第2章代数の言葉

2.4 Find Multiples and Factors2.4　倍数と約数を求める

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

この節を終えると、次のことができるようになる。

Identify multiples of numbers
数の倍数を見分ける
Use common divisibility tests
よく使う整除判定法を使う
Find all the factors of a number
数の約数をすべて求める
Identify prime and composite numbers
素数と合成数を見分ける

Before You Begin (2)準備問題（2題）

Identify Multiples of Numbers数の倍数を見分ける

Annie is counting the shoes in her closet. The shoes are matched in pairs, so she doesn’t have to count each one. She counts by twos:

2, 4, 6, 8, 10, 12 .

She has

12

shoes in her closet.

アニーはクローゼットの靴を数えている。靴は左右の対になっているため、1足ずつ数える必要はない。

2, 4, 6, 8, 10, 12

と2つずつ数える。クローゼットには靴が

12

個ある。

The numbers

2, 4, 6, 8, 10, 12

are called multiples of

2 .

Multiples of

2

can be written as the product of a counting number and

2 .

The first six multiples of

2

are given below.

数

2, 4, 6, 8, 10, 12

を

2

の倍数という。

2

の倍数は、数える数と

2

の積として書ける。

2

の最初の6つの倍数を以下に示す。

\begin{array}{l} 1 \cdot 2 = 2 \\ 2 \cdot 2 = 4 \\ 3 \cdot 2 = 6 \\ 4 \cdot 2 = 8 \\ 5 \cdot 2 = 10 \\ 6 \cdot 2 = 12 \end{array}

A multiple of a number is the product of the number and a counting number. So a multiple of

3

would be the product of a counting number and

3 .

Below are the first six multiples of

3 .

ある数の倍数とは、その数と数える数との積である。したがって、

3

の倍数は数える数と

3

の積になる。

3

の最初の6つの倍数を以下に示す。

\begin{array}{l} 1 \cdot 3 = 3 \\ 2 \cdot 3 = 6 \\ 3 \cdot 3 = 9 \\ 4 \cdot 3 = 12 \\ 5 \cdot 3 = 15 \\ 6 \cdot 3 = 18 \end{array}

We can find the multiples of any number by continuing this process. Table 2.9 shows the multiples of

2

through

9

for the first twelve counting numbers.

この過程を続ければ、どの数の倍数も求められる。表2.9には、最初の12個の数える数を使った、

2

から

9

までの倍数を示す。

Table 2.9表 2.9
Counting Number 数える数	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$Multiples of 2$ $倍数： 2$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$	$18$	$20$	$22$	$24$
$Multiples of 3$ $倍数： 3$	$3$	$6$	$9$	$12$	$15$	$18$	$21$	$24$	$27$	$30$	$33$	$36$
$Multiples of 4$ $倍数： 4$	$4$	$8$	$12$	$16$	$20$	$24$	$28$	$32$	$36$	$40$	$44$	$48$
$Multiples of 5$ $倍数： 5$	$5$	$10$	$15$	$20$	$25$	$30$	$35$	$40$	$45$	$50$	$55$	$60$
$Multiples of 6$ $倍数： 6$	$6$	$12$	$18$	$24$	$30$	$36$	$42$	$48$	$54$	$60$	$66$	$72$
$Multiples of 7$ $倍数： 7$	$7$	$14$	$21$	$28$	$35$	$42$	$49$	$56$	$63$	$70$	$77$	$84$
$Multiples of 8$ $倍数： 8$	$8$	$16$	$24$	$32$	$40$	$48$	$56$	$64$	$72$	$80$	$88$	$96$
$Multiples of 9$ $倍数： 9$	$9$	$18$	$27$	$36$	$45$	$54$	$63$	$72$	$81$	$90$	$99$	$108$

Recognizing the patterns for multiples of

2, 5, 10, and 3

will be helpful to you as you continue in this course.

2, 5, 10, と 3

の倍数の規則性を見分けることは、このコースを進める際に役立つ。

Additional Resources追加教材

Figure 2.6 shows the counting numbers from

1

50 .

Multiples of

2

are highlighted. Do you notice a pattern?

図2.6は、

1

から

50

までの数える数を示している。

2

の倍数に色が付いている。規則性に気づくだろうか。

5行10列の表。第1行は1〜10、第2行は11〜20、第3行は21〜30、第4行は31〜40、第5行は41〜50の数を並べている。2の約数がすべて青色で強調されている。 — Figure 2.6図 2.6
Multiples of $2$ between $1$ and $50$
$1$ から $50$ までにある $2$ の倍数

The last digit of each highlighted number in Figure 2.6 is either

0, 2, 4, 6, or 8 .

