プリンキピア

第3章整数

3.5 Solve Equations Using Integers; The Division Property of Equality3.5　整数を使って方程式を解く：等式の除法の性質

Learning Objectives学習目標

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:
この節を終えると、次のことができるようになる。
  • Determine whether an integer is a solution of an equation
    ある整数が方程式の解かどうかを判定する
  • Solve equations with integers using the Addition and Subtraction Properties of Equality
    等式の加法と減法の性質を使い、整数を含む方程式を解く
  • Model the Division Property of Equality
    等式の除法の性質をモデルで表す
  • Solve equations using the Division Property of Equality
    等式の除法の性質を使って方程式を解く
  • Translate to an equation and solve
    方程式に直して解く
Before You Begin (3)準備問題（3題）

Determine Whether a Number is a Solution of an Equationある数が方程式の解かどうかを判定する

In Solve Equations with the Subtraction and Addition Properties of Equality, we saw that a solution of an equation is a value of a variable that makes a true statement when substituted into that equation. In that section, we found solutions that were whole numbers. Now that we’ve worked with integers, we’ll find integer solutions to equations.
「等式の減法と加法の性質を使って方程式を解く」では、方程式の解とは、代入するとその等式を成り立たせる変数の値であると学んだ。その節では、非負整数の解を求めた。これで整数を扱えるようになったので、方程式の整数の解を求める。
The steps we take to determine whether a number is a solution to an equation are the same whether the solution is a whole number or an integer.
ある数が方程式の解かどうかを判定する手順は、解が非負整数でも整数でも同じである。
Example 3.60例題 3.60
Determine whether each of the following is a solution of 2x−5=−13:
次の各数が2x−5=−13:の解かどうかを判定せよ。
  1. ