第5章小数

5.2 Decimal Operations5.2　小数の計算

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

この節を終えると、次のことができるようになる。

Add and subtract decimals
小数のたし算とひき算をする
Multiply decimals
小数のかけ算をする
Divide decimals
小数のわり算をする
Use decimals in money applications
お金に関する応用問題で小数を使う

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Add and Subtract Decimals小数のたし算とひき算

Let’s take one more look at the lunch order from the start of Decimals, this time noticing how the numbers were added together.

「小数」の最初に出てきた昼食の注文をもう一度見よう。今度は、数をどのようにたしたかに注目する。

縦に書かれたたし算。一番上はサンドイッチの$3.45、次は水の$1.25、最後は税の$0.33で、合計は$5.03と示されている。

All three items (sandwich, water, tax) were priced in dollars and cents, so we lined up the dollars under the dollars and the cents under the cents, with the decimal points lined up between them. Then we just added each column, as if we were adding whole numbers. By lining up decimals this way, we can add or subtract the corresponding place values just as we did with whole numbers.

英語のヒント

3つの項目（サンドイッチ、水、税）はすべてドルとセントで表されていたので、ドルの下にドル、セントの下にセントを並べ、その間の小数点をそろえた。その後、非負整数をたすときと同じように、各列をたした。このように小数を並べることで、非負整数と同じように、対応する位の値をたしたり引いたりできる。

Example 5.11例題 5.11

Add:

3.7 + 12.4 .

次の加法を計算する：

3.7 + 12.4

Solution解答

	$3.7 + 12.4$
Write the numbers vertically so the decimal points line up. 小数点をそろえて、数を縦に書く。	$\begin{matrix} 3.7 \\ \underset{_____}{+ 12.4} \end{matrix}$
Place holders are not needed since both numbers have the same number of decimal places. 両方の小数の桁数が同じなので、位を埋める数字は不要である。
Add the numbers as if they were whole numbers. Then place the decimal in the answer under the decimal points in the given numbers. 非負整数と同じようにたし算をする。その後、与えられた数の小数点の真下に、答えの小数点を置く。	$\begin{matrix} \overset{1}{3} . 7 \\ \underset{_____}{+ 12.4} \\ 16.1 \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 5.12例題 5.12

Add:

23.5 + 41.38 .

次の加法を計算する：

23.5 + 41.38

Solution解答

	$23.5 + 41.38$
Write the numbers vertically so the decimal points line up. 小数点をそろえて、数を縦に書く。
Place 0 as a place holder after the 5 in 23.5, so that both numbers have two decimal places. 両方を小数第2位までの表記にそろえるため、23.5の5の後に、位を埋める0を置く。
Add the numbers as if they were whole numbers. Then place the decimal in the answer under the decimal points in the given numbers. 非負整数と同じようにたし算をする。その後、与えられた数の小数点の真下に、答えの小数点を置く。

Try It (2)確認問題（2題）

How much change would you get if you handed the cashier a

$20

bill for a

$14.65

purchase? We will show the steps to calculate this in the next example.

英語のヒント

$14.65

の買い物で、レジ係に

$20

紙幣を渡したら、おつりはいくらになるだろうか。次の例で計算手順を示す。

Example 5.13例題 5.13

Subtract:

20 - 14.65 .

次の減法を計算する：

20 - 14.65

Solution解答

	$20 - 14.65$
Write the numbers vertically so the decimal points line up. Remember 20 is a whole number, so place the decimal point after the 0. 小数点をそろえて、数を縦に書く。20は非負整数なので、0の後に小数点を置く。
Place two zeros after the decimal point in 20, as place holders so that both numbers have two decimal places. 両方を小数第2位までの表記にそろえるため、20の小数点の後に、位を埋めるゼロを2つ置く。
Subtract the numbers as if they were whole numbers. Then place the decimal in the answer under the decimal points in the given numbers. 非負整数と同じようにひき算をする。その後、与えられた数の小数点の真下に、答えの小数点を置く。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 5.14例題 5.14

Subtract:

2.51 - 7.4 .

