第9章数学モデルと幾何

9.6 Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area9.6　図形の応用問題を解く：体積と表面積

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

この節を終えると、次のことができるようになる。

Find volume and surface area of rectangular solids
直方体の体積と表面積を求める
Find volume and surface area of spheres
球の体積と表面積を求める
Find volume and surface area of cylinders
円柱の体積と表面積を求める
Find volume of cones
円錐の体積を求める

Before You Begin (3)準備問題（3題）

In this section, we will finish our study of geometry applications. We find the volume and surface area of some three-dimensional figures. Since we will be solving applications, we will once again show our Problem-Solving Strategy for Geometry Applications.

この節で図形の応用問題の学習を締めくくる。いくつかの立体の体積と表面積を求める。応用問題を解くので、図形の応用問題の解決手順をもう一度示す。

Problem Solving Strategy for Geometry Applications図形の応用問題を解く手順

Read the problem and make sure you understand all the words and ideas. Draw the figure and label it with the given information.
問題を読み、すべての言葉と考え方を理解していることを確かめる。図を描き、与えられた情報を書き込む。
Identify what you are looking for.
何を求めるのかを明らかにする。
Name what you are looking for. Choose a variable to represent that quantity.
求める量を明らかにする。その量を表す変数を選ぶ。
Translate into an equation by writing the appropriate formula or model for the situation. Substitute in the given information.
状況に適した公式やモデルを書き、方程式に表す。与えられた情報を代入する。
Solve the equation using good algebra techniques.
適切な代数の手順を使って方程式を解く。
Check the answer in the problem and make sure it makes sense.
答えを問題に戻して確かめ、筋が通っていることを確認する。
Answer the question with a complete sentence.
完全な文で問いに答える。

Find Volume and Surface Area of Rectangular Solids直方体の体積と表面積を求める

A cheerleading coach is having the squad paint wooden crates with the school colors to stand on at the games. (See Figure 9.28). The amount of paint needed to cover the outside of each box is the surface area, a square measure of the total area of all the sides. The amount of space inside the crate is the volume, a cubic measure.

英語のヒント

チアリーディングのコーチが、試合で上に立つ木箱を学校の色で塗るようにチームに指示している（図9.28参照）。各箱の外側を塗るために必要な塗料の量に対応するのが表面積であり、すべての面の面積の合計を平方単位で測ったものである。箱の内側の空間の大きさは体積であり、立方単位で測る。

木箱の画像。 — Figure 9.28図 9.28
This wooden crate is in the shape of a rectangular solid.
この木箱は直方体の形をしている。

Each crate is in the shape of a rectangular solid. Its dimensions are the length, width, and height. The rectangular solid shown in Figure 9.29 has length

4

units, width

2

units, and height

3

units. Can you tell how many cubic units there are altogether? Let’s look layer by layer.

英語のヒント

それぞれの木箱は直方体である。寸法は長さ、幅、高さで表す。図9.29の直方体は長さ

4

単位、幅

2

単位、高さ

3

単位である。全部で何立方単位あるかわかるだろうか。層ごとに見よう。

直方体は各層が2×4に並んだ8個の立方体でできている。上の層はピンク、中間はオレンジ、下は緑である。横には各層を分けた図があり、ピンクの層には「上の層は8立方単位」、オレンジの層には「中間の層は8立方単位」、緑の層には「下の層は8立方単位」とある。 — Figure 9.29図 9.29
Breaking a rectangular solid into layers makes it easier to visualize the number of cubic units it contains. This $4$ by $2$ by $3$ rectangular solid has $24$ cubic units.
直方体を層に分けると、何立方単位含まれるかを視覚的に捉えやすくなる。この $4$ × $2$ × $3$ の直方体は $24$ 立方単位である。

Altogether there are

24

cubic units. Notice that

24

is the

length \times width \times height .

全部で

24

立方単位ある。

24

は

長さ \times 幅 \times 高さ

であることに注目しよう。

The volume,

V,

of any rectangular solid is the product of the length, width, and height.

