第1章非負整数

1.1 Introduction to Whole Numbers1.1　非負整数入門

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

この節を終えると、次のことができるようになる。

Identify counting numbers and whole numbers
数える数と非負整数を見分ける
Model whole numbers
非負整数を模型で表す
Identify the place value of a digit
数字の位の値を特定する
Use place value to name whole numbers
位取りを使って非負整数を言葉で表す
Use place value to write whole numbers
位取りを使って非負整数を書く
Round whole numbers
非負整数を丸める

Identify Counting Numbers and Whole Numbers数える数と非負整数を見分ける

Learning algebra is similar to learning a language. You start with a basic vocabulary and then add to it as you go along. You need to practice often until the vocabulary becomes easy to you. The more you use the vocabulary, the more familiar it becomes.

英語のヒント

代数を学ぶことは言語を学ぶことに似ている。基本的な語彙から始め、学習を進めながら語彙を増やしていく。語彙を容易に使えるようになるまで、頻繁に練習する必要がある。使えば使うほど、その語彙に親しめるようになる。

Algebra uses numbers and symbols to represent words and ideas. Let’s look at the numbers first. The most basic numbers used in algebra are those we use to count objects:

1, 2, 3, 4, 5, \dots

and so on. These are called the counting numbers. The notation “…” is called an ellipsis, which is another way to show “and so on”, or that the pattern continues endlessly. Counting numbers are also called natural numbers.

英語のヒント

代数では、数と記号を使って言葉や考えを表す。まず数を見てみよう。代数で使う最も基本的な数は、物を数えるための数、

1, 2, 3, 4, 5, \dots

などである。これらを数える数という。「…」という表記は省略記号と呼ばれ、「など」、つまり規則的な並びがどこまでも続くことを示す別の方法である。数える数は自然数とも呼ばれる。

Counting numbers and whole numbers can be visualized on a number line as shown in Figure 1.2.

数える数と非負整数は、図1.2のように数直線で視覚的に表せる。

0から6まで1刻みの数直線。数直線の上には、右向きの矢印に「大きくなる」、左向きの矢印に「小さくなる」と表示されている。 — Figure 1.2図 1.2
The numbers on the number line increase from left to right, and decrease from right to left.
数直線上の数は左から右へ進むと大きくなり、右から左へ進むと小さくなる。

The point labeled

0

is called the origin. The points are equally spaced to the right of

0

and labeled with the counting numbers. When a number is paired with a point, it is called the coordinate of the point.

英語のヒント

0

と記された点を原点という。

0

の右側には等間隔に点が並び、数える数が記されている。数を点と対応させたとき、その数をその点の座標という。

The discovery of the number zero was a big step in the history of mathematics. Including zero with the counting numbers gives a new set of numbers called the whole numbers.

英語のヒント

数のゼロの発見は、数学の歴史における大きな一歩だった。数える数にゼロを加えると、非負整数という新しい数の集合が得られる。

We stopped at

5

when listing the first few counting numbers and whole numbers. We could have written more numbers if they were needed to make the patterns clear.

数える数と非負整数の最初のいくつかを並べたときには、

5

で止めた。並びの規則を明確にするために必要なら、もっと多くの数を書いてもよかった。

Example 1.1例題 1.1

Which of the following are ⓐ counting numbers? ⓑ whole numbers?

次のうち、ⓐ数える数、ⓑ非負整数はどれか。

0, \frac{1}{4}, 3, 5.2, 15, 105

Solution解答

ⓐ The counting numbers start at $1,$ so $0$ is not a counting number. The numbers $3, 15, and 105$ are all counting numbers.
ⓐ 数える数は $1$ から始まるので、 $0$ は数える数ではない。 $3, 15, と 105$ はいずれも数える数である。
ⓑ Whole numbers are counting numbers and $0 .$ The numbers $0, 3, 15, and 105$ are whole numbers.
ⓑ 非負整数は数える数と $0$ を合わせたものである。 $0, 3, 15, と 105$ は非負整数である。

The numbers

\frac{1}{4}

and

5.2

are neither counting numbers nor whole numbers. We will discuss these numbers later.

\frac{1}{4}

と

5.2

は、数える数でも非負整数でもない。これらの数は後で取り上げる。

Try It (2)確認問題（2題）

Model Whole Numbers非負整数を模型で表す

Our number system is called a place value system because the value of a digit depends on its position, or place, in a number. The number

537

has a different value than the number

735 .

Even though they use the same digits, their value is different because of the different placement of the

7

and the

5 .

