第2章代数の言葉

Simplify Expressions Using the Order of Operations計算の順序に従って式を簡単にする

We’ve introduced most of the symbols and notation used in algebra, but now we need to clarify the order of operations. Otherwise, expressions may have different meanings, and they may result in different values.

代数で使う記号と表記法をほとんど紹介したが、次に計算の順序を明確にする必要がある。そうしないと、式が異なる意味をもち、異なる値を生じることがある。

For example, consider the expression:

例えば、次の式を考えよう。

4 + 3 \cdot 7

\begin{matrix} Some students say it simplifies to 49. & Some students say it simplifies to 25. \\ \begin{matrix} 4 + 3 \cdot 7 \\ Since 4 + 3 gives 7. & 7 \cdot 7 \\ And 7 \cdot 7 is 49. & 49 \end{matrix} & \begin{matrix} 4 + 3 \cdot 7 \\ Since 3 \cdot 7 is 21. & 4 + 21 \\ And 21 + 4 makes 25. & 25 \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} 簡単にすると49になるという学生もいる。 & 簡単にすると25になるという学生もいる。 \\ \begin{matrix} 4 + 3 \cdot 7 \\ なぜなら 4 + 3 は7になる。 & 7 \cdot 7 \\ また、 7 \cdot 7 は49である。 & 49 \end{matrix} & \begin{matrix} 4 + 3 \cdot 7 \\ なぜなら 3 \cdot 7 は21である。 & 4 + 21 \\ また、 21 + 4 は25になる。 & 25 \end{matrix} \end{matrix}

Imagine the confusion that could result if every problem had several different correct answers. The same expression should give the same result. So mathematicians established some guidelines called the order of operations, which outlines the order in which parts of an expression must be simplified.

どの問題にも異なる正解がいくつもあったら、どのような混乱が起こるか想像しよう。同じ式は同じ結果になるべきである。そこで数学者は、式の各部分を簡単にする順序を定める「計算の順序」という指針を設けた。

Order of Operations計算の順序

When simplifying mathematical expressions perform the operations in the following order:

数学の式を簡単にするときは、次の順序で演算を行う。

1. Parentheses and other Grouping Symbols

1. 丸括弧などの括弧

Simplify all expressions inside the parentheses or other grouping symbols, working on the innermost parentheses first.
英語のヒント
丸括弧などの括弧の内側の式をすべて簡単にする。最も内側の括弧から始める。

2. Exponents

2. 指数

Simplify all expressions with exponents.
指数を含む式をすべて簡単にする。

3. Multiplication and Division

3. 掛け算と割り算

Perform all multiplication and division in order from left to right. These operations have equal priority.
英語のヒント
掛け算と割り算をすべて、左から右の順に行う。これらの演算の優先順位は同じである。

4. Addition and Subtraction

4. 足し算と引き算

Perform all addition and subtraction in order from left to right. These operations have equal priority.
足し算と引き算をすべて、左から右の順に行う。これらの演算の優先順位は同じである。

Students often ask, “How will I remember the order?” Here is a way to help you remember: Take the first letter of each key word and substitute the silly phrase. Please Excuse My Dear Aunt Sally.

学生はよく「順序をどう覚えればよいか」と尋ねる。覚えやすくする方法がある。各キーワードの頭文字を取り、おどけた文の語に置き換える。Please Excuse My Dear Aunt Sally.（どうか私の大切なサリーおばさんを許してほしい。）

Order of Operations 計算の順序
Please Please（どうか）	Parentheses Parentheses（丸括弧）
Excuse Excuse（許す）	Exponents Exponents（指数）
My Dear My Dear（私の大切な）	Multiplication and Division Multiplication and Division（掛け算と割り算）
Aunt Sally Aunt Sally（サリーおばさん）	Addition and Subtraction Addition and Subtraction（足し算と引き算）

It’s good that ‘My Dear’ goes together, as this reminds us that multiplication and division have equal priority. We do not always do multiplication before division or always do division before multiplication. We do them in order from left to right.

