第2章代数の言葉

Simplify Expressions by Combining Like Terms同類項をまとめて式を簡単にする

We can simplify an expression by combining the like terms. What do you think

3 x + 6 x

would simplify to? If you thought

9 x,

you would be right!

同類項をまとめると、式を簡単にできる。

3 x + 6 x

は、簡単にするとどうなると思うか。

9 x

と考えたなら正解である。

We can see why this works by writing both terms as addition problems.

両方の項を足し算の問題として書くと、なぜそうなるかが分かる。

式3x＋6xの図。3xはx＋x＋x、6xはx＋x＋x＋x＋x＋xを表す。式3x＋6xはx＋x＋x＋x＋x＋x＋x＋x＋xとなり、合わせてxが9個、すなわち項9xに簡単にできる。

Add the coefficients and keep the same variable. It doesn’t matter what

x

is. If you have

3

of something and add

6

more of the same thing, the result is

9

of them. For example,

3

oranges plus

6

oranges is

9

oranges. We will discuss the mathematical properties behind this later.

係数を足し、変数は同じままにする。

x

が何であってもよい。何かが

3

個あり、同じ物をさらに

6

個足すと、結果は

9

個になる。例えば、オレンジ

3

個にオレンジ

6

個を足すと、オレンジ

9

個になる。この背後にある数学の性質は後で説明する。

The expression

3 x + 6 x

has only two terms. When an expression contains more terms, it may be helpful to rearrange the terms so that like terms are together. The Commutative Property of Addition says that we can change the order of addends without changing the sum. So we could rearrange the following expression before combining like terms.

式

3 x + 6 x

には項が2つしかない。式にさらに多くの項がある場合は、同類項が隣り合うように並べ替えると役立つことがある。足し算の交換法則によると、足す数の順序を変えても和は変わらない。したがって、次の式は同類項をまとめる前に並べ替えられる。

式3x＋4y＋2x＋6yの図。中央の項4yと2xの位置を入れ替えると、式は3x＋2x＋4y＋6yになる。これでxを含む項どうし、yを含む項どうしが隣り合う。

Now it is easier to see the like terms to be combined.

これで、まとめる同類項が見分けやすくなる。

Example 2.21例題 2.21

Simplify the expression:

3 x + 7 + 4 x + 5 .

式を簡単にせよ：

3 x + 7 + 4 x + 5

Solution解答


Identify the like terms. 同類項を特定する。
Rearrange the expression, so the like terms are together. 同類項が隣り合うように、式を並べ替える。
Add the coefficients of the like terms. 同類項の係数を足す。
The original expression is simplified to... 元の式を簡単にすると、次のようになる。

Try It (2)確認問題（2題）

When any of the terms have negative coefficients, the procedure is the same, except that you have to subtract instead of adding to combine like terms.

負の係数をもつ項があっても手順は同じだが、同類項をまとめるときに、足す代わりに引く必要がある。

Example 2.22例題 2.22

Simplify the expression:

7 x^{2} + 8 x - x^{2} - 4 x .

式を簡単にせよ：

7 x^{2} + 8 x - x^{2} - 4 x

Solution解答


Identify the like terms. 同類項を特定する。
Rearrange the expression so like terms are together. 同類項が隣り合うように式を並べ替える。
Add the coefficients of the like terms. 同類項の係数を足す。

These are not like terms and cannot be combined. So

6 x^{2} + 4 x

is in simplest form.

これらは同類項ではないため、まとめることはできない。したがって、

6 x^{2} + 4 x

は最も簡単な形である。

Try It (2)確認問題（2題）

Translate Words to Algebraic Expressions言葉を代数式に直す

In the previous section, we listed many operation symbols that are used in algebra, and then we translated expressions and equations into word phrases and sentences. Now we’ll reverse the process and translate word phrases into algebraic expressions. The symbols and variables we’ve talked about will help us do that. They are summarized in Table 2.8.