次の減法を計算する：

2.51 - 7.4

Solution解答

If we subtract

7.4

from

2.51,

the answer will be negative since

7.4 > 2.51 .

To subtract easily, we can subtract

2.51

from

7.4 .

Then we will place the negative sign in the result.

2.51

から

7.4

を引くと、

7.4 > 2.51

なので答えは負になる。計算しやすくするため、

7.4

から

2.51

を引き、その結果に負の符号を付ける。

	$2.51 - 7.4$
Write the numbers vertically so the decimal points line up. 小数点をそろえて、数を縦に書く。
Place zero after the 4 in 7.4 as a place holder, so that both numbers have two decimal places. 両方を小数第2位までの表記にそろえるため、7.4の4の後に、位を埋めるゼロを置く。
Subtract and place the decimal in the answer. ひき算をして、答えに小数点を置く。
Remember that we are really subtracting $2.51 - 7.4$ so the answer is negative. 実際に計算しているのは $2.51 - 7.4$ なので、答えは負になることを忘れないようにする。	$2.51 - 7.4 = - 4.89$

Try It (2)確認問題（2題）

Multiply Decimals小数のかけ算

Multiplying decimals is very much like multiplying whole numbers—we just have to determine where to place the decimal point. The procedure for multiplying decimals will make sense if we first review multiplying fractions.

小数のかけ算は、非負整数のかけ算とよく似ている。小数点をどこに置くかを決めるだけでよい。まず分数のかけ算を復習すると、小数のかけ算の手順が理解できる。

Do you remember how to multiply fractions? To multiply fractions, you multiply the numerators and then multiply the denominators.

分数のかけ算の方法を覚えているだろうか。分数をかけるには、分子どうしをかけ、分母どうしをかける。

So let’s see what we would get as the product of decimals by converting them to fractions first. We will do two examples side-by-side in Table 5.3. Look for a pattern.

そこで、まず小数を分数に直し、積がどうなるか見てみよう。表5.3で2つの例を並べて計算する。規則性を探してみよう。

Table 5.3表 5.3
	A	B
	$(0.3) (0.7)$	$(0.2) (0.46)$
Convert to fractions. 分数に直す。	$(\frac{3}{10}) (\frac{7}{10})$	$(\frac{2}{10}) (\frac{46}{100})$
Multiply. 掛ける。	$\frac{21}{100}$	$\frac{92}{1000}$
Convert back to decimals. 小数に戻す。	$0.21$	$0.092$

There is a pattern that we can use. In A, we multiplied two numbers that each had one decimal place, and the product had two decimal places. In B, we multiplied a number with one decimal place by a number with two decimal places, and the product had three decimal places.

英語のヒント

利用できる規則性がある。Aでは、小数1桁の数どうしをかけると、積は小数2桁になった。Bでは、小数1桁の数と小数2桁の数をかけると、積は小数3桁になった。

How many decimal places would you expect for the product of

(0.01) (0.004) ?

If you said “five”, you recognized the pattern. When we multiply two numbers with decimals, we count all the decimal places in the factors—in this case two plus three—to get the number of decimal places in the product—in this case five.

(0.01) (0.004)

の積は、小数点以下が何桁になると予想するだろうか。「5桁」と答えたなら、この規則性が分かったということである。小数どうしをかけるときは、各因数の小数の桁数を合計する。この場合は2桁たす3桁であり、積の小数の桁数は5桁になる。

一番上に0.01×0.004＝0.00004とある。0.01の下に2桁、0.004の下に3桁、0.00004の下に5桁とある。一番下に、100分の1かける1000分の4は100,000分の4と書かれている。

Once we know how to determine the number of digits after the decimal point, we can multiply decimal numbers without converting them to fractions first. The number of decimal places in the product is the sum of the number of decimal places in the factors.

小数点以下の桁数を決める方法が分かれば、先に分数に直さずに小数をかけられる。積の小数の桁数は、各因数の小数の桁数の和である。

The rules for multiplying positive and negative numbers apply to decimals, too, of course.

