第5章小数

Simplify Expressions Using the Order of Operations計算の順序に従って式を簡単にする

The order of operations introduced in Use the Language of Algebra also applies to decimals. Do you remember what the phrase “Please excuse my dear Aunt Sally” stands for?

「代数の言葉を使う」で紹介した計算の順序は、小数にも当てはまる。「Please excuse my dear Aunt Sally」という語呂合わせが何を表すか覚えているだろうか。

Example 5.35例題 5.35

Simplify the expressions:

次の式を簡単にせよ。

ⓐ $7 (18.3 - 21.7)$
ⓑ $\frac{2}{3} (8.3 - 3.8)$

Solution解答

ⓐ
	$7 (18.3 - 21.7)$
Simplify inside parentheses. 括弧の中を簡単にする。	$7 (−3.4)$
Multiply. 掛ける。	$−23.8$

ⓑ
	$\frac{2}{3} (8.3 - 3.8)$
Simplify inside parentheses. 括弧の中を簡単にする。	$\frac{2}{3} (4.5)$
Write $4.5$ as a fraction. $4.5$ を分数で表す。	$\frac{2}{3} (\frac{4.5}{1})$
Multiply. 掛ける。	$\frac{9}{3}$
Simplify. 簡単にする。	$3$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 5.36例題 5.36

Simplify each expression:

それぞれの式を簡単にせよ。

ⓐ $6 \div 0.6 + (0.2) 4 - {(0.1)}^{2}$
ⓑ ${(\frac{1}{10})}^{2} + (3.5) (0.9)$

Solution解答

ⓐ
	$6 \div 0.6 + (0.2) 4 - {(0.1)}^{2}$
Simplify exponents. 累乗を計算する。	$6 \div 0.6 + (0.2) 4 - 0.01$
Divide. 割る。	$10 + (0.2) 4 - 0.01$
Multiply. 掛ける。	$10 + 0.8 - 0.01$
Add. 足す。	$10.8 - 0.01$
Subtract. 引く。	$10.79$

ⓑ
	${(\frac{1}{10})}^{2} + (3.5) (0.9)$
Simplify exponents. 累乗を計算する。	$\frac{1}{100} + (3.5) (0.9)$
Multiply. 掛ける。	$\frac{1}{100} + 3.15$
Convert $\frac{1}{100}$ to a decimal. $\frac{1}{100}$ を小数に直す。	$0.01 + 3.15$
Add. 足す。	$3.16$

Try It (2)確認問題（2題）

Find the Circumference and Area of Circles円周の長さと円の面積を求める

The properties of circles have been studied for over

2,000

years. All circles have exactly the same shape, but their sizes are affected by the length of the radius, a line segment from the center to any point on the circle. A line segment that passes through a circle’s center connecting two points on the circle is called a diameter. The diameter is twice as long as the radius. See Figure 5.6.

英語のヒント

円の性質は

2,000

年以上にわたって研究されてきた。どの円も形はまったく同じだが、大きさは半径の長さによって変わる。半径とは、中心と円周上の任意の点を結ぶ線分である。円の中心を通り、円周上の2点を結ぶ線分は直径と呼ばれる。直径の長さは半径の2倍である。図5.6を参照せよ。

The size of a circle can be measured in two ways. The distance around a circle is called its circumference.

英語のヒント

円の大きさは2つの方法で測れる。円の周りの長さを円周の長さという。

円が示されている。円の最も幅の広い部分を通る点線に「直径」というラベルが付いている。円の中心から円周上の1点に至る点線には「半径」というラベルが付いている。円の縁には「円周」と書かれている。 — Figure 5.6図 5.6

Archimedes discovered that for circles of all different sizes, dividing the circumference by the diameter always gives the same number. The value of this number is pi, symbolized by Greek letter

π

(pronounced pie). However, the exact value of

π

cannot be calculated since the decimal never ends or repeats (we will learn more about numbers like this in The Properties of Real Numbers.)

アルキメデスは、大きさの異なるどの円でも、円周の長さを直径で割ると常に同じ数になることを発見した。この数の値は円周率で、ギリシャ文字

π

で表し、「パイ」と読む。しかし、

π

を小数で表すと終わることも繰り返すこともないため、その正確な値を計算し尽くすことはできない。（このような数については「実数の性質」で詳しく学ぶ。）

Additional Resources追加教材

If we want the exact circumference or area of a circle, we leave the symbol

π

in the answer. We can get an approximate answer by substituting

3.14

as the value of

π .

