第5章小数

Find the Median of a Set of Numbers数の集まりの中央値を求める

When Ann, Bianca, Dora, Eve, and Francine sing together on stage, they line up in order of their heights. Their heights, in inches, are shown in Table 5.7.

アン、ビアンカ、ドーラ、イヴ、フランシーンが舞台で一緒に歌うときは、背の順に並ぶ。身長をインチで表した値を表5.7に示す。

Table 5.7表 5.7
Ann アン	Bianca ビアンカ	Dora ドーラ	Eve イヴ	Francine フランシーン
$59$	$60$	$65$	$68$	$70$

Dora is in the middle of the group. Her height,

65 ″,

is the median of the girls’ heights. Half of the heights are less than or equal to Dora’s height, and half are greater than or equal. The median is the middle value.

英語のヒント

ドーラは集団の真ん中にいる。彼女の身長

65 ″

が、彼女たちの身長の中央値である。身長の半数はドーラの身長以下であり、半数はドーラの身長以上である。中央値とは、真ん中の値である。

59、60、65、68、70が並んでいる。59と60の下には波括弧と赤字の「下に2つ」、68と70の下には波括弧と赤字の「上に2つ」がある。65を指す矢印に「中央値」とある。

What if Carmen, the pianist, joins the singing group on stage? Carmen is

62

inches tall, so she fits in the height order between Bianca and Dora. Now the data set looks like this:

ピアニストのカルメンが舞台上の歌のグループに加わったらどうなるだろうか。カルメンは身長

62

インチなので、背の順ではビアンカとドーラの間に入る。データの並びは次のようになる。

59, 60, 62, 65, 68, 70

There is no single middle value. The heights of the six girls can be divided into two equal parts.

英語のヒント

真ん中の値が1つに定まらない。6人の身長は、同じ個数の2つの組に分けられる。

Statisticians have agreed that in cases like this the median is the mean of the two values closest to the middle. So the median is the mean of

62 and 65, \frac{62 + 65}{2} .

The median height is

63.5

inches.

統計学者は、このような場合、中央に最も近い2つの値の平均値を中央値とすることにしている。したがって、中央値は

62 と 65, \frac{62 + 65}{2}

という平均値である。身長の中央値は

63.5

インチである。

9、11、12、13、15、18、19が並んでいる。9、11、12の下には波括弧と「下に3つ」、15、18、19の下には波括弧と「上に3つ」がある。13を指す矢印に「中央値」とある。

Notice that when the number of girls was

5,

the median was the third height, but when the number of girls was

6,

the median was the mean of the third and fourth heights. In general, when the number of values is odd, the median will be the one value in the middle, but when the number is even, the median is the mean of the two middle values.

人数が

5

人のとき、中央値は3番目の身長だったが、

6

人のときは3番目と4番目の身長の平均値になったことに注目しよう。一般に、値の個数が奇数なら、中央値は真ん中の1つの値である。個数が偶数なら、中央値は真ん中の2つの値の平均値である。

Example 5.52例題 5.52

Find the median of

12, 13, 19, 9, 11, 15, and 18 .

12, 13, 19, 9, 11, 15, と 18

の中央値を求めよ。

Solution解答

List the numbers in order from smallest to largest. 数を小さい順に並べる。	9, 11, 12, 13, 15, 18, 19
Count how many numbers are in the set. Call this $n$ . 集まりに数が何個あるか数え、その個数を $n$ とする。	$n = 7$
Is $n$ odd or even? $n$ は奇数か、偶数か。	odd 奇数
The median is the middle value. 中央値は真ん中の値である。
The middle is the number in the 4th position. 真ん中は4番目の数である。	So the median of the data is 13. したがって、このデータの中央値は13である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 5.53例題 5.53

Kristen received the following scores on her weekly math quizzes:

クリステンの毎週の数学の小テストの得点は、次のとおりだった。

83, 79, 85, 86, 92, 100, 76, 90, 88, and 64 .

Find her median score.

83, 79, 85, 86, 92, 100, 76, 90, 88, と 64

得点の中央値を求めよ。

Solution解答

Find the median of 83, 79, 85, 86, 92, 100, 76, 90, 88, and 64. 83、79、85、86、92、100、76、90、88、64の中央値を求める。
List the numbers in order from smallest to largest. 数を小さい順に並べる。	64, 76, 79, 83, 85, 86, 88, 90, 92, 100
Count the number of data values in the set. Call this $n.$ 集まりにあるデータの個数を数え、その個数を $n.$ とする。	$n = 10$
Is $n$ odd or even? $n$ は奇数か、偶数か。	even 偶数
The median is the mean of the two middle values, the 5th and 6th numbers. 中央値は、真ん中にある5番目と6番目の数の平均値である。
Find the mean of 85 and 86. 85と86の平均値を求める。	$mean = \frac{85 + 86}{2}$ $平均値 = \frac{85 + 86}{2}$
	$mean = 85.5$ $平均値 = 85.5$
	Kristen's median score is 85.5. クリステンの得点の中央値は85.5である。

