第2章代数の言葉

2.3 Solving Equations Using the Subtraction and Addition Properties of Equality2.3　等式の減法と加法の性質を使って方程式を解く

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

この節を終えると、次のことができるようになる。

Determine whether a number is a solution of an equation
ある数が方程式の解かどうかを判定する
Model the Subtraction Property of Equality
等式の減法の性質をモデルで表す
Solve equations using the Subtraction Property of Equality
等式の減法の性質を使って方程式を解く
Solve equations using the Addition Property of Equality
等式の加法の性質を使って方程式を解く
Translate word phrases to algebraic equations
言葉の表現を代数の方程式に直す
Translate to an equation and solve
方程式に直して解く

Before You Begin (3)準備問題（3題）

When some people hear the word algebra, they think of solving equations. The applications of solving equations are limitless and extend to all careers and fields. In this section, we will begin solving equations. We will start by solving basic equations, and then as we proceed through the course we will build up our skills to cover many different forms of equations.

代数という語を聞いて、方程式を解くことを思い浮かべる人もいる。方程式を解くことの応用は限りなく、あらゆる職業や分野に及ぶ。この節では、方程式を解き始める。まず基本的な方程式を解き、コースを進めながら技能を高め、多様な形の方程式を扱えるようにする。

Determine Whether a Number is a Solution of an Equationある数が方程式の解かどうかを判定する

Solving an equation is like discovering the answer to a puzzle. An algebraic equation states that two algebraic expressions are equal. To solve an equation is to determine the values of the variable that make the equation a true statement. Any number that makes the equation true is called a solution of the equation. It is the answer to the puzzle!

方程式を解くことは、パズルの答えを見つけることに似ている。代数の方程式は、2つの代数式が等しいと述べている。方程式を解くとは、その等式を正しい文にする変数の値を求めることである。等式を成り立たせる数を、その方程式の解という。それがパズルの答えである。

To find the solution to an equation means to find the value of the variable that makes the equation true. Can you recognize the solution of

x + 2 = 7 ?

If you said

5,

you’re right! We say

5

is a solution to the equation

x + 2 = 7

because when we substitute

5

for

x

the resulting statement is true.

方程式の解を求めるとは、等式を成り立たせる変数の値を見つけることである。

x + 2 = 7

の解が分かるだろうか。

5

と答えたなら正解である。方程式

x + 2 = 7

の解は

5

であるという。

x

に

5

を代入すると、得られる文が正しくなるからである。

\begin{matrix} x + 2 = 7 \\ 5 + 2 \overset{?}{=} 7 \\ 7 = 7 ✓ \end{matrix}

Since

5 + 2 = 7

is a true statement, we know that

5

is indeed a solution to the equation.

5 + 2 = 7

は正しい文なので、

5

は確かにこの方程式の解であると分かる。

The symbol

\overset{?}{=}

asks whether the left side of the equation is equal to the right side. Once we know, we can change to an equal sign

(=)

or not-equal sign

(≠).

記号

\overset{?}{=}

は、等式の左辺が右辺と等しいかどうかを問うている。分かれば、等号

(=)

または不等号

(≠)

に変えられる。

Example 2.28例題 2.28

Determine whether x = 5 is a solution of 6 x - 17 = 16 .

判定せよ： x = 5 は次の方程式の解か： 6 x - 17 = 16

Solution解答



Multiply. 掛ける。
Subtract. 引く。

x = 5

is not a solution to the equation

6 x - 17 = 16 .

したがって、

x = 5

は方程式

6 x - 17 = 16

の解ではない。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.29例題 2.29

Determine whether y = 2 is a solution of 6 y - 4 = 5 y - 2 .

判定せよ： y = 2 は次の方程式の解か： 6 y - 4 = 5 y - 2

Solution解答

Here, the variable appears on both sides of the equation. We must substitute

2

for each

y .

ここでは、変数が方程式の両辺に現れている。それぞれの

y

に

2

を代入する必要がある。



Multiply. 掛ける。
Subtract. 引く。

Since

y = 2

results in a true equation, we know that

2

is a solution to the equation

6 y - 4 = 5 y - 2 .

y = 2

によって正しい等式が得られるため、

2

は方程式

6 y - 4 = 5 y - 2

の解であると分かる。

Try It (2)確認問題（2題）

Model the Subtraction Property of Equality等式の減法の性質をモデルで表す

We will use a model to help you understand how the process of solving an equation is like solving a puzzle. An envelope represents the variable – since its contents are unknown – and each counter represents one.

方程式を解く過程がパズルを解くことにどう似ているかを理解するために、モデルを使う。封筒は、中身が不明なので変数を表し、カウンターは1個で1を表す。

Suppose a desk has an imaginary line dividing it in half. We place three counters and an envelope on the left side of desk, and eight counters on the right side of the desk as in Figure 2.3. Both sides of the desk have the same number of counters, but some counters are hidden in the envelope. Can you tell how many counters are in the envelope?

机を半分に分ける線を想像しよう。図2.3のように、机の左側にカウンター3個と封筒1枚、右側にカウンター8個を置く。机の両側にあるカウンターの個数は同じだが、一部は封筒の中に隠れている。封筒の中にカウンターが何個あるか分かるだろうか。

図は縦線で左右に二分されている。左側には封筒が1枚あり、その下にカウンターが3個ある。右側にはカウンターが8個ある。 — Figure 2.3図 2.3

What steps are you taking in your mind to figure out how many counters are in the envelope? Perhaps you are thinking “I need to remove the

3

counters from the left side to get the envelope by itself. Those

3

counters on the left match with

3

on the right, so I can take them away from both sides. That leaves five counters on the right, so there must be

5

counters in the envelope.” Figure 2.4 shows this process.