We use the symbol

\approx

to show that the result is approximate, not exact.

円周の長さや円の面積を正確に求めたいときは、答えに記号

π

を残す。

π

の値として

3.14

を代入すれば、近似の答えが得られる。結果が正確な値ではなく近似値であることを示すために、記号

\approx

を使う。

Since the diameter is twice the radius, another way to find the circumference is to use the formula

C = π d .

直径は半径の2倍なので、円周の長さは公式

C = π d

を使って求めることもできる。

Suppose we want to find the exact area of a circle of radius

10

inches. To calculate the area, we would evaluate the formula for the area when

r = 10

inches and leave the answer in terms of

π.

英語のヒント

半径

10

インチの円の面積を正確に求めたいとする。面積の公式に

r = 10

インチを入れて計算し、答えは

π

を使った形で残す。

\begin{matrix} A = π r^{2} \\ A = π (10^{2}) \\ A = π \cdot 100 \end{matrix}

We write

π

after the

100 .

So the exact value of the area is

A = 100 π

square inches.

100

の後に

π

を書く。したがって、面積の正確な値は

A = 100 π

平方インチである。

To approximate the area, we would substitute

π \approx 3.14 .

面積の近似値を求めるには、

π \approx 3.14

を代入する。

\begin{matrix} A & = & 100 π \\ \approx & 100 \cdot 3.14 \\ \approx & 314 square inches \end{matrix}

\begin{matrix} A & = & 100 π \\ \approx & 100 \cdot 3.14 \\ \approx & 314 平方インチ \end{matrix}

Remember to use square units, such as square inches, when you calculate the area.

面積を計算するときは、平方インチなどの面積の単位を使うことを忘れないようにしよう。

Example 5.37例題 5.37

A circle has radius

10

centimeters. Approximate its ⓐ circumference and ⓑ area.

半径が

10

センチメートルの円がある。ⓐ 円周の長さとⓑ 面積の近似値を求めよ。

Solution解答

ⓐ Find the circumference when $r = 10 .$ ⓐ $r = 10$ のときの円周の長さを求める。
Write the formula for circumference. 円周の長さの公式を書く。	$C = 2 π r$
Substitute 3.14 for $π$ and 10 for , $r$ . $π$ に3.14、 $r$ に10を代入する。	$C \approx 2 (3.14) (10)$
Multiply. 掛ける。	$C \approx 62.8 centimeters$ $C \approx 62.8 センチメートル$

ⓑ Find the area when $r = 10 .$ ⓑ $r = 10$ のときの面積を求める。
Write the formula for area. 面積の公式を書く。	$A = π r^{2}$
Substitute 3.14 for $π$ and 10 for $r$ . $π$ に3.14、 $r$ に10を代入する。	$A \approx (3.14) {(10)}^{2}$
Multiply. 掛ける。	$A \approx 314 square centimeters$ $A \approx 314 平方センチメートル$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 5.38例題 5.38

A circle has radius

42.5

centimeters. Approximate its ⓐ circumference and ⓑ area.

半径が

42.5

センチメートルの円がある。ⓐ 円周の長さとⓑ 面積の近似値を求めよ。

Solution解答

ⓐ Find the circumference when $r = 42.5 .$ ⓐ $r = 42.5$ のときの円周の長さを求める。
Write the formula for circumference. 円周の長さの公式を書く。	$C = 2 π r$
Substitute 3.14 for $π$ and 42.5 for $r$ $π$ に3.14、 $r$ に42.5を代入する。	$C \approx 2 (3.14) (42.5)$
Multiply. 掛ける。	$C \approx 266.9 centimeters$ $C \approx 266.9 センチメートル$

ⓑ Find the area when $r = 42.5$ . ⓑ $r = 42.5$ のときの面積を求める。
Write the formula for area. 面積の公式を書く。	$A = π r^{2}$
Substitute 3.14 for $π$ and 42.5 for $r$ . $π$ に3.14、 $r$ に42.5を代入する。	$A \approx (3.14) {(42.5)}^{2}$
Multiply. 掛ける。	$A \approx 5671.625 square centimeters$ $A \approx 5671.625 平方センチメートル$

Try It (2)確認問題（2題）