前の節では、代数で使う多くの演算記号を挙げ、式や方程式を言葉の句や文に直した。次は逆に、言葉の句を代数式に直す。これまでに述べた記号や変数が役立つ。表2.8にそれらをまとめる。

Table 2.8表 2.8
Operation 演算	Phrase 句	Expression 式
Addition 足し算	$a$ plus $b$ the sum of $a$ and $b$ $a$ increased by $b$ $b$ more than $a$ the total of $a$ and $b$ $b$ added to $a$ $a$ 足す $b$ 、 $a$ と $b$ の和、 $a$ を $b$ だけ増やした数、 $a$ より $b$ 大きい数、 $a$ と $b$ の合計、 $a$ に $b$ を足した数	$a + b$
Subtraction 引き算	$a$ minus $b$ the difference of $a$ and $b$ $b$ subtracted from $a$ $a$ decreased by $b$ $b$ less than $a$ $a$ 引く $b$ 、 $a$ と $b$ の差、 $a$ から $b$ を引いた数、 $a$ を $b$ だけ減らした数、 $a$ より $b$ 小さい数	$a - b$
Multiplication 掛け算	$a$ times $b$ the product of $a$ and $b$ $a$ 掛ける $b$ 、 $a$ と $b$ の積	$a \cdot b$ , $a b$ , $a (b)$ , $(a) (b)$
Division 割り算	$a$ divided by $b$ the quotient of $a$ and $b$ the ratio of $a$ and $b$ $b$ divided into $a$ $a$ を $b$ で割った数、 $a$ と $b$ の商、 $a$ と $b$ の比、 $b$ で $a$ を割った数	$a \div b$ , $a / b$ , $\frac{a}{b}$ , $b a$

Look closely at these phrases using the four operations:

四則演算を使う次の表現を、よく見よう。

the sum of $a$ and $b$
$a$ と $b$ の和
the difference of $a$ and $b$
$a$ と $b$ の差
the product of $a$ and $b$
$a$ と $b$ の積
the quotient of $a$ and $b$
$a$ を $b$ で割った商

Each phrase tells you to operate on two numbers. Look for the words of and and to find the numbers.

それぞれの表現は、2つの数に演算を行うことを示している。ofとandという語を探して、数を見つけよう。

Example 2.23例題 2.23

Translate each word phrase into an algebraic expression:

各表現を代数式に直せ。

ⓐ the difference of $20$ and $4$
ⓐ $20$ と $4$ の差
ⓑ the quotient of $10 x$ and $3$
ⓑ $10 x$ と $3$ の商

Solution解答

ⓐ The key word is difference, which tells us the operation is subtraction. Look for the words of and and to find the numbers to subtract.

ⓐ キーワードはdifference（差）であり、演算が引き算であることを示す。ofとandという語を探して、引き算に使う数を見つける。

\begin{array}{l} the difference of 20 a n d 4 \\ 20 minus 4 \\ 20 - 4 \end{array}

\begin{array}{l} 差 ： 20 a n d 4 \\ 20 引く 4 \\ 20 - 4 \end{array}

ⓑ The key word is quotient, which tells us the operation is division.

ⓑ キーワードはquotient（商）であり、演算が割り算であることを示す。

\begin{array}{l} the quotient of 10 x and 3 \\ divide 10 x by 3 \\ 10 x \div 3 \end{array}

\begin{array}{l} 次の数の商： 10 x と 3 \\ 割る： 10 x で 3 \\ 10 x \div 3 \end{array}

This can also be written as

\begin{array}{l} 10 x / 3 or \frac{10 x}{3} \end{array}

これは

\begin{array}{l} 10 x / 3 または \frac{10 x}{3} \end{array}

とも書ける。

Try It (2)確認問題（2題）

How old will you be in eight years? What age is eight more years than your age now? Did you add

8

to your present age? Eight more than means eight added to your present age.

8年後には何歳になるだろうか。現在の年齢より8歳上とは何歳か。現在の年齢に

8

を足しただろうか。eight more thanは、現在の年齢に8を足すことを意味する。

How old were you seven years ago? This is seven years less than your age now. You subtract

7

from your present age. Seven less than means seven subtracted from your present age.

7年前は何歳だっただろうか。それは現在の年齢より7歳下である。現在の年齢から

7

を引く。seven less thanは、現在の年齢から7を引くことを意味する。

Example 2.24例題 2.24

Translate each word phrase into an algebraic expression:

各表現を代数式に直せ。

ⓐ Eight more than $y$
ⓐ $y$ より8大きい数
ⓑ Seven less than $9 z$
ⓑ $9 z$ より7小さい数

Solution解答

ⓐ The key words are more than. They tell us the operation is addition. More than means “added to”.

ⓐ キーワードはmore thanである。演算が足し算であることを示す。more thanは「〜に足した」を意味する。

\begin{array}{l} Eight more than y \\ Eight added to y \\ y + 8 \end{array}

\begin{array}{l} 8だけ大きい数： y \\ 8を足す対象： y \\ y + 8 \end{array}

ⓑ The key words are less than. They tell us the operation is subtraction. Less than means “subtracted from”.

