第2章代数の言葉

Identify Expressions and Equations式と方程式を区別する

What is the difference in English between a phrase and a sentence? A phrase expresses a single thought that is incomplete by itself, but a sentence makes a complete statement. “Running very fast” is a phrase, but “The football player was running very fast” is a sentence. A sentence has a subject and a verb.

英語で、句と文はどう違うだろうか。句は1つの考えを表すが、それだけでは不完全である。文は完全な内容を述べる。「Running very fast（とても速く走っている）」は句だが、「The football player was running very fast（そのフットボール選手はとても速く走っていた）」は文である。文には主語と動詞がある。

In algebra, we have expressions and equations. An expression is like a phrase. Here are some examples of expressions and how they relate to word phrases:

英語のヒント

代数には式と方程式がある。式は句に似ている。式の例と、それを言葉で表した句との関係を以下に示す。

Expression 式	Words 言葉	Phrase 句
$3 + 5$	$3 plus 5$ $3 足す 5$	the sum of three and five 三と五の和
$n - 1$	$n$ minus one $n$ 引く一	the difference of $n$ and one $n$ と一の差
$6 \cdot 7$	$6 times 7$ $6 掛ける 7$	the product of six and seven 六と七の積
$\frac{x}{y}$	$x$ divided by $y$ $x$ を $y$ で割った数	the quotient of $x$ and $y$ $x$ を $y$ で割った商

Notice that the phrases do not form a complete sentence because the phrase does not have a verb. An equation is two expressions linked with an equal sign. When you read the words the symbols represent in an equation, you have a complete sentence in English. The equal sign gives the verb. Here are some examples of equations:

句には動詞がないため、完全な文にならないことに注意しよう。方程式は、等号で結ばれた2つの式である。方程式の記号が表す言葉を読むと、英語の完全な文になる。等号が動詞を与える。方程式の例を以下に示す。

Equation 方程式	Sentence 文
$3 + 5 = 8$	The sum of three and five is equal to eight. 三と五の和は八に等しい。
$n - 1 = 14$	$n$ minus one equals fourteen. $n$ 引く一は十四に等しい。
$6 \cdot 7 = 42$	The product of six and seven is equal to forty-two. 六と七の積は四十二に等しい。
$x = 53$	$x$ is equal to fifty-three. $x$ は五十三に等しい。
$y + 9 = 2 y - 3$	$y$ plus nine is equal to two $y$ minus three. $y$ 足す九は、二掛ける $y$ 引く三に等しい。

Example 2.4例題 2.4

Determine if each is an expression or an equation:

それぞれが式か方程式かを判定せよ。

ⓐ $16 - 6 = 10$
ⓑ $4 \cdot 2 + 1$
ⓒ $x \div 25$
ⓓ $y + 8 = 40$

Solution解答

ⓐ $16 - 6 = 10$	This is an equation—two expressions are connected with an equal sign. これは方程式である。2つの式が等号で結ばれている。
ⓑ $4 \cdot 2 + 1$	This is an expression—no equal sign. これは式である。等号がない。
ⓒ $x \div 25$	This is an expression—no equal sign. これは式である。等号がない。
ⓓ $y + 8 = 40$	This is an equation—two expressions are connected with an equal sign. これは方程式である。2つの式が等号で結ばれている。

Try It (2)確認問題（2題）

Simplify Expressions with Exponents指数を含む式を簡単にする

To simplify a numerical expression means to do all the math possible. For example, to simplify

4 \cdot 2 + 1

we’d first multiply

4 \cdot 2

to get

8

and then add the

1

to get

9 .

A good habit to develop is to work down the page, writing each step of the process below the previous step. The example just described would look like this:

数値の式を簡単にするとは、できる計算をすべて行うことである。例えば、

4 \cdot 2 + 1

を簡単にするには、まず

4 \cdot 2

を掛けて

8

を得て、次に

1

を足して

9

を得る。前の手順の下に次の手順を書き、ページの下へ進める習慣を身につけるとよい。今述べた例は次のようになる。

4 \cdot 2 + 1

8 + 1

9

Suppose we have the expression

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 .