封筒の中にカウンターが何個あるかを求めるとき、頭の中でどのような手順を踏んでいるだろうか。「封筒だけにするには、左側からカウンターを

3

個取り除く必要がある。左の

3

個は右の

3

個に対応するので、両側から取り除ける。右には5個残るから、封筒の中には

5

個あるはずだ」と考えているかもしれない。図2.4にこの過程を示す。

図は2つの部分からなる。左の長方形は縦線で左右に二分されている。その左側に封筒1枚と、その下にカウンター3個がある。3個は赤い円で囲まれ、長方形の外を指す矢印が付いている。右側にはカウンター8個があり、下の3個は赤い円で囲まれ、外を指す矢印が付いている。両側から囲んだ3個を取り除くと、図の右の新しい長方形になる。これも縦線で二分され、左側には封筒だけ、右側にはカウンター5個がある。 — Figure 2.4図 2.4

What algebraic equation is modeled by this situation? Each side of the desk represents an expression and the center line takes the place of the equal sign. We will call the contents of the envelope

x,

so the number of counters on the left side of the desk is

x + 3 .

On the right side of the desk are

8

counters. We are told that

x + 3

is equal to

8

so our equation is

x + 3 = 8 .

この状況は、どの代数方程式のモデルだろうか。机の左右はそれぞれ式を表し、中央の線が等号に当たる。封筒の中身を

x

と呼ぶと、机の左側のカウンターの個数は

x + 3

である。右側には

8

個ある。

x + 3

と

8

は等しいとされているので、方程式は

x + 3 = 8

となる。

x + 3 = 8

Let’s write algebraically the steps we took to discover how many counters were in the envelope.

封筒の中のカウンターの個数を見つけた手順を、代数で書いてみよう。


First, we took away three from each side. まず両側から3を取り除いた。
Then we were left with five. すると5が残った。

Now let’s check our solution. We substitute

5

for

x

in the original equation and see if we get a true statement.

次に解を確かめよう。元の方程式の

x

に

5

を代入し、正しい文になるかを見る。

元の方程式x＋3＝8を示す図。検算するためにxに5を代入すると、5＋3＝8になる。これは正しいか。左辺では5と3を足して8に簡単にする。等号の両側が8になる。

Our solution is correct. Five counters in the envelope plus three more equals eight.

解は正しい。封筒の中のカウンター5個に3個を足すと8個になる。

Additional Resources追加教材

Example 2.30例題 2.30

Write an equation modeled by the envelopes and counters, and then solve the equation:

封筒とカウンターをモデルとする方程式を書き、その方程式を解け。

図は縦線で左右に二分されている。左側には封筒1枚と、その下にカウンター4個がある。右側にはカウンター5個がある。

Solution解答

On the left, write $x$ for the contents of the envelope, add the $4$ counters, so we have $x + 4$ . 左側では、封筒の中身を $x$ と書き、カウンター $4$ 個を足すと、 $x + 4$ になる。	$x + 4$
On the right, there are $5$ counters. 右側にはカウンターが $5$ 個ある。	$5$
The two sides are equal. 両側は等しい。	$x + 4 = 5$
Solve the equation by subtracting $4$ counters from each side. 両側からカウンターを $4$ 個ずつ引いて、方程式を解く。

図は2つの部分からなる。左の長方形は縦線で左右に二分されている。その左側に封筒1枚と、その下にカウンター4個がある。4個は赤い円で囲まれ、長方形の外を指す矢印が付いている。右側にはカウンター5個があり、下の4個は赤い円で囲まれ、外を指す矢印が付いている。両側から囲んだ4個を取り除くと、図の右の新しい長方形になる。これも縦線で二分され、左側には封筒だけ、右側にはカウンター1個がある。

We can see that there is one counter in the envelope. This can be shown algebraically as:

封筒の中にはカウンターが1個あると分かる。代数では次のように示せる。

与えられた方程式x＋4＝5を示す図。両辺から4を取り除くと、x＋4−4＝5−4になる。左辺では＋4と−4が打ち消し合い、xだけが残る。右辺の5−4は1である。方程式はx＝1となる。

Substitute

1

for

x

in the equation to check.

方程式の

x

に

1

を代入して検算する。

元の方程式x＋4＝5を示す図。検算するためにxに1を代入すると、1＋4＝5になる。これは正しいか。左辺では1と4を足して5に簡単にする。等号の両側が5になる。

Since

x = 1

makes the statement true, we know that

1

is indeed a solution.

x = 1

は等式を成り立たせるので、

1

は確かに解であると分かる。

Try It (2)確認問題（2題）

第2章代数の言葉

2.3 Solving Equations Using the Subtraction and Addition Properties of Equality2.3 等式の減法と加法の性質を使って方程式を解く

Learning Objectives学習目標

Determine Whether a Number is a Solution of an Equationある数が方程式の解かどうかを判定する

Solution解答

Solution解答

Model the Subtraction Property of Equality等式の減法の性質をモデルで表す

Solution解答

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