ⓑ キーワードはless thanである。演算が引き算であることを示す。less thanは「〜から引いた」を意味する。

\begin{array}{l} Seven less than 9 z \\ Seven subtracted from 9 z \\ 9 z - 7 \end{array}

\begin{array}{l} 7だけ小さい数： 9 z \\ 7を引く対象： 9 z \\ 9 z - 7 \end{array}

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.25例題 2.25

Translate each word phrase into an algebraic expression:

各表現を代数式に直せ。

ⓐ five times the sum of $m$ and $n$
ⓐ $m$ と $n$ の和の5倍
ⓑ the sum of five times $m$ and $n$
ⓑ $m$ の5倍と $n$ の和

Solution解答

ⓐ There are two operation words: times tells us to multiply and sum tells us to add. Because we are multiplying

5

times the sum, we need parentheses around the sum of

m

and

n .

ⓐ 演算を示す語が2つある。timesは掛け算、sumは足し算を示す。和に

5

を掛けるため、

m

と

n

の和を丸括弧で囲む必要がある。

five times the sum of

m

and

n

\begin{matrix} 5 (m + n) \end{matrix}

m

と

n

の和の5倍　

\begin{matrix} 5 (m + n) \end{matrix}

ⓑ To take a sum, we look for the words of and and to see what is being added. Here we are taking the sum of five times

m

and

n .

ⓑ 和を求めるには、ofとandという語を探し、何を足しているかを調べる。ここでは、

m

の5倍と

n

の和を求めている。

the sum of five times

m

and

n

\begin{matrix} 5 m + n \end{matrix}

m

の5倍と

n

の和　

\begin{matrix} 5 m + n \end{matrix}

Notice how the use of parentheses changes the result. In part ⓐ , we add first and in part ⓑ , we multiply first.

丸括弧を使うことで結果がどう変わるかに注意しよう。ⓐでは先に足し、ⓑでは先に掛ける。

Try It (2)確認問題（2題）

Later in this course, we’ll apply our skills in algebra to solving equations. We’ll usually start by translating a word phrase to an algebraic expression. We’ll need to be clear about what the expression will represent. We’ll see how to do this in the next two examples.

このコースの後半では、代数の技能を方程式の解法に応用する。通常は、言葉の表現を代数式に直すことから始める。式が何を表すのかを明確にする必要がある。次の2つの例で、その方法を見ていく。

Example 2.26例題 2.26

The height of a rectangular window is

6

inches less than the width. Let

w

represent the width of the window. Write an expression for the height of the window.

長方形の窓の高さは、幅より

6

インチ短い。窓の幅を

w

とする。窓の高さを表す式を書け。

Solution解答

Write a phrase about the height. 高さについての言葉の表現を書く。	$6$ less than the width 幅より $6$ 小さい数
Substitute $w$ for the width. 幅を $w$ に置き換える。	$6$ less than $w$ $w$ より $6$ 小さい数
Rewrite 'less than' as 'subtracted from'. less thanをsubtracted from（〜から引いた）と言い換える。	$6$ subtracted from $w$ $w$ から $6$ を引いた数
Translate the phrase into algebra. 言葉の表現を代数式に直す。	$w - 6$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.27例題 2.27

Blanca has dimes and quarters in her purse. The number of dimes is

2

less than

5

times the number of quarters. Let

q

represent the number of quarters. Write an expression for the number of dimes.

英語のヒント

ブランカの財布には10セント硬貨と25セント硬貨がある。10セント硬貨の枚数は、25セント硬貨の枚数の

5

倍より

2

枚少ない。25セント硬貨の枚数を

q

とする。10セント硬貨の枚数を表す式を書け。

Solution解答

Write a phrase about the number of dimes. 10セント硬貨の枚数についての言葉の表現を書く。	two less than five times the number of quarters 25セント硬貨の枚数の5倍より2少ない数
Substitute $q$ for the number of quarters. 25セント硬貨の枚数を $q$ に置き換える。	$2$ less than five times $q$ $q$ の5倍より $2$ 小さい数
Translate $5$ times $q$ . $5$ 掛ける $q$ を数式で表す。	$2$ less than $5 q$ $5 q$ より $2$ 小さい数
Translate the phrase into algebra. 言葉の表現を代数式に直す。	$5 q - 2$

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材