第2章代数の言葉

2.1 Use the Language of Algebra2.1　代数の言葉を使う

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

この節を終えると、次のことができるようになる。

Use variables and algebraic symbols
変数と代数の記号を使う
Identify expressions and equations
式と方程式を区別する
Simplify expressions with exponents
指数を含む式を簡単にする
Simplify expressions using the order of operations
計算の順序に従って式を簡単にする

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Use Variables and Algebraic Symbols変数と代数の記号を使う

Greg and Alex have the same birthday, but they were born in different years. This year Greg is

20

years old and Alex is

23,

so Alex is

3

years older than Greg. When Greg was

12,

Alex was

15 .

When Greg is

35,

Alex will be

38 .

No matter what Greg’s age is, Alex’s age will always be

3

years more, right?

グレッグとアレックスは誕生日が同じだが、生まれた年は違う。今年グレッグは

20

歳、アレックスは

23

歳なので、アレックスはグレッグより

3

歳年上である。グレッグが

12

歳のとき、アレックスは

15

歳だった。グレッグが

35

歳になると、アレックスは

38

歳になる。グレッグが何歳でも、アレックスは常に

3

歳年上になるだろう。

In the language of algebra, we say that Greg’s age and Alex’s age are variable and the three is a constant. The ages change, or vary, so age is a variable. The

3

years between them always stays the same, so the age difference is the constant.

代数の言葉では、グレッグとアレックスの年齢は変数で、3は定数であるという。年齢は変わる、つまり変化するので、変数である。2人の

3

歳という年齢差は常に変わらないため、定数である。

In algebra, letters of the alphabet are used to represent variables. Suppose we call Greg’s age

g .

Then we could use

g + 3

to represent Alex’s age. See Table 2.1.

代数では、アルファベットの文字で変数を表す。グレッグの年齢を

g

と呼ぶことにしよう。そうすれば、

g + 3

でアレックスの年齢を表せる。表2.1を参照せよ。

Table 2.1表 2.1
Greg’s age グレッグの年齢	Alex’s age アレックスの年齢
$12$	$15$
$20$	$23$
$35$	$38$
$g$	$g + 3$

Letters are used to represent variables. Letters often used for variables are

x, y, a, b, and c .

文字は変数を表すために使う。変数によく使う文字は

x, y, a, b, と c

である。

To write algebraically, we need some symbols as well as numbers and variables. There are several types of symbols we will be using. In Whole Numbers, we introduced the symbols for the four basic arithmetic operations: addition, subtraction, multiplication, and division. We will summarize them here, along with words we use for the operations and the result.

代数で書き表すには、数と変数に加え、記号が必要である。これから何種類かの記号を使う。「非負整数」では、足し算、引き算、掛け算、割り算という4つの基本的な算術演算の記号を紹介した。ここでは、演算とその結果を表す言葉とともにまとめる。

Operation 演算	Notation 表記	Say: 読み方：	The result is… 結果は…
Addition 足し算	$a + b$	$a plus b$ $a 足す b$	the sum of $a$ and $b$ $a$ と $b$ の和
Subtraction 引き算	$a - b$	$a minus b$ $a 引く b$	the difference of $a$ and $b$ $a$ と $b$ の差
Multiplication 掛け算	$a \cdot b, (a) (b), (a) b, a (b)$	$a times b$ $a 掛ける b$	The product of $a$ and $b$ $a$ と $b$ の積
Division 割り算	$a \div b, a / b, \frac{a}{b}, b a$	$a$ divided by $b$ $a$ を $b$ で割った数	The quotient of $a$ and $b$ $a$ と $b$ の商

In algebra, the cross symbol,

\times,

is not used to show multiplication because that symbol may cause confusion. Does

3 x y

mean

3 \times y

(three times

y

) or

3 \cdot x \cdot y

(three times

x times y

)? To make it clear, use • or parentheses for multiplication.

代数では、交差した記号

\times

は混乱を招くことがあるため、掛け算を表すのに使わない。

3 x y

は

3 \times y

（3掛ける

y

）を意味するのか、それとも

3 \cdot x \cdot y

（3掛ける

x 掛ける y

）を意味するのか。明確にするため、掛け算には•または丸括弧を使う。

We perform these operations on two numbers. When translating from symbolic form to words, or from words to symbolic form, pay attention to the words of or and to help you find the numbers.

