第4章分数

Convert Fractions to Equivalent Fractions with the LCD最小公分母を使って大きさの等しい分数に直す

Earlier, we used fraction tiles to see that the LCD of

\frac{1}{4}

when

\frac{1}{6}

12 .

We saw that three

\frac{1}{12}

pieces exactly covered

\frac{1}{4}

and two

\frac{1}{12}

pieces exactly covered

\frac{1}{6},

先ほど、分数タイルを使って、

\frac{1}{4}

と

\frac{1}{6}

の最小公分母が

12

であることを見た。

\frac{1}{12}

のピース3個で

\frac{1}{4}

を、

\frac{1}{12}

のピース2個で

\frac{1}{6}

をぴったり覆えたので、

\frac{1}{4} = \frac{3}{12} and \frac{1}{6} = \frac{2}{12} .

\frac{1}{4} = \frac{3}{12} かつ \frac{1}{6} = \frac{2}{12}

左に4分の1と記された長方形がある。その下に同じ長方形を縦に3等分したものがあり、各部分に12分の1と記されている。右には6分の1と記された長方形がある。その下に同じ長方形を縦に2等分したものがあり、各部分に12分の1と記されている。

We say that

\frac{1}{4}

and

\frac{3}{12}

are equivalent fractions and also that

\frac{1}{6}

and

\frac{2}{12}

are equivalent fractions.

\frac{1}{4}

と

\frac{3}{12}

は大きさの等しい分数であり、

\frac{1}{6}

と

\frac{2}{12}

も大きさの等しい分数であるという。

We can use the Equivalent Fractions Property to algebraically change a fraction to an equivalent one. Remember, two fractions are equivalent if they have the same value. The Equivalent Fractions Property is repeated below for reference.

大きさの等しい分数の性質を使えば、代数的な計算によって、分数を大きさの等しい別の分数に直せる。2つの分数は、値が同じならば大きさが等しい。参照できるように、大きさの等しい分数の性質を次にもう一度示す。

To add or subtract fractions with different denominators, we will first have to convert each fraction to an equivalent fraction with the LCD. Let’s see how to change

\frac{1}{4}

and

\frac{1}{6}

to equivalent fractions with denominator

12

without using models.

分母が異なる分数をたしたり引いたりするには、まず各分数を、最小公分母を分母とする大きさの等しい分数に直す必要がある。モデルを使わずに、

\frac{1}{4}

と

\frac{1}{6}

を分母が

12

の分数に直す方法を見てみよう。

Example 4.65例題 4.65

Convert

\frac{1}{4}

and

\frac{1}{6}

to equivalent fractions with denominator

12,

their LCD.

\frac{1}{4}

と

\frac{1}{6}

を、最小公分母である

12

を分母とする、大きさの等しい分数に直せ。

Solution解答

Find the LCD. 最小公分母を求める。	The LCD of $\frac{1}{4}$ and $\frac{1}{6}$ is 12. $\frac{1}{4}$ と $\frac{1}{6}$ の最小公分母は12である。
Find the number to multiply 4 to get 12. 4に何をかけると12になるかを求める。
Find the number to multiply 6 to get 12. 6に何をかけると12になるかを求める。
Use the Equivalent Fractions Property to convert each fraction to an equivalent fraction with the LCD, multiplying both the numerator and denominator of each fraction by the same number. 大きさの等しい分数の性質を使い、各分数の分子と分母に同じ数をかけて、最小公分母を分母とする大きさの等しい分数に直す。
Simplify the numerators and denominators. 分子と分母をそれぞれ簡単にする。

We do not reduce the resulting fractions. If we did, we would get back to our original fractions and lose the common denominator.

英語のヒント

得られた分数は約分しない。約分すると、元の分数に戻り、共通の分母ではなくなってしまう。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.66例題 4.66

Convert

\frac{8}{15}

and

\frac{11}{24}

to equivalent fractions with denominator

120,

their LCD.

