第5章小数

Multiply by Powers of $10$ $10$ の累乗をかける

In many fields, especially in the sciences, it is common to multiply decimals by powers of

10 .

Let’s see what happens when we multiply

1.9436

by some powers of

10 .

多くの分野、特に科学では、小数に

10

の累乗をかけることがよくある。

1.9436

に

10

の累乗をいくつかかけると、どうなるか見てみよう。

一番上に1.9436×10、1.9436×100、1.9436×1000と並んでいる。その下に各かけ算の筆算があり、1.9436×10＝19.4360、1.9436×100＝194.3600、1.9436×1000＝1943.6000と示されている。

Look at the results without the final zeros. Do you notice a pattern?

末尾のゼロを除いた結果を見よう。規則性に気づくだろうか。

\begin{matrix} 1.9436 (10) & = & 19.436 \\ 1.9436 (100) & = & 194.36 \\ 1.9436 (1000) & = & 1943.6 \end{matrix}

The number of places that the decimal point moved is the same as the number of zeros in the power of ten. Table 5.4 summarizes the results.

小数点が移動した桁数は、10の累乗に含まれるゼロの個数と同じである。表5.4に結果をまとめる。

Table 5.4表 5.4
Multiply by かける数	Number of zeros ゼロの個数	Number of places decimal point moves 小数点を動かす桁数
$10$	$1$	$1$ place to the right 右へ $1$ 桁
$100$	$2$	$2$ places to the right 右へ $2$ 桁
$1,000$	$3$	$3$ places to the right 右へ $3$ 桁
$10,000$	$4$	$4$ places to the right 右へ $4$ 桁

We can use this pattern as a shortcut to multiply by powers of ten instead of multiplying using the vertical format. We can count the zeros in the power of

10

and then move the decimal point that same of places to the right.

英語のヒント

この規則性を使えば、縦に書いてかけ算をする代わりに、10の累乗を手早くかけられる。

10

の累乗に含まれるゼロを数え、その個数と同じ桁数だけ小数点を右へ動かす。

So, for example, to multiply

45.86

100,

move the decimal point

2

places to the right.

例えば、

45.86

に

100

をかけるには、小数点を右へ

2

桁動かす。

Sometimes when we need to move the decimal point, there are not enough decimal places. In that case, we use zeros as placeholders. For example, let’s multiply

2.4

100 .

We need to move the decimal point

2

places to the right. Since there is only one digit to the right of the decimal point, we must write a

0

in the hundredths place.

小数点を動かすときに、桁が足りないことがある。その場合は、位を埋めるゼロを使う。例えば、

2.4

に

100

をかけよう。小数点を右へ

2

桁動かす必要がある。小数点の右側には1桁しかないので、百分の一の位に

0

を書かなければならない。

Example 5.18例題 5.18

Multiply

5.63

by factors of ⓐ

10

ⓑ

100

ⓒ

1000 .

5.63

に、ⓐ

10

ⓑ

100

ⓒ

1000

をそれぞれかけよ。

Solution解答

By looking at the number of zeros in the multiple of ten, we see the number of places we need to move the decimal to the right.

かける10の倍数に含まれるゼロの個数を見ると、小数点を右へ何桁動かすかが分かる。

ⓐ
	$56.3 (10)$
There is 1 zero in 10, so move the decimal point 1 place to the right. 10にはゼロが1つあるので、小数点を右へ1桁動かす。
	$56.3$

ⓑ
	$5.63 (100)$
There are 2 zeros in 100, so move the decimal point 2 places to the right. 100にはゼロが2つあるので、小数点を右へ2桁動かす。
	$563$

ⓒ
	$5.63 (1000)$
There are 3 zeros in 1000, so move the decimal point 3 places to the right. 1000にはゼロが3つあるので、小数点を右へ3桁動かす。
A zero must be added at the end. 末尾にゼロを1つ加える必要がある。	$5,630$

Try It (2)確認問題（2題）

Divide Decimals小数のわり算

Just as with multiplication, division of decimals is very much like dividing whole numbers. We just have to figure out where the decimal point must be placed.

かけ算と同じく、小数のわり算も非負整数のわり算とよく似ている。小数点を置く位置を考えればよい。

To understand decimal division, let’s consider the multiplication problem

小数のわり算を理解するため、次のかけ算の問題を考えよう。

(0.2) (4) = 0.8

Remember, a multiplication problem can be rephrased as a division problem. So we can write

かけ算の問題は、わり算の問題に言い換えられる。したがって、次のように書ける。

0.8 \div 4 = 0.2

We can think of this as “If we divide 8 tenths into four groups, how many are in each group?” Figure 5.5 shows that there are four groups of two-tenths in eight-tenths. So

0.8 \div 4 = 0.2 .

これは「10分の1のピース8個を4組に分けると、1組はいくつになるか」と考えられる。図5.5は、10分の8の中に10分の2が4組あることを示している。したがって、

0.8 \div 4 = 0.2

0、0.2、0.4、0.6、0.8、1が記された数直線。隣り合う2つの数の間の距離が0.2であることを、括弧で示している。 — Figure 5.5図 5.5

Using long division notation, we would write

わり算の筆算の表記を使うと、次のように書く。

Notice that the decimal point in the quotient is directly above the decimal point in the dividend.

英語のヒント

商の小数点は、割られる数の小数点の真上にある。

To divide a decimal by a whole number, we place the decimal point in the quotient above the decimal point in the dividend and then divide as usual. Sometimes we need to use extra zeros at the end of the dividend to keep dividing until there is no remainder.

小数を非負整数で割るには、商の小数点を割られる数の小数点の真上に置き、通常どおり割る。余りがなくなるまで割り続けるため、割られる数の末尾にゼロを付け足す必要があることもある。

Example 5.19例題 5.19

Divide:

0.12 \div 3 .

次の除法を計算する：

0.12 \div 3

Solution解答

	$0.12 \div 3$
Write as long division, placing the decimal point in the quotient above the decimal point in the dividend. わり算の筆算の形に書き、割られる数の小数点の真上に商の小数点を置く。
Divide as usual. Since 3 does not go into 0 or 1 we use zeros as placeholders. 通常どおりわり算をする。0にも1にも3は入らないので、位を埋めるゼロを使う。
	$0.12 \div 3 = 0.04$

Try It (2)確認問題（2題）

In everyday life, we divide whole numbers into decimals—money—to find the price of one item. For example, suppose a case of

24

water bottles cost

$3.99 .

To find the price per water bottle, we would divide

$3.99

24,

and round the answer to the nearest cent (hundredth).

日常生活では、1個当たりの価格を求めるため、小数で表した金額を非負整数で割る。例えば、

24

本入りの水が1ケース

$3.99

だったとする。1本当たりの価格を求めるには、

$3.99

を

24

で割り、答えを最も近いセント単位（百分の一の位）に四捨五入する。

Example 5.20例題 5.20

Divide:

$3.99 \div 24 .

次の除法を計算する：

$3.99 \div 24

Solution解答

	$$3.99 \div 24$
Place the decimal point in the quotient above the decimal point in the dividend. 割られる数の小数点の真上に、商の小数点を置く。
Divide as usual. When do we stop? Since this division involves money, we round it to the nearest cent (hundredth). To do this, we must carry the division to the thousandths place. 通常どおりわり算をする。どこで止めるべきだろうか。金額のわり算なので、最も近いセント単位（百分の一の位）に四捨五入する。そのため、千分の一の位までわり算を続ける必要がある。
Round to the nearest cent. 最も近いセント単位に四捨五入する。	$$0.166 \approx $0.17$
	$$3.99 \div 24 \approx $0.17$

This means the price per bottle is

17

cents.

つまり、1本当たりの価格は

17

セントである。

Try It (2)確認問題（2題）

第5章小数

Multiply by Powers of 1010の累乗をかける

Solution解答

Divide Decimals小数のわり算

Solution解答

Solution解答

Multiply by Powers of $10$ $10$ の累乗をかける