これらの演算は2つの数に対して行う。記号から言葉に直すときも、言葉から記号に直すときも、ofやandという語に注意すると、数を見つけやすくなる。

The sum of $5$ and $3$ means add $5$ plus $3,$ which we write as $5 + 3 .$
$5$ と $3$ の和は、 $5$ に $3$ を足すことを意味し、 $5 + 3$ と書く。
The difference of $9$ and $2$ means subtract $9$ minus $2,$ which we write as $9 - 2 .$
$9$ と $2$ の差は、 $9$ から $2$ を引くことを意味し、 $9 - 2$ と書く。
The product of $4$ and $8$ means multiply $4$ times $8,$ which we can write as $4 \cdot 8 .$
$4$ と $8$ の積は、 $4$ に $8$ を掛けることを意味し、 $4 \cdot 8$ と書ける。
The quotient of $20$ and $5$ means divide $20$ by $5,$ which we can write as $20 \div 5 .$
$20$ と $5$ の商は、 $20$ を $5$ で割ることを意味し、 $20 \div 5$ と書ける。

Example 2.1例題 2.1

Translate from algebra to words:

代数の表記を言葉で表せ。

ⓐ $12 + 14$
ⓑ $(30) (5)$
ⓒ $64 \div 8$
ⓓ $x - y$

Solution解答

ⓐ

12 + 14

12 plus 14

12足す14

the sum of twelve and fourteen

十二と十四の和

ⓑ

(30) (5)

30 times 5

30掛ける5

the product of thirty and five

三十と五の積

ⓒ

64 \div 8

64 divided by 8

64割る8

the quotient of sixty-four and eight

六十四と八の商

ⓓ

x - y

x

minus

y

x

引く

y

the difference of

x

and

y

x

と

y

の差

Try It (2)確認問題（2題）

When two quantities have the same value, we say they are equal and connect them with an equal sign.

英語のヒント

2つの量が同じ値をもつとき、それらは等しいといい、等号で結ぶ。

An inequality is used in algebra to compare two quantities that may have different values. The number line can help you understand inequalities. Remember that on the number line the numbers get larger as they go from left to right. So if we know that

b

is greater than

a,

it means that

b

is to the right of

a

on the number line. We use the symbols

“<”

and

“>”

for inequalities.

英語のヒント

代数では、異なる値をもつ可能性のある2つの量を比べるために不等式を使う。数直線は不等式の理解に役立つ。数直線では、左から右へ進むにつれて数が大きくなることを思い出そう。したがって、

b

が

a

より大きいと分かれば、数直線上で

b

は

a

の右側にあることを意味する。不等式には

“<”

と

“>”

という記号を使う。

The expressions

a < b and a > b

can be read from left-to-right or right-to-left, though in English we usually read from left-to-right. In general,

a < b と a > b

という式は、左から右にも右から左にも読めるが、英語では通常、左から右に読む。一般に、次のようになる。

\begin{array}{l} a < b is equivalent to b > a . For example, 7 < 11 is equivalent to 11 > 7 . \\ a > b is equivalent to b < a . For example, 17 > 4 is equivalent to 4 < 17 . \end{array}

\begin{array}{l} a < b は次と同値である： b > a . 例えば、 7 < 11 は次と同値である： 11 > 7 . \\ a > b は次と同値である： b < a . 例えば、 17 > 4 は次と同値である： 4 < 17 . \end{array}

When we write an inequality symbol with a line under it, such as

a \leq b,

it means

a < b

a = b .

We read this

a

is less than or equal to

b .

Also, if we put a slash through an equal sign,

≠,

it means not equal.

a \leq b

のように不等号の下に線を書くと、

a < b

または

a = b

という意味になる。これは「

a

は

b

以下である」と読む。また、等号に斜線を入れた

≠

は、等しくないことを意味する。

We summarize the symbols of equality and inequality in Table 2.2.

等号と不等号を表2.2にまとめる。

Table 2.2表 2.2
Algebraic Notation 代数の表記	Say 読み方
$a = b$	$a$ is equal to $b$ $a$ は $b$ に等しい
$a \neq b$	$a$ is not equal to $b$ $a$ は $b$ に等しくない
$a < b$	$a$ is less than $b$ $a$ は $b$ より小さい
$a > b$	$a$ is greater than $b$ $a$ は $b$ より大きい
$a \leq b$	$a$ is less than or equal to $b$ $a$ は $b$ 以下である
$a \geq b$	$a$ is greater than or equal to $b$ $a$ は $b$ 以上である

Example 2.2例題 2.2

Translate from algebra to words:

代数の表記を言葉で表せ。

ⓐ $20 \leq 35$
ⓑ $11 \neq 15 - 3$
ⓓ $x + 2 < 10$

Solution解答

ⓐ

20 \leq 35

20 is less than or equal to 35

20は35以下である

ⓑ

11 \neq 15 - 3

11 is not equal to 15 minus 3

11は15引く3に等しくない

ⓒ

9 > 10 \div 2

9 is greater than 10 divided by 2

9は10割る2より大きい

ⓓ

x + 2 < 10

x

plus 2 is less than 10

x

足す2は10より小さい

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.3例題 2.3

The information in Figure 2.2 compares the fuel economy in miles-per-gallon (mpg) of several cars. Write the appropriate symbol

=, <, or >

in each expression to compare the fuel economy of the cars.