\frac{8}{15}

と

\frac{11}{24}

を、最小公分母である

120

を分母とする、大きさの等しい分数に直せ。

Solution解答

	The LCD is 120. We will start at Step 2. 最小公分母は120である。手順2から始める。
Find the number that must multiply 15 to get 120. 15に何をかけると120になるかを求める。
Find the number that must multiply 24 to get 120. 24に何をかけると120になるかを求める。
Use the Equivalent Fractions Property. 大きさの等しい分数の性質を使う。
Simplify the numerators and denominators. 分子と分母をそれぞれ簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Add and Subtract Fractions with Different Denominators分母の異なる分数のたし算とひき算

Once we have converted two fractions to equivalent forms with common denominators, we can add or subtract them by adding or subtracting the numerators.

英語のヒント

2つの分数を共通の分母を持つ大きさの等しい形に直せば、分子どうしをたしたり引いたりして、そのたし算やひき算を行える。

Example 4.67例題 4.67

Add:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} .

次の加法を計算する：

\frac{1}{2} + \frac{1}{3}

Solution解答

	$\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$
Find the LCD of 2, 3. 2と3の最小公分母を求める。
Change into equivalent fractions with the LCD 6. 最小公分母6を使い、大きさの等しい分数に直す。
Simplify the numerators and denominators. 分子と分母をそれぞれ簡単にする。	$\frac{3}{6} + \frac{2}{6}$
Add. 足す。	$\frac{5}{6}$

Remember, always check to see if the answer can be simplified. Since

5

and

6

have no common factors, the fraction

\frac{5}{6}

cannot be reduced.

答えをさらに簡単にできるか、必ず確かめよう。

5

と

6

には共通の因数がないので、分数

\frac{5}{6}

は約分できない。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.68例題 4.68

Subtract:

\frac{1}{2} - (- \frac{1}{4}) .

次の減法を計算する：

\frac{1}{2} - (- \frac{1}{4})

Solution解答

	$\frac{1}{2} - (- \frac{1}{4})$
Find the LCD of 2 and 4. 2と4の最小公分母を求める。
Rewrite as equivalent fractions using the LCD 4. 最小公分母4を使い、大きさの等しい分数に書き直す。
Simplify the first fraction. 最初の分数を簡単にする。	$\frac{2}{4} - (- \frac{1}{4})$
Subtract. 引く。	$\frac{2 - (−1)}{4}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{3}{4}$

One of the fractions already had the least common denominator, so we only had to convert the other fraction.

一方の分数の分母は、すでに最小公分母になっていたので、もう一方だけを直せばよかった。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.69例題 4.69

Add:

\frac{7}{12} + \frac{5}{18} .

次の加法を計算する：

\frac{7}{12} + \frac{5}{18}

Solution解答

	$\frac{7}{12} + \frac{5}{18}$
Find the LCD of 12 and 18. 12と18の最小公分母を求める。
Rewrite as equivalent fractions with the LCD. 最小公分母を分母とする、大きさの等しい分数に書き直す。
Simplify the numerators and denominators. 分子と分母をそれぞれ簡単にする。	$\frac{21}{36} + \frac{10}{36}$
Add. 足す。	$\frac{31}{36}$

Because

31

is a prime number, it has no factors in common with

36 .

The answer is simplified.

31

は素数なので、

36

との共通の因数はない。答えは約分されている。

Try It (2)確認問題（2題）

When we use the Equivalent Fractions Property, there is a quick way to find the number you need to multiply by to get the LCD. Write the factors of the denominators and the LCD just as you did to find the LCD. The “missing” factors of each denominator are the numbers you need.

大きさの等しい分数の性質を使うとき、最小公分母にするためにかける数を、手早く求める方法がある。最小公分母を求めたときと同じように、各分母と最小公分母の因数を書く。各分母で「足りない」因数が、求める数である。

1行目に12＝2×2×3とあり、3の隣が空欄になっている。次の行に18＝2×3×3とあり、2と最初の3の間が空欄になっている。空欄から赤い線が伸び、「足りない因数」と記されている。その下に横線があり、最小公分母＝2×2×3×3、さらに下に最小公分母＝36と書かれている。

The LCD,

36,

has

2

factors of

2

and

2

factors of

3 .

