
台形には長い底辺 $B$ と短い底辺 $b$ がある。高さ $h$ は底辺の間の距離である。

The formula for the area of a trapezoid is:

台形の面積の公式は次のとおりである。

{Area}_{trapezoid} = \frac{1}{2} h (b + B)

{面積}_{台形} = \frac{1}{2} h (b + B)

Splitting the trapezoid into two triangles may help us understand the formula. The area of the trapezoid is the sum of the areas of the two triangles. See Figure 9.26.

台形を2つの三角形に分けると、公式を理解しやすくなる。台形の面積は、2つの三角形の面積の和である。図9.26を参照せよ。

台形の上辺には小文字のb、下辺には大文字のBとある。左上から右下へ対角線が引かれている。 — Figure 9.26図 9.26
Splitting a trapezoid into two triangles may help you understand the formula for its area.
台形を2つの三角形に分けると、面積の公式を理解しやすくなる。

The height of the trapezoid is also the height of each of the two triangles. See Figure 9.27.

台形の高さは、2つの三角形それぞれの高さでもある。図9.27を参照せよ。

上辺に小文字のb、下辺に大文字のBと記された台形に、左上から右下へ対角線が引かれている。矢印の先には別の台形がある。右上側は青い三角形で、台形の高さが点線で示されている。左下側は赤い三角形で、同じく高さが点線で示されている。 — Figure 9.27図 9.27

The formula for the area of a trapezoid is

台形の面積の公式は

If we distribute, we get,

分配法則を使うと、

上の行は、台形の面積＝1/2×青いb×h＋1/2×赤いB×h。その下は、台形の面積＝A（青い三角形）＋A（赤い三角形）である。

Example 9.38例題 9.38

Find the area of a trapezoid whose height is 6 inches and whose bases are

14

and

11

inches.

高さ6インチ、上底と下底が

14

インチと

11

インチの台形の面積を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information. 手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the area of the trapezoid 台形の面積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let $A = the area$ $A = 面積$ とおく。
Step 4.Translate. Write the appropriate formula. Substitute. 手順4．式に表す。適切な公式を書く。代入する。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Step 6. Check: Is this answer reasonable? 手順6．確認する。この答えは妥当か。

If we draw a rectangle around the trapezoid that has the same big base

B

and a height

h,

its area should be greater than that of the trapezoid.

英語のヒント

台形の外側に、同じ長い底辺

B

と高さ

h

を持つ長方形を描くと、その面積は台形の面積より大きいはずである。

If we draw a rectangle inside the trapezoid that has the same little base

b

and a height

h,

its area should be smaller than that of the trapezoid.

台形の内側に、同じ短い底辺

b

と高さ

h

を持つ長方形を描くと、その面積は台形の面積より小さいはずである。

3列4行の表。第1列は、台形の周りに赤い長方形を描いた図で、長い底辺14と高さ6は長方形にも共通し、短い底辺は11である。その下にA（長方形）＝b×h、A（長方形）＝14×6、A（長方形）＝84平方インチとある。第2列は、長い底辺14、短い底辺11、高さ6の台形。その下にA（台形）＝1/2×h×(b＋B)、A（台形）＝1/2×6×(11＋14)、A（台形）＝75平方インチとある。第3列は、内側に赤い長方形を描いた台形で、高さ6とある。その下にA（長方形）＝b×h、A（長方形）＝11×6、A（長方形）＝66平方インチとある。

The area of the larger rectangle is

84

square inches and the area of the smaller rectangle is

66

square inches. So it makes sense that the area of the trapezoid is between

84

and

66

square inches

大きい長方形の面積は

84

平方インチ、小さい長方形の面積は

66

平方インチである。したがって、台形の面積が

84

平方インチと

66

平方インチの間にあるのは妥当である。

Step 7. Answer the question. The area of the trapezoid is

75

square inches.

手順7．問いに答える。台形の面積は

75

平方インチである。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.39例題 9.39

Find the area of a trapezoid whose height is

5

feet and whose bases are

10.3

and

13.7

feet.

高さ

5

フィート、上底と下底が

10.3

フィートと

13.7

フィートの台形の面積を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information. 手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the area of the trapezoid 台形の面積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let A = the area A＝面積とする。
Step 4.Translate. Write the appropriate formula. Substitute. 手順4．式に表す。適切な公式を書く。代入する。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Step 6. Check: Is this answer reasonable? The area of the trapezoid should be less than the area of a rectangle with base 13.7 and height 5, but more than the area of a rectangle with base 10.3 and height 5. 手順6．確認する。この答えは妥当か。台形の面積は、底辺13.7、高さ5の長方形の面積より小さく、底辺10.3、高さ5の長方形の面積より大きいはずである。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The area of the trapezoid is 60 square feet. 台形の面積は60平方フィートである。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.40例題 9.40

Vinny has a garden that is shaped like a trapezoid. The trapezoid has a height of

3.4

yards and the bases are

8.2

and

5.6

yards. How many square yards will be available to plant?

ヴィニーの庭は台形である。高さは

3.4

ヤード、上底と下底は

8.2

ヤードと

5.6

ヤードである。植物を植えられる面積は何平方ヤードか。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw the figure and label it with the given information. 手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the area of a trapezoid 台形の面積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let A = the area A＝面積とする。
Step 4.Translate. Write the appropriate formula. Substitute. 手順4．式に表す。適切な公式を書く。代入する。
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。
Step 6. Check: Is this answer reasonable? Yes. The area of the trapezoid is less than the area of a rectangle with a base of 8.2 yd and height 3.4 yd, but more than the area of a rectangle with base 5.6 yd and height 3.4 yd. 手順6．確認する。この答えは妥当か。妥当である。台形の面積は、底辺8.2ヤード、高さ3.4ヤードの長方形の面積より小さく、底辺5.6ヤード、高さ3.4ヤードの長方形の面積より大きい。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	Vinny has 23.46 square yards in which he can plant. ヴィニーが植物を植えられる面積は23.46平方ヤードである。

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材