We could write this more compactly using exponential notation. Exponential notation is used in algebra to represent a quantity multiplied by itself several times. We write

2 \cdot 2 \cdot 2

2^{3}

and

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2^{9} .

In expressions such as

2^{3},

the

2

is called the base and the

3

is called the exponent. The exponent tells us how many factors of the base we have to multiply.

英語のヒント

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

という式があるとする。指数表記を使うと、もっと短く書ける。代数では、ある量を何回か掛け合わせたものを表すために指数表記を使う。

2 \cdot 2 \cdot 2

を

2^{3}

、

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

を

2^{9}

と書く。

2^{3}

のような式では、

2

を底、

3

を指数という。指数は、底を因数として何個掛けるかを示す。

means multiply three factors of 2

は因数2を3個掛けることを意味する

We say

2^{3}

is in exponential notation and

2 \cdot 2 \cdot 2

is in expanded notation.

2^{3}

は指数表記、

2 \cdot 2 \cdot 2

は展開した表記であるという。

For powers of

n = 2

and

n = 3,

we have special names.

n = 2

と

n = 3

の累乗には、特別な呼び名がある。

\begin{array}{l} a^{2} is read as " a squared" \\ a^{3} is read as " a cubed" \end{array}

\begin{array}{l} a^{2} と読む： " a の平方」 \\ a^{3} と読む： " a の立方」 \end{array}

Table 2.4 lists some examples of expressions written in exponential notation.

表2.4に、指数表記で書いた式の例を示す。

Table 2.4表 2.4
Exponential Notation 指数表記	In Words 言葉での表し方
$7^{2}$	$7$ to the second power, or $7$ squared $7$ の第2乗、すなわち $7$ の平方
$5^{3}$	$5$ to the third power, or $5$ cubed $5$ の第3乗、すなわち $5$ の立方
$9^{4}$	$9$ to the fourth power $9$ の4乗
$12^{5}$	$12$ to the fifth power $12$ の5乗

Example 2.5例題 2.5

Write each expression in exponential form:

各式を指数表記で書け。

ⓐ $16 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 16$
ⓑ $9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9$
ⓒ $x \cdot x \cdot x \cdot x$
ⓓ $a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a$

Solution解答

ⓐ The base 16 is a factor 7 times. ⓐ 底16が因数として7個ある。	$16^{7}$
ⓑ The base 9 is a factor 5 times. ⓑ 底9が因数として5個ある。	$9^{5}$
ⓒ The base $x$ is a factor 4 times. ⓒ 底 $x$ が因数として4個ある。	$x^{4}$
ⓓ The base $a$ is a factor 8 times. ⓓ 底 $a$ が因数として8個ある。	$a^{8}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.6例題 2.6

Write each exponential expression in expanded form:

各指数式を展開した形で書け。

ⓐ $8^{6}$
ⓑ $x^{5}$

Solution解答

ⓐ The base is

8

and the exponent is

6,

8^{6}

means

8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8

ⓐ 底は

8

、指数は

6

なので、

8^{6}

は

8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8

を意味する。

ⓑ The base is

x

and the exponent is

5,

x^{5}

means

x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x

ⓑ 底は

x

、指数は

5

なので、

x^{5}

は

x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x

を意味する。

Try It (2)確認問題（2題）

To simplify an exponential expression without using a calculator, we write it in expanded form and then multiply the factors.

電卓を使わずに指数式を簡単にするには、展開した形で書いてから因数を掛ける。

Example 2.7例題 2.7

Simplify:

3^{4} .

次の式を簡単にする：

3^{4}

Solution解答

	$3^{4}$
Expand the expression. 式を展開する。	$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
Multiply left to right. 左から右へ掛ける。	$9 \cdot 3 \cdot 3$
	$27 \cdot 3$
Multiply. 掛ける。	$81$

Try It (2)確認問題（2題）