英語のヒント

図2.2の情報は、いくつかの車の燃費を1ガロン当たりの走行マイル数（mpg）で比較している。車の燃費を比較するように、各式に適切な記号

=, <, または >

を書け。

Car 車種	Prius	Mini Cooper	Toyota Corolla	Versa	Honda Fit
Fuel economy (mpg) 燃費（mpg）	48	27	28	26	27

Photograph omitted because its reuse rights could not be verified.権利の確認ができないため写真を割愛。

Figure 2.2図 2.2

(credit: modification of work by Bernard Goldbach, Wikimedia Commons)

（クレジット：Bernard Goldbach、Wikimedia Commonsの作品を改変）

ⓐ MPG of Prius_____ MPG of Mini Cooper
ⓐ プリウスのMPG_____ミニクーパーのMPG
ⓑ MPG of Versa_____ MPG of Fit
ⓑ ヴァーサのMPG_____フィットのMPG
ⓓ MPG of Corolla_____ MPG of Versa
ⓓ カローラのMPG_____ヴァーサのMPG
ⓔ MPG of Corolla_____ MPG of Prius
ⓔ カローラのMPG_____プリウスのMPG

Solution解答

ⓐ
	MPG of Prius____MPG of Mini Cooper プリウスのMPG____ミニクーパーのMPG
Find the values in the chart. 表で値を調べる。	48____27
Compare. 比較する。	48 > 27
	MPG of Prius > MPG of Mini Cooper プリウスのMPG > ミニクーパーのMPG

ⓑ
	MPG of Versa____MPG of Fit ヴァーサのMPG____フィットのMPG
Find the values in the chart. 表で値を調べる。	26____27
Compare. 比較する。	26 < 27
	MPG of Versa < MPG of Fit ヴァーサのMPG < フィットのMPG

ⓒ
	MPG of Mini Cooper____MPG of Fit ミニクーパーのMPG____フィットのMPG
Find the values in the chart. 表で値を調べる。	27____27
Compare. 比較する。	27 = 27
	MPG of Mini Cooper = MPG of Fit ミニクーパーのMPG = フィットのMPG

ⓓ
	MPG of Corolla____MPG of Versa カローラのMPG____ヴァーサのMPG
Find the values in the chart. 表で値を調べる。	28____26
Compare. 比較する。	28 > 26
	MPG of Corolla > MPG of Versa カローラのMPG > ヴァーサのMPG

ⓔ
	MPG of Corolla____MPG of Prius カローラのMPG____プリウスのMPG
Find the values in the chart. 表で値を調べる。	28____48
Compare. 比較する。	28 < 48
	MPG of Corolla < MPG of Prius カローラのMPG < プリウスのMPG

Try It (2)確認問題（2題）

Grouping symbols in algebra are much like the commas, colons, and other punctuation marks in written language. They indicate which expressions are to be kept together and separate from other expressions. Table 2.3 lists three of the most commonly used grouping symbols in algebra.

英語のヒント

代数で式をまとめる記号は、文章で使うコンマ、コロンなどの句読記号によく似ている。どの式をまとめ、ほかの式から分けておくかを示す。表2.3には、代数で特によく使う3種類の括弧を示す。

Table 2.3表 2.3
Common Grouping Symbols よく使う括弧
parentheses 丸括弧	$()$
brackets 角括弧	$[]$
braces 英語のヒント波括弧	${}$

Here are some examples of expressions that include grouping symbols. We will simplify expressions like these later in this section.

括弧を含む式の例を以下に示す。このような式は、この節の後半で簡単にする。

8 (14 - 8) 21 - 3 [2 + 4 (9 - 8)] 24 \div {13 - 2 [1 (6 - 5) + 4]}

第2章代数の言葉

2.1 Use the Language of Algebra2.1 代数の言葉を使う

Learning Objectives学習目標

Use Variables and Algebraic Symbols変数と代数の記号を使う

Solution解答

Solution解答

Solution解答

2.1 Use the Language of Algebra2.1　代数の言葉を使う