英語のヒント

私たちの記数法は位取り記数法と呼ばれる。数字の値が、数の中での位置、すなわち位によって決まるからである。

537

という数は

735

という数とは値が異なる。同じ数字を使っていても、

7

と

5

の位置が異なるため、値が違うのである。

Money gives us a familiar model of place value. Suppose a wallet contains three

$100

bills, seven

$10

bills, and four

$1

bills. The amounts are summarized in Figure 1.3. How much money is in the wallet?

お金は位取りの身近な模型になる。財布に

$100

札が3枚、

$10

札が7枚、

$1

札が4枚入っているとしよう。図1.3にそれぞれの金額をまとめた。財布にはいくら入っているか。

アメリカの紙幣を三つの束に分けた図。左から、100ドル札3枚の束には「100ドル札3枚、3×100ドル＝300ドル」、10ドル札7枚の束には「10ドル札7枚、7×10ドル＝70ドル」、1ドル札4枚の束には「1ドル札4枚、4×1ドル＝4ドル」と記されている。 — Figure 1.3図 1.3

Find the total value of each kind of bill, and then add to find the total. The wallet contains

$374 .

紙幣の種類ごとに金額を求め、それらを足して合計を求める。財布に入っている金額は

$374

である。

Base-10 blocks provide another way to model place value, as shown in Figure 1.4. The blocks can be used to represent hundreds, tens, and ones. Notice that the tens rod is made up of

10

ones, and the hundreds square is made of

10

tens, or

100

ones.

英語のヒント

図1.4に示す十進法ブロックも、位取りを模型で表す方法である。ブロックを使って百、十、一を表せる。十を表す棒は一のブロック

10

個でできており、百を表す正方形は十の棒

10

本、すなわち一のブロック

100

個でできていることに注目しよう。

三つの形を示した図。最初はブロック1個で、「ブロック1個は1を表す」と記されている。次はブロック10個からなる横長の棒で、「棒1本は10を表す」と記されている。最後はブロック100個からなる縦10個、横10個の正方形で、「正方形1枚は100を表す」と記されている。 — Figure 1.4図 1.4

Figure 1.5 shows the number

138

modeled with

base-10

blocks.

図1.5では、

138

という数を

十進法

ブロックで表している。

三つの部分からなる図。最初は縦10個、横10個のブロック計100個からなる正方形で、「百が1個」と記されている。次はそれぞれブロック10個からなる横長の棒3本で、「十が3個」と記されている。最後は個別のブロック8個で、「一が8個」と記されている。 — Figure 1.5図 1.5
We use place value notation to show the value of the number $138 .$
位取り表記を使って、 $138$ という数の値を示す。

「100 + 30 + 8」という式の図。「100」の1、「30」の3、8は赤色で、式の残りは黒色である。式の下に「138」がある。式の赤い1から「138」の1へ、赤い3から3へ、赤い8から8へ、それぞれ矢印が引かれている。

Digit 数字	Place value 位の値	Number 数	Value 値	Total value 合計の値
$1$	hundreds 百の位	$1$	$100$	$100$
$3$	tens 十の位	$3$	$10$	$30$
$8$	ones 一の位	$8$	$1$	$+ 8$
				$Sum = 138$ $合計 = 138$

Example 1.2例題 1.2

Use place value notation to find the value of the number modeled by the

base-10

blocks shown.

示された

十進法

ブロックが表す数の値を、位取り表記を使って求めよ。

三つの部分からなる図。最初はそれぞれ縦10個、横10個のブロック計100個からなる正方形2枚。次はブロック10個からなる横長の棒1本。最後は個別のブロック5個である。

Solution解答

There are

2

hundreds squares, which is

200 .

百を表す正方形が

2

枚あり、

200

を表す。

There is

1

tens rod, which is

10 .

十を表す棒が

1

本あり、

10

を表す。

There are

5

ones blocks, which is

5 .

一を表すブロックが

5

個あり、

5

を表す。

「200 + 10 + 5」という式の図。「200」の2、「10」の1、5は赤色で、式の残りは黒色である。式の下に「215」がある。式の赤い2から「215」の2へ、赤い1から1へ、赤い5から5へ、それぞれ矢印が引かれている。

Digit 数字	Place value 位の値	Number 数	Value 値	Total value 合計の値
$2$	hundreds 百の位	$2$	$100$	$200$
$1$	tens 十の位	$1$	$10$	$10$
$5$	ones 一の位	$5$	$1$	$+ 5$
				$215$

The

base-10

blocks model the number

215 .

十進法

ブロックは

215

という数を表している。

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

第1章非負整数

1.1 Introduction to Whole Numbers1.1 非負整数入門

Learning Objectives学習目標

Identify Counting Numbers and Whole Numbers数える数と非負整数を見分ける

Solution解答

Model Whole Numbers非負整数を模型で表す

Solution解答

1.1 Introduction to Whole Numbers1.1　非負整数入門