英語のヒント

My Dearがまとまっているのは都合がよい。掛け算と割り算の優先順位が同じであることを思い出させるからである。常に割り算より先に掛け算をするわけでも、常に掛け算より先に割り算をするわけでもない。左から右の順に行う。

Similarly, ‘Aunt Sally’ goes together and so reminds us that addition and subtraction also have equal priority and we do them in order from left to right.

同様に、Aunt Sallyもまとまっており、足し算と引き算の優先順位も同じで、左から右の順に行うことを思い出させる。

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Example 2.8例題 2.8

Simplify the expressions:

式を簡単にせよ。

ⓐ $4 + 3 \cdot 7$
ⓑ $(4 + 3) \cdot 7$

Solution解答

ⓐ

Are there any parentheses? No. 丸括弧はあるか。ない。
Are there any exponents? No. 指数はあるか。ない。
Is there any multiplication or division? Yes. 掛け算や割り算はあるか。ある。
Multiply first. まず掛ける。
Add. 足す。

ⓑ

Are there any parentheses? Yes. 丸括弧はあるか。ある。
Simplify inside the parentheses. 丸括弧の内側を簡単にする。
Are there any exponents? No. 指数はあるか。ない。
Is there any multiplication or division? Yes. 掛け算や割り算はあるか。ある。
Multiply. 掛ける。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.9例題 2.9

Simplify:

簡単にせよ。

ⓐ $18 \div 9 \cdot 2$
ⓑ $18 \cdot 9 \div 2$

Solution解答

ⓐ

Are there any parentheses? No. 丸括弧はあるか。ない。
Are there any exponents? No. 指数はあるか。ない。
Is there any multiplication or division? Yes. 掛け算や割り算はあるか。ある。
Multiply and divide from left to right. Divide. 掛け算と割り算を左から右に行う。割る。
Multiply. 掛ける。

ⓑ

Are there any parentheses? No. 丸括弧はあるか。ない。
Are there any exponents? No. 指数はあるか。ない。
Is there any multiplication or division? Yes. 掛け算や割り算はあるか。ある。
Multiply and divide from left to right. 掛け算と割り算を左から右に行う。
Multiply. 掛ける。
Divide. 割る。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.10例題 2.10

Simplify:

18 \div 6 + 4 (5 - 2) .

次の式を簡単にする：

18 \div 6 + 4 (5 - 2)

Solution解答


Parentheses? Yes, subtract first. 丸括弧はあるか。あるので、まず引く。
Exponents? No. 指数はあるか。ない。
Multiplication or division? Yes. 掛け算や割り算はあるか。ある。
Divide first because we multiply and divide left to right. 掛け算と割り算は左から右に行うので、まず割る。
Any other multiplication or division? Yes. ほかに掛け算や割り算はあるか。ある。
Multiply. 掛ける。
Any other multiplication or division? No. ほかに掛け算や割り算はあるか。ない。
Any addition or subtraction? Yes. 足し算や引き算はあるか。ある。

Try It (2)確認問題（2題）

When there are multiple grouping symbols, we simplify the innermost parentheses first and work outward.

英語のヒント

括弧が複数あるときは、最も内側の括弧を先に簡単にし、外側へ進める。

Example 2.11例題 2.11

Simplify: 5 + 2^{3} + 3 [6 - 3 (4 - 2)] .

簡単にせよ： 5 + 2^{3} + 3 [6 - 3 (4 - 2)]

Solution解答


Are there any parentheses (or other grouping symbol)? Yes. 丸括弧、またはほかの括弧はあるか。ある。
Focus on the parentheses that are inside the brackets. 角括弧の内側にある丸括弧に注目する。
Subtract. 引く。
Continue inside the brackets and multiply. 角括弧の内側で続けて掛ける。
Continue inside the brackets and subtract. 角括弧の内側で続けて引く。
The expression inside the brackets requires no further simplification. 角括弧の内側の式は、これ以上簡単にする必要はない。
Are there any exponents? Yes. 指数はあるか。ある。
Simplify exponents. 指数の計算をする。
Is there any multiplication or division? Yes. 掛け算や割り算はあるか。ある。
Multiply. 掛ける。
Is there any addition or subtraction? Yes. 足し算や引き算はあるか。ある。
Add. 足す。
Add. 足す。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.12例題 2.12

Simplify:

2^{3} + 3^{4} \div 3 - 5^{2} .