正の数と負の数のかけ算の規則は、小数にも当てはまる。

When you multiply signed decimals, first determine the sign of the product and then multiply as if the numbers were both positive. Finally, write the product with the appropriate sign.

符号のある小数をかけるときは、まず積の符号を決め、次に両方が正の数であるかのようにかける。最後に、適切な符号を付けて積を書く。

Multiply decimal numbers.小数をかける。

Determine the sign of the product.
積の符号を決める。
Write the numbers in vertical format, lining up the numbers on the right.
右端の数字をそろえ、数を縦に書く。
Multiply the numbers as if they were whole numbers, temporarily ignoring the decimal points.
いったん小数点を無視し、非負整数と同じようにかけ算をする。
Place the decimal point. The number of decimal places in the product is the sum of the number of decimal places in the factors. If needed, use zeros as placeholders.
小数点を置く。積の小数の桁数は、各因数の小数の桁数の和である。必要に応じて、位を埋めるゼロを使う。
Write the product with the appropriate sign.
適切な符号を付けて積を書く。

Example 5.15例題 5.15

Multiply:

(3.9) (4.075) .

次の乗法を計算する：

(3.9) (4.075)

Solution解答

	$(3.9) (4.075)$
Determine the sign of the product. The signs are the same. 積の符号を決める。符号は同じである。	The product will be positive. 積は正になる。
Write the numbers in vertical format, lining up the numbers on the right. 右端の数字をそろえ、数を縦に書く。
Multiply the numbers as if they were whole numbers, temporarily ignoring the decimal points. いったん小数点を無視し、非負整数と同じようにかけ算をする。
Place the decimal point. Add the number of decimal places in the factors $(1 + 3).$ Place the decimal point 4 places from the right. 小数点を置く。各因数の小数の桁数をたす。 $(1 + 3)$ 右から4桁の位置に小数点を置く。
The product is positive. 積は正である。	$(3.9) (4.075) = 15.8925$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 5.16例題 5.16

Multiply:

(−8.2) (5.19).

次の乗法を計算する：

(−8.2) (5.19)

Solution解答

	$(−8.2) (5.19)$
The signs are different. 符号は異なる。	The product will be negative. 積は負になる。
Write in vertical format, lining up the numbers on the right. 右端の数字をそろえて、縦に書く。	$\begin{matrix} 5.19 \\ \underset{_____}{\times 8.2} \end{matrix}$
Multiply. 掛ける。	$\begin{matrix} 5.19 \\ \underset{_____}{\times 8.2} \\ 1038 \\ \underset{_____}{4152} \\ 42558 \end{matrix}$
	$\begin{matrix} 5.19 \\ \underset{_____}{\times 8.2} \\ 1038 \\ \underset{_____}{4152} \\ 42.558 \end{matrix}$
The product is negative. 積は負である。	$(−8.2) (5.19) = −42.558$

Try It (2)確認問題（2題）

In the next example, we’ll need to add several placeholder zeros to properly place the decimal point.

次の例では、小数点を正しい位置に置くため、位を埋めるゼロをいくつか加える必要がある。

Example 5.17例題 5.17

Multiply:

(0.03) (0.045).

次の乗法を計算する：

(0.03) (0.045)

Solution解答

	$(0.03) (0.045)$
The product is positive. 積は正である。
Write in vertical format, lining up the numbers on the right. 右端の数字をそろえて、縦に書く。
Multiply. 掛ける。
Add zeros as needed to get the 5 places. 5桁になるよう、必要なだけゼロを加える。
The product is positive. 積は正である。	$(0.03) (0.045) = 0.00135$

Try It (2)確認問題（2題）

第5章小数

5.2 Decimal Operations5.2 小数の計算

Learning Objectives学習目標

Add and Subtract Decimals小数のたし算とひき算

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Multiply Decimals小数のかけ算

Solution解答

Solution解答

Solution解答

5.2 Decimal Operations5.2　小数の計算