This is true for the product of

2

and any counting number. So, to tell if any number is a multiple of

2

look at the last digit. If it is

0, 2, 4, 6, or 8,

then the number is a multiple of

2 .

図2.6で色の付いた数の末尾の数字は、すべて

0, 2, 4, 6, または 8

のいずれかである。これは、

2

とどの数える数との積についても成り立つ。したがって、ある数が

2

の倍数かを調べるには、末尾の数字を見る。

0, 2, 4, 6, または 8

のいずれかなら、その数は

2

の倍数である。

Example 2.40例題 2.40

Determine whether each of the following is a multiple of

2 :

次の各数が

2 :

の倍数かどうかを判定せよ。

ⓐ $489$
ⓑ $3,714$

Solution解答

ⓐ
Is 489 a multiple of 2? 489は2の倍数か。
Is the last digit 0, 2, 4, 6, or 8? 末尾の数字は0、2、4、6、8のいずれかか。	No. いいえ。
	489 is not a multiple of 2. 489は2の倍数ではない。

ⓑ
Is 3,714 a multiple of 2? 3,714は2の倍数か。
Is the last digit 0, 2, 4, 6, or 8? 末尾の数字は0、2、4、6、8のいずれかか。	Yes. はい。
	3,714 is a multiple of 2. 3,714は2の倍数である。

Try It (2)確認問題（2題）

Now let’s look at multiples of

5 .

Figure 2.7 highlights all of the multiples of

5

between

1

and

50 .

What do you notice about the multiples of

5 ?

次に

5

の倍数を見よう。図2.7では、

1

から

50

までの

5

の倍数すべてに色を付けている。

5

の倍数について、何に気づくだろうか。

5行10列の表。第1行は1〜10、第2行は11〜20、第3行は21〜30、第4行は31〜40、第5行は41〜50の数を並べている。5の約数がすべて青色で強調されている。 — Figure 2.7図 2.7
Multiples of $5$ between $1$ and $50$
$1$ から $50$ までにある $5$ の倍数

All multiples of

5

end with either

5

0 .

Just like we identify multiples of

2

by looking at the last digit, we can identify multiples of

5

by looking at the last digit.

5

の倍数はすべて、末尾が

5

か

0

である。末尾の数字を見て

2

の倍数を見分けるのと同様に、末尾の数字から

5

の倍数を見分けられる。

Example 2.41例題 2.41

Determine whether each of the following is a multiple of

5 :

次の各数が

5 :

の倍数かどうかを判定せよ。

ⓐ $579$
ⓑ $880$

Solution解答

ⓐ
Is 579 a multiple of 5? 579は5の倍数か。
Is the last digit 5 or 0? 末尾の数字は5か0か。	No. いいえ。
	579 is not a multiple of 5. 579は5の倍数ではない。

ⓑ
Is 880 a multiple of 5? 880は5の倍数か。
Is the last digit 5 or 0? 末尾の数字は5か0か。	Yes. はい。
	880 is a multiple of 5. 880は5の倍数である。

Try It (2)確認問題（2題）

Figure 2.8 highlights the multiples of

10

between

1

and

50 .

All multiples of

10

all end with a zero.

図2.8では、

1

から

50

までの

10

の倍数に色を付けている。

10

の倍数はすべて、末尾が0である。

5行10列の表。第1行は1〜10、第2行は11〜20、第3行は21〜30、第4行は31〜40、第5行は41〜50の数を並べている。10の約数がすべて青色で強調されている。 — Figure 2.8図 2.8
Multiples of $10$ between $1$ and $50$
$1$ から $50$ までにある $10$ の倍数

Example 2.42例題 2.42

Determine whether each of the following is a multiple of

10 :

次の各数が

10 :

の倍数かどうかを判定せよ。

ⓐ $425$
ⓑ $350$

Solution解答

ⓐ
Is 425 a multiple of 10? 425は10の倍数か。
Is the last digit zero? 末尾の数字は0か。	No. いいえ。
	425 is not a multiple of 10. 425は10の倍数ではない。

ⓑ
Is 350 a multiple of 10? 350は10の倍数か。
Is the last digit zero? 末尾の数字は0か。	Yes. はい。
	350 is a multiple of 10. 350は10の倍数である。

Try It (2)確認問題（2題）

Figure 2.9 highlights multiples of

3 .

The pattern for multiples of

3

is not as obvious as the patterns for multiples of

2, 5, and 10 .

