第4章分数

Multiply Fractions分数のかけ算

A model may help you understand multiplication of fractions. We will use fraction tiles to model

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} .

To multiply

\frac{1}{2}

and

\frac{3}{4},

think

\frac{1}{2}

\frac{3}{4} .

モデルを使うと、分数のかけ算を理解しやすくなる。分数タイルで

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}

を表そう。

\frac{1}{2}

と

\frac{3}{4}

をかけるには、

\frac{3}{4}

の

\frac{1}{2}

と考える。

Start with fraction tiles for three-fourths. To find one-half of three-fourths, we need to divide them into two equal groups. Since we cannot divide the three

\frac{1}{4}

tiles evenly into two parts, we exchange them for smaller tiles.

まず、4分の3を表す分数タイルを用意する。4分の3の半分を求めるには、タイルを等しい2組に分ける必要がある。

\frac{1}{4}

のタイル3枚は2組に等分できないので、より小さなタイルと交換する。

長方形が縦に3等分され、各部分に4分の1と記されている。そこから、同じ長方形を縦に6等分した図へ矢印が伸びている。その各部分には8分の1と記されている。括弧によって、この長方形3つ分が8分の3を表すことが示されている。

We see

\frac{6}{8}

is equivalent to

\frac{3}{4} .

Taking half of the six

\frac{1}{8}

tiles gives us three

\frac{1}{8}

tiles, which is

\frac{3}{8} .

\frac{6}{8}

は

\frac{3}{4}

と大きさが等しい。

\frac{1}{8}

のタイル6枚の半分を取ると、

\frac{1}{8}

のタイル3枚、つまり

\frac{3}{8}

になる。

Therefore,

したがって、

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}

Additional Resources追加教材

Example 4.24例題 4.24

Use a diagram to model

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} .

図を使って

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}

を表せ。

Solution解答

First shade in

\frac{3}{4}

of the rectangle.

まず、長方形の

\frac{3}{4}

に色を塗る。

We will take

\frac{1}{2}

of this

\frac{3}{4},

so we heavily shade

\frac{1}{2}

of the shaded region.

この

\frac{3}{4}

の

\frac{1}{2}

を取るので、色が塗られた領域の

\frac{1}{2}

を濃く塗る。

長方形が縦に4等分され、そのうち3つの部分に色が塗られている。さらに横線で分けられ、等しい8つの部分になっている。そのうち3つが濃く塗られている。

Notice that

3

out of the

8

pieces are heavily shaded. This means that

\frac{3}{8}

of the rectangle is heavily shaded.

8

個の部分のうち

3

個が濃く塗られている。つまり、長方形の

\frac{3}{8}

が濃く塗られている。

Therefore,

\frac{1}{2}

\frac{3}{4}

\frac{3}{8},

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8} .

したがって、

\frac{3}{4}

の

\frac{1}{2}

は

\frac{3}{8}

であり、

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}

となる。

Try It (2)確認問題（2題）

Look at the result we got from the model in Example 4.24. We found that

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8} .

Do you notice that we could have gotten the same answer by multiplying the numerators and multiplying the denominators?

例4.24でモデルから得た結果を見よう。

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}

であった。分子どうし、分母どうしをかけても同じ答えが得られることに気づいただろうか。

	$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$
Multiply the numerators, and multiply the denominators. 分子どうしをかけ、分母どうしをかける。	$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{3}{8}$

This leads to the definition of fraction multiplication. To multiply fractions, we multiply the numerators and multiply the denominators. Then we write the fraction in simplified form.

ここから、分数のかけ算の定義が導かれる。分数をかけるには、分子どうしと分母どうしをかける。その後、分数を約分した形で表す。

Example 4.25例題 4.25

Multiply, and write the answer in simplified form:

\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{5} .

かけ算をし、答えを約分した形で表せ。

\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{5}

Solution解答

	$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{5}$
Multiply the numerators; multiply the denominators. 分子どうしをかけ、分母どうしをかける。	$\frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 5}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{3}{20}$

There are no common factors, so the fraction is simplified.

