プリンキピア

第1章非負整数

Use Place Value to Write Whole Numbers位取りを使って非負整数を書く

We will now reverse the process and write a number given in words as digits.
今度は手順を逆にして、言葉で示された数を数字で書く。
Example 1.6例題 1.6
Write the following numbers using digits.
次の数を数字で書け。
  • ⓐ fifty-three million, four hundred one thousand, seven hundred forty-two
    ⓐ fifty-three million, four hundred one thousand, seven hundred forty-two（五千三百四十万千七百四十二）
  • ⓑ nine billion, two hundred forty-six million, seventy-three thousand, one hundred eighty-nine
    ⓑ nine billion, two hundred forty-six million, seventy-three thousand, one hundred eighty-nine（九十二億四千六百七万三千百八十九）

Solution解答

ⓐ Identify the words that indicate periods.
ⓐ 3桁グループを示す語を見つける。
Except for the first period, all other periods must have three places. Draw three blanks to indicate the number of places needed in each period. Separate the periods by commas.
最初のグループを除き、ほかのグループはすべて3桁でなければならない。各グループに必要な桁数を示すため、空欄を三つずつ描く。グループはコンマで区切る。
Then write the digits in each period.
次に、各グループに数字を書く。
三つの語句から数値へ矢印が引かれた図。「fifty-three million（5300万）」には「百万」のラベルがあり、53を指す。「four hundred one thousand（40万1000）」には「千」のラベルがあり、401を指す。「seven hundred forty-two（742）」には「一」のラベルがあり、742を指す。
Put the numbers together, including the commas. The number is 53,401,742.
コンマも含めて数字をつなげる。その数は53,401,742である。
ⓑ Identify the words that indicate periods.
ⓑ 3桁グループを示す語を見つける。
Except for the first period, all other periods must have three places. Draw three blanks to indicate the number of places needed in each period. Separate the periods by commas.
最初のグループを除き、ほかのグループはすべて3桁でなければならない。各グループに必要な桁数を示すため、空欄を三つずつ描く。グループはコンマで区切る。
Then write the digits in each period.
次に、各グループに数字を書く。
四つの語句から数値へ矢印が引かれた図。「nine billion（90億）」には「十億」のラベルがあり、9を指す。「two hundred forty-six million（2億4600万）」には「百万」のラベルがあり、246を指す。「seventy-three thousand（7万3000）」には「千」のラベルがあり、742を指す。「one hundred eighty-nine（189）」には「一」のラベルがあり、189を指す。
The number is 9,246,073,189.
その数は9,246,073,189である。
Notice that in part ⓑ , a zero was needed as a place-holder in the hundred thousands place. Be sure to write zeros as needed to make sure that each period, except possibly the first, has three places.
ⓑでは、十万の位の位置を保つためにゼロが必要だったことに注意しよう。最初のグループは例外になることがあるが、それ以外の各グループが3桁になるよう、必要なゼロを必ず書く。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 1.7例題 1.7
A state budget was about $77 billion. Write the budget in standard form.
英語のヒント
ある州の予算は約$77 billionだった。この予算を通常の数字表記で書け。
Solution解答

Solution解答

Identify the periods. In this case, only two digits are given and they are in the billions period. To write the entire number, write zeros for all of the other periods.
3桁グループを特定する。この場合は数字が二つだけ与えられており、それらは十億のグループにある。数全体を書くには、ほかのすべてのグループにゼロを書く。
四つの語句欄から数値へ矢印が引かれた図。最初の「77 billion（770億）」には「十億」のラベルがあり、「77」を指す。次の三つの語句欄は空欄で、それぞれ「百万」「千」「一」のラベルがあり、いずれも「000」を指す。
So the budget was about $77,000,000,000.
したがって、予算は約$77,000,000,000だった。
Try It (2)確認問題（2題）