次の式を簡単にする：

2^{3} + 3^{4} \div 3 - 5^{2}

Solution解答


If an expression has several exponents, they may be simplified in the same step. 式に指数がいくつかある場合、同じ手順で簡単にしてよい。
Simplify exponents. 指数の計算をする。
Divide. 割る。
Add. 足す。
Subtract. 引く。

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

Operation 演算	Notation 表記	Say: 読み方：	The result is… 結果は…
Addition 足し算	$a + b$	$a plus b$ $a 足す b$	the sum of $a$ and $b$ $a$ と $b$ の和
Multiplication 掛け算	$a \cdot b, (a) (b), (a) b, a (b)$	$a times b$ $a 掛ける b$	The product of $a$ and $b$ $a$ と $b$ の積
Subtraction 引き算	$a - b$	$a minus b$ $a 引く b$	the difference of $a$ and $b$ $a$ と $b$ の差
Division 割り算	$a \div b, a / b, \frac{a}{b}, b a$	$a$ divided by $b$ $a$ を $b$ で割った数	The quotient of $a$ and $b$ $a$ と $b$ の商

Equality Symbol
等しさを表す記号
- $a = b$ is read as $a$ is equal to $b$
  $a = b$ は「 $a$ は $b$ に等しい」と読む。
- The symbol $=$ is called the equal sign.
  記号 $=$ を等号という。
Inequality
不等式
- $a < b$ is read $a$ is less than $b$
  $a < b$ は「 $a$ は $b$ より小さい」と読む。
- $a$ is to the left of $b$ on the number line
  数直線上で $a$ は $b$ の左側にある。
- $a > b$ is read $a$ is greater than $b$
  $a > b$ は「 $a$ は $b$ より大きい」と読む。
- $a$ is to the right of $b$ on the number line
  数直線上で $a$ は $b$ の右側にある。

Table 2.5表 2.5
Algebraic Notation 代数の表記	Say 読み方
$a = b$	$a$ is equal to $b$ $a$ は $b$ に等しい
$a \neq b$	$a$ is not equal to $b$ $a$ は $b$ に等しくない
$a < b$	$a$ is less than $b$ $a$ は $b$ より小さい
$a > b$	$a$ is greater than $b$ $a$ は $b$ より大きい
$a \leq b$	$a$ is less than or equal to $b$ $a$ は $b$ 以下である
$a \geq b$	$a$ is greater than or equal to $b$ $a$ は $b$ 以上である

Exponential Notation
指数表記
- For any expression $a^{n}$ is a factor multiplied by itself $n$ times, if $n$ is a positive integer.
  任意の式 $a^{n}$ では、 $n$ が正の整数なら、同じ因数を $n$ 個掛け合わせる。
- $a^{n}$ means multiply $n$ factors of $a$
  $a^{n}$ は、因数 $a$ を $n$ 個掛けることを意味する。
- The expression of $a^{n}$ is read $a$ to the $n th$ power.
  式 $a^{n}$ は「 $a$ の $n$ 乗」と読む。

Order of Operations When simplifying mathematical expressions perform the operations in the following order:

計算の順序　数学の式を簡単にするときは、次の順序で演算を行う。

Parentheses and other Grouping Symbols: Simplify all expressions inside the parentheses or other grouping symbols, working on the innermost parentheses first.
丸括弧などの括弧：丸括弧などの括弧の内側の式をすべて簡単にする。最も内側の括弧から始める。
Exponents: Simplify all expressions with exponents.
指数：指数を含む式をすべて簡単にする。
Multiplication and Division: Perform all multiplication and division in order from left to right. These operations have equal priority.
掛け算と割り算：掛け算と割り算をすべて、左から右の順に行う。これらの演算の優先順位は同じである。
Addition and Subtraction: Perform all addition and subtraction in order from left to right. These operations have equal priority.
足し算と引き算：足し算と引き算をすべて、左から右の順に行う。これらの演算の優先順位は同じである。