共通の因数がないので、この分数は約分されている。

Try It (2)確認問題（2題）

When multiplying fractions, the properties of positive and negative numbers still apply. It is a good idea to determine the sign of the product as the first step. In Example 4.26 we will multiply two negatives, so the product will be positive.

分数をかけるときも、正の数と負の数の性質は成り立つ。最初の手順で積の符号を決めるとよい。例4.26では負の数どうしをかけるので、積は正になる。

Example 4.26例題 4.26

Multiply, and write the answer in simplified form:

- \frac{5}{8} (- \frac{2}{3}) .

かけ算をし、答えを約分した形で表せ。

- \frac{5}{8} (- \frac{2}{3})

Solution解答

	$- \frac{5}{8} (- \frac{2}{3})$
The signs are the same, so the product is positive. Multiply the numerators, multiply the denominators. 符号が同じなので、積は正になる。分子どうし、分母どうしをかける。	$\frac{5 \cdot 2}{8 \cdot 3}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{10}{24}$
Look for common factors in the numerator and denominator. Rewrite showing common factors. 分子と分母の共通の因数を探す。それが分かる形に書き直す。
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。	$\frac{5}{12}$

Another way to find this product involves removing common factors earlier.

共通の因数を先に取り除くことによっても、この積を求められる。

	$- \frac{5}{8} (- \frac{2}{3})$
Determine the sign of the product. Multiply. 積の符号を決める。かけ算をする。	$\frac{5 \cdot 2}{8 \cdot 3}$
Show common factors and then remove them. 共通の因数を示してから取り除く。
Multiply remaining factors. 残った因数をかけ合わせる。	$\frac{5}{12}$

We get the same result.

同じ結果が得られる。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.27例題 4.27

Multiply, and write the answer in simplified form:

- \frac{14}{15} \cdot \frac{20}{21} .

かけ算をし、答えを約分した形で表せ。

- \frac{14}{15} \cdot \frac{20}{21}

Solution解答

	$- \frac{14}{15} \cdot \frac{20}{21}$
Determine the sign of the product; multiply. 積の符号を決めてから、かけ算をする。	$- \frac{14}{15} \cdot \frac{20}{21}$
Are there any common factors in the numerator and the denominator? We know that 7 is a factor of 14 and 21, and 5 is a factor of 20 and 15. 分子と分母に共通の因数はあるか。7は14と21の因数であり、5は20と15の因数である。
Rewrite showing common factors. 共通の因数が分かる形に書き直す。
Remove the common factors. 共通の因数を取り除く。	$- \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3}$
Multiply the remaining factors. 残った因数をかけ合わせる。	$- \frac{8}{9}$

Try It (2)確認問題（2題）

When multiplying a fraction by an integer, it may be helpful to write the integer as a fraction. Any integer,

a,

can be written as

\frac{a}{1} .

So,

3 = \frac{3}{1},

for example.

分数に整数をかけるときは、整数を分数の形で書くと役立つことがある。どの整数

a

も

\frac{a}{1}

と書ける。例えば、

3 = \frac{3}{1}

である。

Example 4.28例題 4.28

Multiply, and write the answer in simplified form:

かけ算をし、答えを約分した形で表せ。

ⓐ

\frac{1}{7} \cdot 56

ⓑ

\frac{12}{5} (−20 x)

Solution解答

ⓐ
	$\frac{1}{7} \cdot 56$
Write 56 as a fraction. 56を分数で表す。	$\frac{1}{7} \cdot \frac{56}{1}$
Determine the sign of the product; multiply. 積の符号を決めてから、かけ算をする。	$\frac{56}{7}$
Simplify. 簡単にする。	$8$

ⓑ
	$\frac{12}{5} (−20 x)$
Write −20x as a fraction. −20xを分数で表す。	$\frac{12}{5} (\frac{−20 x}{1})$
Determine the sign of the product; multiply. 積の符号を決めてから、かけ算をする。	$- \frac{12 \cdot 20 \cdot x}{5 \cdot 1}$
Show common factors and then remove them. 共通の因数を示してから取り除く。
Multiply remaining factors; simplify. 残った因数をかけ合わせ、簡単にする。	−48x

Try It (2)確認問題（2題）