どの直方体でも、体積

V

は長さ、幅、高さの積である。

V = L W H

We could also write the formula for volume of a rectangular solid in terms of the area of the base. The area of the base,

B,

is equal to

length \times width .

直方体の体積の公式は、底面積を使って書くこともできる。底面積

B

は

長さ \times 幅

に等しい。

B = L \cdot W

We can substitute

B

for

L \cdot W

in the volume formula to get another form of the volume formula.

体積の公式の

L \cdot W

を

B

に置き換えると、体積の公式の別の形が得られる。

上の行はV＝赤いL×赤いW×H。その下はV＝赤い括弧で囲まれた(L×W)×H、さらに下はV＝赤い大文字のB×hである。

We now have another version of the volume formula for rectangular solids. Let’s see how this works with the

4 \times 2 \times 3

rectangular solid we started with. See Figure 9.29.

これで直方体の体積の公式の別の形が得られた。最初に使った

4 \times 2 \times 3

の直方体でどう使うかを見よう。図9.29を参照せよ。

小さな立方体からできた直方体に2×4×3と記されている。横にV＝Bh、その下にV＝底面積×高さとある。「底面積」の下に(4×2)があり、続いてV＝(4×2)×3、V＝8×3、V＝24立方単位とある。 — Figure 9.30図 9.30

To find the surface area of a rectangular solid, think about finding the area of each of its faces. How many faces does the rectangular solid above have? You can see three of them.

英語のヒント

直方体の表面積を求めるには、各面の面積を求めることを考えよう。上の直方体には面がいくつあるだろうか。そのうち3つが見えている。

\begin{matrix} A_{front} = L \times W & A_{side} = L \times W & A_{top} = L \times W \\ A_{front} = 4 \cdot 3 & A_{side} = 2 \cdot 3 & A_{top} = 4 \cdot 2 \\ A_{front} = 12 & A_{side} = 6 & A_{top} = 8 \end{matrix}

\begin{matrix} A_{前面} = L \times W & A_{側面} = L \times W & A_{上面} = L \times W \\ A_{前面} = 4 \cdot 3 & A_{側面} = 2 \cdot 3 & A_{上面} = 4 \cdot 2 \\ A_{前面} = 12 & A_{側面} = 6 & A_{上面} = 8 \end{matrix}

Notice for each of the three faces you see, there is an identical opposite face that does not show.

英語のヒント

見えている3つの面のそれぞれに対し、反対側に同じ形と大きさの見えない面があることに注目しよう。

\begin{array}{l} S = (front + back) + (left side + right side) + (top + bottom) \\ S = (2 \cdot front) + (2 \cdot left side) + (2 \cdot top) \\ S = 2 \cdot 12 + 2 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ S = 24 + 12 + 16 \\ S = 52 sq. units \end{array}

\begin{array}{l} S = (前面 + 背面) + (左側面 + 右側面) + (上面 + 底面) \\ S = (2 \cdot 前面) + (2 \cdot 左側面) + (2 \cdot 上面) \\ S = 2 \cdot 12 + 2 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ S = 24 + 12 + 16 \\ S = 52 平方単位 \end{array}

The surface area

S

of the rectangular solid shown in Figure 9.30 is

52

square units.

図9.30の直方体の表面積

S

は

52

平方単位である。

In general, to find the surface area of a rectangular solid, remember that each face is a rectangle, so its area is the product of its two dimensions, either length and width, length and height, or width and height (see Figure 9.31). Find the area of each face that you see and then multiply each area by two to account for the face on the opposite side.

英語のヒント

一般に直方体の表面積を求めるときは、各面が長方形であることを思い出そう。面積は2つの寸法の積、つまり長さと幅、長さと高さ、または幅と高さの積である（図9.31参照）。見えている各面の面積を求め、それぞれを2倍して反対側の面も数え入れる。

S = 2 L H + 2 L W + 2 W H

辺にL、W、Hと記された直方体。1つの面にはLW、別の面にはWHとある。 — Figure 9.31図 9.31
For each face of the rectangular solid facing you, there is another face on the opposite side. There are $6$ faces in all.
直方体の手前に見える各面に対し、反対側にも面がある。面は全部で $6$ つある。

Additional Resources追加教材

Example 9.47例題 9.47

For a rectangular solid with length

14

cm, height

17

cm, and width

9

cm, find the ⓐ volume and ⓑ surface area.