図2.9では

3

の倍数に色を付けている。

3

の倍数の規則性は、

2, 5, と 10

の倍数ほど明らかではない。

5行10列の表。第1行は1〜10、第2行は11〜20、第3行は21〜30、第4行は31〜40、第5行は41〜50の数を並べている。3の約数がすべて青色で強調されている。 — Figure 2.9図 2.9
Multiples of $3$ between $1$ and $50$
$1$ から $50$ までにある $3$ の倍数

Unlike the other patterns we’ve examined so far, this pattern does not involve the last digit. The pattern for multiples of

3

is based on the sum of the digits. If the sum of the digits of a number is a multiple of

3,

then the number itself is a multiple of

3 .

See Table 2.10.

ここまでに調べたほかの規則性と違い、この規則性には末尾の数字は関係しない。

3

の倍数の規則性は、各桁の数字の和に基づく。ある数の各桁の数字の和が

3

の倍数なら、その数自体も

3

の倍数である。表2.10を参照せよ。

Table 2.10表 2.10
$Multiple of 3$ $3の倍数$	$3$	$6$	$9$	$12$	$15$	$18$	$21$	$24$
$Sum of digits$ $各桁の数字の和$	$3$	$6$	$9$	$\begin{array}{c} 1 + 2 \\ 3 \end{array}$	$\begin{array}{c} 1 + 5 \\ 6 \end{array}$	$\begin{array}{c} 1 + 8 \\ 9 \end{array}$	$\begin{array}{c} 2 + 1 \\ 3 \end{array}$	$\begin{array}{c} 2 + 4 \\ 6 \end{array}$

Consider the number

42 .

The digits are

4

and

2,

and their sum is

4 + 2 = 6 .

Since

6

is a multiple of

3,

we know that

42

is also a multiple of

3 .

42

という数を考えよう。各桁の数字は

4

と

2

で、和は

4 + 2 = 6

である。

6

は

3

の倍数なので、

42

も

3

の倍数であると分かる。

Example 2.43例題 2.43

Determine whether each of the given numbers is a multiple of

3 :

与えられた各数が

3 :

の倍数かどうかを判定せよ。

ⓐ $645$
ⓑ $10,519$

Solution解答

ⓐ Is

645

a multiple of

3 ?

ⓐ

645

は

3

の倍数か。

Find the sum of the digits. 各桁の数字の和を求める。	$6 + 4 + 5 = 15$
Is 15 a multiple of 3? 15は3の倍数か。	Yes. はい。
If we're not sure, we could add its digits to find out. We can check it by dividing 645 by 3. 確信がなければ、各桁の数字を足して調べられる。645を3で割って確かめることもできる。	$645 \div 3$
The quotient is 215. 商は215である。	$3 \cdot 215 = 645$

ⓑ Is

10,519

a multiple of

3 ?

ⓑ

10,519

は

3

の倍数か。

Find the sum of the digits. 各桁の数字の和を求める。	$1 + 0 + 5 + 1 + 9 = 16$
Is 16 a multiple of 3? 16は3の倍数か。	No. いいえ。
So 10,519 is not a multiple of 3 either.. したがって、10,519も3の倍数ではない。	$645 \div 3$
We can check this by dividing by 10,519 by 3. 10,519を3で割って確かめられる。	$\begin{matrix} 3,506 R 1 \\ 3 10,519 \end{matrix}$

When we divide

10,519

3,

we do not get a counting number, so

10,519

is not the product of a counting number and

3 .

It is not a multiple of

3 .

10,519

を

3

で割っても数える数にならないので、

10,519

は数える数と

3

の積ではない。

3

の倍数ではない。

Try It (2)確認問題（2題）

Look back at the charts where you highlighted the multiples of

2,

5,

and of

10 .

Notice that the multiples of

10

are the numbers that are multiples of both

2

and

5 .

That is because

10 = 2 \cdot 5 .

Likewise, since

6 = 2 \cdot 3,

the multiples of

6

are the numbers that are multiples of both

2

and

3 .

2

、

5

、

10

の倍数に色を付けた表を振り返ろう。

10

の倍数は、

2

と

5

の両方の倍数でもあることに注意しよう。これは

10 = 2 \cdot 5

だからである。同様に、

6 = 2 \cdot 3

なので、

6

の倍数は

2

と

3

の両方の倍数である。

第2章代数の言葉

2.4 Find Multiples and Factors2.4 倍数と約数を求める

Learning Objectives学習目標

Identify Multiples of Numbers数の倍数を見分ける

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

2.4 Find Multiples and Factors2.4　倍数と約数を求める