Try It (2)確認問題（2題）

Identify the Mode of a Set of Numbers数の集まりの最頻値を見つける

The average is one number in a set of numbers that is somehow typical of the whole set of numbers. The mean and median are both often called the average. Yes, it can be confusing when the word average refers to two different numbers, the mean and the median! In fact, there is a third number that is also an average. This average is the mode. The mode of a set of numbers is the number that occurs the most. The frequency, is the number of times a number occurs. So the mode of a set of numbers is the number with the highest frequency.

英語のヒント

平均とは、数の集まり全体を何らかの意味で代表する1つの数である。平均値も中央値も、しばしば平均と呼ばれる。「平均」という言葉が平均値と中央値という異なる2つの数を指すと、混乱することもある。実は、平均とされる3つ目の数もある。それが最頻値である。数の集まりの最頻値とは、最も多く現れる数である。度数とは、その数が現れる回数である。したがって、数の集まりの最頻値とは、度数が最も高い数である。

Suppose Jolene kept track of the number of miles she ran since the start of the month, as shown in Figure 5.7.

英語のヒント

ジョリーンが月初から走った距離をマイル単位で記録したところ、図5.7のようになったとする。

カレンダーが示されている。「元日」と記された1日木曜日には2マイル、3日土曜日には15マイルと書かれている。4日は8マイル、6日は3マイル、7日は8マイル、9日は5マイル、10日は8マイルとある。 — Figure 5.7図 5.7

If we list the numbers in order it is easier to identify the one with the highest frequency.

英語のヒント

数を順に並べると、度数が最も高いものを見つけやすい。

2, 3, 5, 8, 8, 8, 15

Jolene ran

8

miles three times, and every other distance is listed only once. So the mode of the data is

8

miles.

ジョリーンは

8

マイルを3回走っており、他の距離はそれぞれ1回しか現れない。したがって、このデータの最頻値は

8

マイルである。

Example 5.54例題 5.54

The ages of students in a college math class are listed below. Identify the mode.

大学の数学の授業を受ける学生の年齢を以下に示す。最頻値を見つけよ。

18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 22, 23, 24, 24, 25, 29, 30, 40, 44

Solution解答

The ages are already listed in order. We will make a table of frequencies to help identify the age with the highest frequency.

年齢はすでに順に並んでいる。度数が最も高い年齢を見つけやすいよう、度数の表を作る。

2行の表。1行目の見出しは「年齢」で、18、19、20、21、22、23、24、25、29、30、40、44が並ぶ。2行目の見出しは「度数」で、4、3、7、2、5、1、2、1、1、1、1、1が並ぶ。

Now look for the highest frequency. The highest frequency is

7,

which corresponds to the age

20 .

So the mode of the ages in this class is

20

years.

次に最も高い度数を探す。最も高い度数は

7

で、年齢

20

に対応する。したがって、このクラスの年齢の最頻値は

20

歳である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 5.55例題 5.55

The data lists the heights (in inches) of students in a statistics class. Identify the mode.

統計の授業を受ける学生の身長をインチ単位で示したデータである。最頻値を見つけよ。

$56$	$61$	$63$	$64$	$65$	$66$	$67$	$67$
$60$	$62$	$63$	$64$	$65$	$66$	$67$	$70$
$60$	$63$	$63$	$64$	$66$	$66$	$67$	$74$
$61$	$63$	$64$	$65$	$66$	$67$	$67$

Solution解答

List each number with its frequency.

それぞれの数とその度数を一覧にする。

2行の表。1行目の見出しは「数」で、56、60、61、62、63、64、65、66、67、70、74が並ぶ。2行目の見出しは「度数」で、1、2、2、1、5、4、3、5、6、1、1が並ぶ。

Now look for the highest frequency. The highest frequency is

6,

which corresponds to the height

67

inches. So the mode of this set of heights is

67

inches.

次に最も高い度数を探す。最も高い度数は

6

で、身長

67

インチに対応する。したがって、この身長の集まりの最頻値は

67

インチである。

Try It (2)確認問題（2題）

Some data sets do not have a mode because no value appears more than any other. And some data sets have more than one mode. In a given set, if two or more data values have the same highest frequency, we say they are all modes.

どの値も他の値より多く現れないため、最頻値がないデータの集まりもある。また、最頻値が複数ある場合もある。2つ以上の値が同じ最高度数で現れる場合は、それらをすべて最頻値とする。