Round Whole Numbers非負整数を丸める

In 2013, the U.S. Census Bureau reported the population of the state of New York as 19,651,127 people. It might be enough to say that the population is approximately 20 million. The word approximately means that 20 million is not the exact population, but is close to the exact value.
英語のヒント
2013年、アメリカ国勢調査局はニューヨーク州の人口を19,651,127人と報告した。人口はおよそ20百万人というだけで十分な場合もある。「およそ」という語は、20百万人が正確な人口ではないものの、正確な値に近いことを表している。
The process of approximating a number is called rounding. Numbers are rounded to a specific place value depending on how much accuracy is needed. 20 million was achieved by rounding to the millions place. Had we rounded to the one hundred thousands place, we would have 19,700,000 as a result. Had we rounded to the ten thousands place, we would have 19,650,000 as a result, and so on. The place value to which we round to depends on how we need to use the number.
英語のヒント
数を近似する操作を丸めという。必要な正確さに応じて、数を特定の位まで丸める。20百万人という数値は、百万の位まで丸めて得られた。十万の位まで丸めたなら結果は19,700,000となり、一万の位まで丸めたなら19,650,000となる、という具合である。どの位まで丸めるかは、その数をどのように使う必要があるかによって決まる。
Using the number line can help you visualize and understand the rounding process. Look at the number line in Figure 1.7. Suppose we want to round the number 76 to the nearest ten. Is 76 closer to 70 or 80 on the number line?
数直線を使うと、丸めの操作を視覚的に捉えて理解しやすくなる。図1.7の数直線を見よう。76を最も近い十の倍数に丸めるとする。数直線上で、76は70と80のどちらに近いだろうか。
70から80まで1刻みの数直線。70と80は赤色で、そのほかの数は黒色である。数直線上の76の位置にオレンジ色の点がある。
Figure 1.7図 1.7
We can see that 76 is closer to 80 than to 70. So 76 rounded to the nearest ten is 80.
76は70よりも80に近いことが分かる。したがって、76を最も近い十の倍数に丸めると80になる。
Now consider the number 72. Find 72 in Figure 1.8.
次に72という数を考える。図1.8で72を見つけよう。
70から80まで1刻みの数直線。70と80は赤色で、そのほかの数は黒色である。数直線上の72の位置にオレンジ色の点がある。
Figure 1.8図 1.8
We can see that 72 is closer to 70, so 72 rounded to the nearest ten is 70.
72は70に近いことが分かるので、72を最も近い十の倍数に丸めると70になる。
How do we round 75 to the nearest ten. Find 75 in Figure 1.9.
75は、どのように最も近い十の倍数に丸めればよいだろうか。図1.9で75を見つけよう。
70から80まで1刻みの数直線。70と80は赤色で、そのほかの数は黒色である。数直線上の75の位置にオレンジ色の点がある。
Figure 1.9図 1.9
The number 75 is exactly midway between 70 and 80.
75は、70と80のちょうど中間にある。
So that everyone rounds the same way in cases like this, mathematicians have agreed to round to the higher number, 80. So, 75 rounded to the nearest ten is 80.
このような場合にも皆が同じ方法で丸めるように、数学者は大きい方の数、80に丸めることにしている。したがって、75を最も近い十の倍数に丸めると80になる。
Now that we have looked at this process on the number line, we can introduce a more general procedure. To round a number to a specific place, look at the number to the right of that place. If the number is less than 5, round down. If it is greater than or equal to 5, round up.
数直線上でこの操作を見たので、より一般的な手順を紹介できる。ある位まで数を丸めるには、その位の右隣の数字を見る。その数字が5未満なら切り捨て、5以上なら切り上げる。
So, for example, to round 76 to the nearest ten, we look at the digit in the ones place.
したがって、例えば76を最も近い十の倍数に丸めるには、一の位の数字を見る。
「76」という数の図。青色の「十の位」という文字が76の7を指し、赤色の「5より大きい」という文字が6を指している。
The digit in the ones place is a 6. Because 6 is greater than or equal to 5, we increase the digit in the tens place by one. So the 7 in the tens place becomes an 8. Now, replace any digits to the right of the 8 with zeros. So, 76 rounds to 80.
一の位の数字は6である。6は5以上なので、十の位の数字を1増やす。そのため、十の位の7は8になる。次に、8の右側の数字をすべてゼロに置き換える。したがって、76は80に丸められる。
「76」という数の図。6には取り消し線があり、「0に置き換える」という矢印が向けられている。7には「1を加える」という矢印が向けられている。76の下には80がある。
Let’s look again at rounding 72 to the nearest 10. Again, we look to the ones place.
72を最も近い10の倍数に丸める場合をもう一度見よう。ここでも一の位を見る。
「72」という数の図。青色の「十の位」という文字が72の7を指し、赤色の「5未満」という文字が2を指している。
The digit in the ones place is 2. Because 2 is less than 5, we keep the digit in the tens place the same and replace the digits to the right of it with zero. So 72 rounded to the nearest ten is 70.
一の位の数字は2である。2は5未満なので、十の位の数字はそのままにし、その右側の数字をゼロに置き換える。したがって、72を最も近い十の倍数に丸めると70になる。
「72」という数の図。2には取り消し線があり、「0に置き換える」という矢印が向けられている。7には「1を加えない」という矢印が向けられている。72の下には70がある。
Example 1.8例題 1.8
Round 843 to the nearest ten.
843を最も近い十の倍数に丸めよ。

