第5章小数

Square Roots and the Order of Operations平方根と計算の順序

When using the order of operations to simplify an expression that has square roots, we treat the radical sign as a grouping symbol. We simplify any expressions under the radical sign before performing other operations.

平方根を含む式を計算の順序に従って簡単にするときは、根号をまとまりを示す記号として扱う。他の演算を行う前に、根号の中の式を簡単にする。

Example 5.72例題 5.72

Simplify: ⓐ

\sqrt{25} + \sqrt{144}

ⓑ

\sqrt{25 + 144} .

簡単にする：ⓐ

\sqrt{25} + \sqrt{144}

　ⓑ

\sqrt{25 + 144}

Solution解答

ⓐ Use the order of operations. ⓐ 計算の順序に従う。
	$\sqrt{25} + \sqrt{144}$
Simplify each radical. それぞれの根号の値を求める。	$5 + 12$
Add. 足す。	$17$

ⓑ Use the order of operations. ⓑ 計算の順序に従う。
	$\sqrt{25 + 144}$
Add under the radical sign. 根号の中をたす。	$\sqrt{169}$
Simplify. 簡単にする。	$13$

Try It (2)確認問題（2題）

Notice the different answers in parts ⓐ and ⓑ of Example 5.72. It is important to follow the order of operations correctly. In ⓐ , we took each square root first and then added them. In ⓑ , we added under the radical sign first and then found the square root.

例5.72のⓐ とⓑ で答えが異なることに注目しよう。計算の順序を正しく守ることが重要である。ⓐ では、まずそれぞれの平方根を求め、その後たした。ⓑ では、まず根号の中をたし、その後平方根を求めた。

Estimate Square Roots平方根の値を見積もる

So far we have only worked with square roots of perfect squares. The square roots of other numbers are not whole numbers.

これまでは平方数の平方根だけを扱ってきた。他の数の平方根は、非負整数にはならない。

2列の表。第1列の見出しは「数」で、4、5、6、7、8、9が並ぶ。第2列の見出しは「平方根」で、√4＝2、√5、√6、√7、√8、√9＝3が並ぶ。

We might conclude that the square roots of numbers between

4

and

9

will be between

2

and

3,

and they will not be whole numbers. Based on the pattern in the table above, we could say that

\sqrt{5}

is between

2

and

3 .

Using inequality symbols, we write

4

と

9

の間の数の平方根は、

2

と

3

の間にあり、非負整数にはならないと考えられる。上の表の規則性から、

\sqrt{5}

は

2

と

3

の間にあるといえる。不等号を使うと、次のように書ける。

2 < \sqrt{5} < 3

Example 5.73例題 5.73

Estimate

\sqrt{60}

between two consecutive whole numbers.

\sqrt{60}

が、どの連続する2つの非負整数の間にあるか見積もれ。

Solution解答

Think of the perfect squares closest to

60 .

Make a small table of these perfect squares and their squares roots.

60

に近い平方数を考え、それらとその平方根の小さな表を作る。

2列の表。第1列の見出しは「数」で、36、49、64、81が並ぶ。49と64の間から出た吹き出しに60とある。第2列の見出しは「平方根」で、6、7、8、9が並ぶ。7と8の間から出た吹き出しに√60とある。

$Locate 60 between two consecutive perfect squares.$ $60が隣り合うどの2つの平方数の間にあるかを調べる。$	$49 < 60 < 64$
$\sqrt{60} is between their square roots.$ $\sqrt{60} はそれらの平方根の間にある。$	$7 < \sqrt{60} < 8$

Try It (2)確認問題（2題）

Approximate Square Roots with a Calculator電卓で平方根の近似値を求める

There are mathematical methods to approximate square roots, but it is much more convenient to use a calculator to find square roots. Find the

\sqrt{}

\sqrt{x}

key on your calculator. You will need to use this key to approximate square roots. When you use your calculator to find the square root of a number that is not a perfect square, the answer that you see is not the exact number. It is an approximation, to the number of digits shown on your calculator’s display. The symbol for an approximation is

\approx

and it is read approximately.

平方根の近似値を求める数学的な方法もあるが、電卓を使う方がずっと便利である。電卓の

\sqrt{}

または

\sqrt{x}

キーを探そう。平方根の近似値を求めるには、このキーを使う。平方数ではない数の平方根を電卓で求めると、表示された答えは正確な値ではない。表示できる桁数までの近似値である。近似を表す記号は

\approx

で、「ほぼ等しい」と読む。

Suppose your calculator has a

10-digit

display. Using it to find the square root of

5

will give

2.236067977 .

This is the approximate square root of

5 .

When we report the answer, we should use the “approximately equal to” sign instead of an equal sign.

電卓が

10桁

表示だとする。

5

の平方根を求めると、

2.236067977

と表示される。これは

5

の平方根の近似値である。答えを示すときは、等号の代わりに「ほぼ等しい」の記号を使う。

\sqrt{5} \approx 2.236067978

You will seldom use this many digits for applications in algebra. So, if you wanted to round

\sqrt{5}

to two decimal places, you would write

代数の応用問題で、これほど多くの桁を使うことはめったにない。したがって、

\sqrt{5}

を小数第2位まで四捨五入するなら、次のように書く。

\sqrt{5} \approx 2.24

How do we know these values are approximations and not the exact values? Look at what happens when we square them.

これらが正確な値ではなく近似値だと、どうすればわかるだろうか。2乗するとどうなるか見てみよう。

\begin{matrix} {2.236067978}^{2} & = & 5.000000002 \\ {2.24}^{2} & = & 5.0176 \end{matrix}

The squares are close, but not exactly equal, to

5 .

平方は

5

に近いが、正確には等しくない。

Example 5.74例題 5.74

Round

\sqrt{17}

to two decimal places using a calculator.

電卓を使い、

\sqrt{17}

を小数第2位まで四捨五入せよ。

Solution解答

	$\sqrt{17}$
Use the calculator square root key. 電卓の平方根キーを使う。	$4.123105626$
Round to two decimal places. 小数第2位まで四捨五入する。	$4.12$
	$\sqrt{17} \approx 4.12$

Try It (2)確認問題（2題）

Simplify Variable Expressions with Square Roots平方根を含む文字式を簡単にする

Expressions with square root that we have looked at so far have not had any variables. What happens when we have to find a square root of a variable expression?

これまで見た平方根を含む式には、変数がなかった。変数を含む式の平方根を求めると、どうなるだろうか。

Consider

\sqrt{9 x^{2}},

where

x \geq 0 .

Can you think of an expression whose square is

9 x^{2} ?

x \geq 0

として、

\sqrt{9 x^{2}}

を考えよう。平方すると

9 x^{2}

になる式を思い付くだろうか。

\begin{matrix} {(?)}^{2} & = & 9 x^{2} \\ {(3 x)}^{2} & = & 9 x^{2} so \sqrt{9 x^{2}} = 3 x \end{matrix}

\begin{matrix} {(?)}^{2} & = & 9 x^{2} \\ {(3 x)}^{2} & = & 9 x^{2} したがって \sqrt{9 x^{2}} = 3 x \end{matrix}

When we use a variable in a square root expression, for our work, we will assume that the variable represents a non-negative number. In every example and exercise that follows, each variable in a square root expression is greater than or equal to zero.

英語のヒント

ここで平方根を含む式の変数を扱うときは、その変数は非負の数を表すものとする。以下のすべての例と練習問題では、平方根を含む式の各変数は0以上である。

Example 5.75例題 5.75

Simplify:

\sqrt{x^{2}} .

次の式を簡単にする：

\sqrt{x^{2}}

Solution解答

Think about what we would have to square to get

x^{2}

. Algebraically,

{(?)}^{2} = x^{2}

何を2乗すると

x^{2}

になるか考えよう。代数式では、

{(?)}^{2} = x^{2}

である。

	$\sqrt{x^{2}}$
Since ${(x)}^{2} = x^{2}$ ${(x)}^{2} = x^{2}$ なので、	$x$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 5.76例題 5.76

Simplify:

\sqrt{16 x^{2}} .

次の式を簡単にする：

\sqrt{16 x^{2}}

Solution解答

	$\sqrt{16 x^{2}}$
$Since {(4 x)}^{2} = 16 x^{2}$ $次が成り立つので： {(4 x)}^{2} = 16 x^{2}$	$4 x$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 5.77例題 5.77

Simplify:

- \sqrt{81 y^{2}} .

次の式を簡単にする：

- \sqrt{81 y^{2}}

Solution解答

	$- \sqrt{81 y^{2}}$
$Since {(9 y)}^{2} = 81 y^{2}$ $次が成り立つので： {(9 y)}^{2} = 81 y^{2}$	$- 9 y$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 5.78例題 5.78

Simplify:

\sqrt{36 x^{2} y^{2}} .

次の式を簡単にする：

\sqrt{36 x^{2} y^{2}}

Solution解答

	$\sqrt{36 x^{2} y^{2}}$
$Since {(6 x y)}^{2} = 36 x^{2} y^{2}$ $次が成り立つので： {(6 x y)}^{2} = 36 x^{2} y^{2}$	$6 x y$

Try It (2)確認問題（2題）