第4章分数

4.7 Solve Equations with Fractions4.7　分数を含む方程式を解く

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

この節を終えると、次のことができるようになる。

Determine whether a fraction is a solution of an equation
分数が方程式の解かどうかを調べる
Solve equations with fractions using the Addition, Subtraction, and Division Properties of Equality
等式の加法・減法・除法の性質を使って分数を含む方程式を解く
Solve equations using the Multiplication Property of Equality
等式の乗法の性質を使って方程式を解く
Translate sentences to equations and solve
文章を方程式に直して解く

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Determine Whether a Fraction is a Solution of an Equation分数が方程式の解かどうかを調べる

As we saw in Solve Equations with the Subtraction and Addition Properties of Equality and Solve Equations Using Integers; The Division Property of Equality, a solution of an equation is a value that makes a true statement when substituted for the variable in the equation. In those sections, we found whole number and integer solutions to equations. Now that we have worked with fractions, we are ready to find fraction solutions to equations.

英語のヒント

「等式の減法・加法の性質を使って方程式を解く」と「整数を使って方程式を解く：等式の除法の性質」で学んだように、方程式の解とは、変数に代入すると等式が成り立つ値のことである。それらの節では、非負整数や整数の解を求めた。分数を扱ってきた今、分数の解を求める準備ができた。

The steps we take to determine whether a number is a solution to an equation are the same whether the solution is a whole number, an integer, or a fraction.

英語のヒント

ある数が方程式の解かどうかを調べる手順は、解が非負整数でも、整数でも、分数でも同じである。

Example 4.95例題 4.95

Determine whether each of the following is a solution of

x - \frac{3}{10} = \frac{1}{2} .

次の各数が

x - \frac{3}{10} = \frac{1}{2}

の解かどうかを調べよ。

ⓐ $x = 1$
ⓑ $x = \frac{4}{5}$
ⓒ $x = - \frac{4}{5}$

Solution解答

ⓐ


Change to fractions with a LCD of 10. 最小公分母10の分数に直す。
Subtract. 引く。

Since

x = 1

does not result in a true equation,

1

is not a solution to the equation.

x = 1

を代入しても等式は成り立たないので、

1

はこの方程式の解ではない。

ⓑ



Subtract. 引く。

Since

x = \frac{4}{5}

results in a true equation,

\frac{4}{5}

is a solution to the equation

x - \frac{3}{10} = \frac{1}{2} .

x = \frac{4}{5}

を代入すると等式が成り立つので、

\frac{4}{5}

は方程式

x - \frac{3}{10} = \frac{1}{2}

の解である。

ⓒ



Subtract. 引く。

Since

x = - \frac{4}{5}

does not result in a true equation,

- \frac{4}{5}

is not a solution to the equation.

x = - \frac{4}{5}

を代入しても等式は成り立たないので、

- \frac{4}{5}

はこの方程式の解ではない。

Try It (2)確認問題（2題）

Solve Equations with Fractions using the Addition, Subtraction, and Division Properties of Equality等式の加法・減法・除法の性質を使って分数を含む方程式を解く

In Solve Equations with the Subtraction and Addition Properties of Equality and Solve Equations Using Integers; The Division Property of Equality, we solved equations using the Addition, Subtraction, and Division Properties of Equality. We will use these same properties to solve equations with fractions.

「等式の減法・加法の性質を使って方程式を解く」と「整数を使って方程式を解く：等式の除法の性質」では、等式の加法・減法・除法の性質を使って方程式を解いた。分数を含む方程式を解く際にも、同じ性質を使う。

Addition, Subtraction, and Division Properties of Equality等式の加法・減法・除法の性質

For any numbers

a, b,

and

c,

任意の数

a, b

と

c

について、

if $a = b,$ then $a + c = b + c .$ $a = b$ ならば $a + c = b + c$	Addition Property of Equality 等式の加法の性質
if $a = b,$ then $a - c = b - c .$ $a = b$ ならば $a - c = b - c$	Subtraction Property of Equality 等式の減法の性質
if $a = b,$ then $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}, c \neq 0 .$ $a = b$ ならば $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}, c \neq 0$	Division Property of Equality 等式の除法の性質

In other words, when you add or subtract the same quantity from both sides of an equation, or divide both sides by the same quantity, you still have equality.