長さ

14

cm、高さ

17

cm、幅

9

cmの直方体のⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。

Solution解答

Step 1 is the same for both ⓐ and ⓑ , so we will show it just once.

手順1はⓐとⓑで共通なので、一度だけ示す。

Step 1. Read the problem. Draw the figure and
label it with the given information.

手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。

ⓐ
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the volume of the rectangular solid 直方体の体積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let $V$ = volume $V$ を体積とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. Substitute. 手順4．式に表す。適切な公式を書く。代入する。	$V = L W H$ $V = 14 \cdot 9 \cdot 17$
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。	$V = 2,142$
Step 6. Check We leave it to you to check your calculations. 手順6．確認する。計算は各自で確認しよう。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The volume is $2,142$ cubic centimeters. 体積は $2,142$ 立方センチメートルである。

ⓑ
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the surface area of the solid 立体の表面積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	Let $S$ = surface area $S$ を表面積とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. Substitute. 手順4．式に表す。適切な公式を書く。代入する。	$S = 2 L H + 2 L W + 2 W H$ $S = 2 (14 \cdot 17) + 2 (14 \cdot 9) + 2 (9 \cdot 17)$
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。	$S = 1,034$
Step 6. Check: Double-check with a calculator. 手順6．確認する。電卓でもう一度確認する。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The surface area is 1,034 square centimeters. 表面積は1,034平方センチメートルである。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.48例題 9.48

A rectangular crate has a length of

30

inches, width of

25

inches, and height of

20

inches. Find its ⓐ volume and ⓑ surface area.

直方体の木箱の長さは

30

インチ、幅は

25

インチ、高さは

20

インチである。ⓐ体積とⓑ表面積を求めよ。

Solution解答

Step 1 is the same for both ⓐ and ⓑ , so we will show it just once.

手順1はⓐとⓑで共通なので、一度だけ示す。

Step 1. Read the problem. Draw the figure and
label it with the given information.

手順1　問題を読む。図を描き、与えられた情報を書き込む。

ⓐ
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the volume of the crate 木箱の体積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	let $V$ = volume $V$ を体積とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. Substitute. 手順4．式に表す。適切な公式を書く。代入する。	$V = L W H$ $V = 30 \cdot 25 \cdot 20$
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。	$V = 15,000$
Step 6. Check: Double check your math. 手順6．確認する。計算をもう一度確認する。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The volume is 15,000 cubic inches. 体積は15,000立方インチである。

ⓑ
Step 2. Identify what you are looking for. 手順2　何を求めるのかを明らかにする。	the surface area of the crate 木箱の表面積
Step 3. Name. Choose a variable to represent it. 手順3　名前を付ける。求める量を表す変数を選ぶ。	let $S$ = surface area $S$ を表面積とする。
Step 4. Translate. Write the appropriate formula. Substitute. 手順4．式に表す。適切な公式を書く。代入する。	$S = 2 L H + 2 L W + 2 W H$ $S = 2 (30 \cdot 20) + 2 (30 \cdot 25) + 2 (25 \cdot 20)$
Step 5. Solve the equation. 手順5　方程式を解く。	$S = 3,700$
Step 6. Check: Check it yourself! 手順6．確認する。自分で確認しよう。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。	The surface area is 3,700 square inches. 表面積は3,700平方インチである。

Try It (2)確認問題（2題）

第9章数学モデルと幾何

9.6 Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area9.6 図形の応用問題を解く：体積と表面積

Learning Objectives学習目標

Problem Solving Strategy for Geometry Applications図形の応用問題を解く手順

Find Volume and Surface Area of Rectangular Solids直方体の体積と表面積を求める

Solution解答

Solution解答

9.6 Solve Geometry Applications: Volume and Surface Area9.6　図形の応用問題を解く：体積と表面積