最小公分母

36

は、因数

2

を

2

個、因数

3

を

2

個持つ。

Twelve has two factors of

2,

but only one of

3

—so it is ‘missing‘ one

3 .

We multiplied the numerator and denominator of

\frac{7}{12}

3

to get an equivalent fraction with denominator

36 .

12は因数

2

を2個持つが、

3

は1個しかないので、

3

が1個「足りない」。

\frac{7}{12}

の分子と分母に

3

をかけることで、分母が

36

の大きさの等しい分数を求めた。

Eighteen is missing one factor of

2

—so you multiply the numerator and denominator

\frac{5}{18}

2

to get an equivalent fraction with denominator

36 .

We will apply this method as we subtract the fractions in the next example.

18は因数

2

が1個足りないので、

\frac{5}{18}

の分子と分母に

2

をかけると、分母が

36

の大きさの等しい分数になる。次の例では、この方法を分数のひき算に使う。

Example 4.70例題 4.70

Subtract:

\frac{7}{15} - \frac{19}{24} .

次の減法を計算する：

\frac{7}{15} - \frac{19}{24}

Solution解答

	$\frac{7}{15} - \frac{19}{24}$
Find the LCD. 最小公分母を求める。 15 is 'missing' three factors of 2 24 is 'missing' a factor of 5 15には因数2が3個「足りない」。24には因数5が1個「足りない」。
Rewrite as equivalent fractions with the LCD. 最小公分母を分母とする、大きさの等しい分数に書き直す。
Simplify each numerator and denominator. それぞれの分子と分母を簡単にする。	$\frac{56}{120} - \frac{95}{120}$
Subtract. 引く。	$- \frac{39}{120}$
Rewrite showing the common factor of 3. 共通の因数3が分かる形に書き直す。	$- \frac{13 \cdot 3}{40 \cdot 3}$
Remove the common factor to simplify. 共通の因数を取り除いて約分する。	$- \frac{13}{40}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.71例題 4.71

Add:

- \frac{11}{30} + \frac{23}{42} .

次の加法を計算する：

- \frac{11}{30} + \frac{23}{42}

Solution解答

	$- \frac{11}{30} + \frac{23}{42}$
Find the LCD. 最小公分母を求める。
Rewrite as equivalent fractions with the LCD. 最小公分母を分母とする、大きさの等しい分数に書き直す。
Simplify each numerator and denominator. それぞれの分子と分母を簡単にする。	$- \frac{77}{210} + \frac{115}{210}$
Add. 足す。	$\frac{38}{210}$
Rewrite showing the common factor of 2. 共通の因数2が分かる形に書き直す。	$\frac{19 \cdot 2}{105 \cdot 2}$
Remove the common factor to simplify. 共通の因数を取り除いて約分する。	$\frac{19}{105}$

Try It (2)確認問題（2題）

In the next example, one of the fractions has a variable in its numerator. We follow the same steps as when both numerators are numbers.

次の例では、一方の分数の分子に変数が含まれている。両方の分子が数の場合と同じ手順に従う。

Example 4.72例題 4.72

Add:

\frac{3}{5} + \frac{x}{8} .

次の加法を計算する：

\frac{3}{5} + \frac{x}{8}

Solution解答

The fractions have different denominators.

分数の分母が異なっている。

	$\frac{3}{5} + \frac{x}{8}$
Find the LCD. 最小公分母を求める。
Rewrite as equivalent fractions with the LCD. 最小公分母を分母とする、大きさの等しい分数に書き直す。
Simplify the numerators and denominators. 分子と分母をそれぞれ簡単にする。	$\frac{24}{40} + \frac{5 x}{40}$
Add. 足す。	$\frac{24 + 5 x}{40}$

We cannot add

24

and

5 x

since they are not like terms, so we cannot simplify the expression any further.

24

と

5 x

は同類項ではなく、たしてまとめられないので、この式はこれ以上簡単にできない。

Try It (2)確認問題（2題）