Solution解答

Locate the tens place.
十の位を見つける。
843の4に「十の位」というラベルが向けられた図。
Underline the digit to the right of the tens place.
十の位の右隣の数字に下線を引く。
843の3に下線が引かれた図。
Since 3 is less than 5, do not change the digit in the tens place.
3は5未満なので、十の位の数字を変えない。
843の3に下線が引かれた図。
Replace all digits to the right of the tens place with zeros.
十の位の右側にある数字をすべてゼロに置き換える。
840の0に下線が引かれた図。
Rounding 843 to the nearest ten gives 840.
843を最も近い十の倍数に丸めると840になる。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 1.9例題 1.9
Round each number to the nearest hundred:
各数を最も近い百の倍数に丸めよ。
  1. ⓐ 23,658
  2. ⓑ 3,978

Solution解答

ⓐ
Locate the hundreds place.
百の位を見つける。
..
The digit to the right of the hundreds place is 5. Underline the digit to the right of the hundreds place.
百の位の右隣の数字は5である。百の位の右隣の数字に下線を引く。
..
Since 5 is greater than or equal to 5, round up by adding 1 to the digit in the hundreds place. Then replace all digits to the right of the hundreds place with zeros.
5は5以上なので、百の位の数字に1を加えて切り上げる。その後、百の位の右側にある数字をすべてゼロに置き換える。
..

So 23,658 rounded to the nearest hundred is 23,700.
したがって、23,658を最も近い百の倍数に丸めると23,700になる。
ⓑ
Locate the hundreds place.
百の位を見つける。
..
Underline the digit to the right of the hundreds place.
百の位の右隣の数字に下線を引く。
..
The digit to the right of the hundreds place is 7. Since 7 is greater than or equal to 5, round up by adding 1 to the 9. Then place all digits to the right of the hundreds place with zeros.
百の位の右隣の数字は7である。7は5以上なので、9に1を加えて切り上げる。その後、百の位の右側にある数字をすべてゼロに置き換える。
..

So 3,978 rounded to the nearest hundred is 4,000.
したがって、3,978を最も近い百の倍数に丸めると4,000になる。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 1.10例題 1.10
Round each number to the nearest thousand:
各数を最も近い千の倍数に丸めよ。
  1. ⓐ 147,032
  2. ⓑ 29,504
Solution解答

Solution解答

ⓐ
Locate the thousands place. Underline the digit to the right of the thousands place.
千の位を見つける。千の位の右隣の数字に下線を引く。
..
The digit to the right of the thousands place is 0. Since 0 is less than 5, we do not change the digit in the thousands place.
千の位の右隣の数字は0である。0は5未満なので、千の位の数字を変えない。
..
We then replace all digits to the right of the thousands pace with zeros.
次に、千の位の右側にある数字をすべてゼロに置き換える。
..

So 147,032 rounded to the nearest thousand is 147,000.
したがって、147,032を最も近い千の倍数に丸めると147,000になる。
ⓑ
Locate the thousands place.
千の位を見つける。
..
Underline the digit to the right of the thousands place.
千の位の右隣の数字に下線を引く。
..
The digit to the right of the thousands place is 5. Since 5 is greater than or equal to 5, round up by adding 1 to the 9. Then replace all digits to the right of the thousands place with zeros.
千の位の右隣の数字は5である。5は5以上なので、9に1を加えて切り上げる。その後、千の位の右側にある数字をすべてゼロに置き換える。
..

So 29,504 rounded to the nearest thousand is 30,000.
したがって、29,504を最も近い千の倍数に丸めると30,000になる。
Notice that in part ⓑ , when we add 1 thousand to the 9 thousands, the total is 10 thousands. We regroup this as 1 ten thousand and 0 thousands. We add the 1 ten thousand to the 2 ten thousands and put a 0 in the thousands place.
ⓑでは千が9個あるところに千を1個加えると、千が合計10個になることに注意しよう。これを、一万が1個、千が0個となるようにまとめ直す。一万が2個あるところへ一万を1個加え、千の位には0を書く。
Try It (2)確認問題（2題）
Additional Resources追加教材