言い換えると、方程式の両辺に同じ量をたしたり、両辺から同じ量を引いたり、両辺を同じ量で割ったりしても、等式は成り立つ。

Example 4.96例題 4.96

Solve:

y + \frac{9}{16} = \frac{5}{16} .

次の方程式を解く：

y + \frac{9}{16} = \frac{5}{16}

Solution解答


Subtract $\frac{9}{16}$ from each side to undo the addition. たし算を打ち消すため、両辺から $\frac{9}{16}$ を引く。
Simplify on each side of the equation. 方程式の両辺をそれぞれ簡単にする。
Simplify the fraction. 分数を約分する。
Check: 確認：
Substitute $y = - \frac{1}{4}$ . $y = - \frac{1}{4}$ を代入する。
Rewrite as fractions with the LCD. 最小公分母を使った分数に書き直す。
Add. 足す。

Since

y = - \frac{1}{4}

makes

y + \frac{9}{16} = \frac{5}{16}

a true statement, we know we have found the solution to this equation.

y = - \frac{1}{4}

を代入すると

y + \frac{9}{16} = \frac{5}{16}

が成り立つので、この方程式の解が求まったことが分かる。

Try It (2)確認問題（2題）

We used the Subtraction Property of Equality in Example 4.96. Now we’ll use the Addition Property of Equality.

例4.96では等式の減法の性質を使った。次は、等式の加法の性質を使う。

Example 4.97例題 4.97

Solve:

a - \frac{5}{9} = - \frac{8}{9} .

次の方程式を解く：

a - \frac{5}{9} = - \frac{8}{9}

Solution解答


Add $\frac{5}{9}$ from each side to undo the subtraction. ひき算を打ち消すため、両辺に $\frac{5}{9}$ をたす。
Simplify on each side of the equation. 方程式の両辺をそれぞれ簡単にする。
Simplify the fraction. 分数を約分する。
Check: 確認：
Substitute $a = - \frac{1}{3}$ . $a = - \frac{1}{3}$ を代入する。
Change to common denominator. 共通の分母に直す。
Subtract. 引く。

Since

a = - \frac{1}{3}

makes the equation true, we know that

a = - \frac{1}{3}

is the solution to the equation.

a = - \frac{1}{3}

を代入すると等式が成り立つので、

a = - \frac{1}{3}

がこの方程式の解であると分かる。

Try It (2)確認問題（2題）

The next example may not seem to have a fraction, but let’s see what happens when we solve it.

次の例には分数がないように見えるかもしれないが、解くとどうなるか見てみよう。

Example 4.98例題 4.98

Solve:

10 q = 44 .

次の方程式を解く：

10 q = 44

Solution解答

		$10 q = 44$
Divide both sides by 10 to undo the multiplication. かけ算を打ち消すため、両辺を10で割る。		$\frac{10 q}{10} = \frac{44}{10}$
Simplify. 簡単にする。		$q = \frac{22}{5}$
Check: 確認：
Substitute $q = \frac{22}{5}$ into the original equation. 元の方程式に $q = \frac{22}{5}$ を代入する。	$10 (\frac{22}{5}) \overset{?}{=} 44$
Simplify. 簡単にする。	$\overset{2}{10} (\frac{22}{5}) \overset{?}{=} 44$
Multiply. 掛ける。	$44 = 44 ✓$

The solution to the equation was the fraction

\frac{22}{5} .

We leave it as an improper fraction.

方程式の解は分数

\frac{22}{5}

だった。仮分数のままにしておく。

Try It (2)確認問題（2題）

第4章分数

4.7 Solve Equations with Fractions4.7 分数を含む方程式を解く

Learning Objectives学習目標

Determine Whether a Fraction is a Solution of an Equation分数が方程式の解かどうかを調べる

Solution解答

Solve Equations with Fractions using the Addition, Subtraction, and Division Properties of Equality等式の加法・減法・除法の性質を使って分数を含む方程式を解く

Solution解答

Solution解答

Solution解答

4.7 Solve Equations with Fractions4.7　分数を含む方程式を解く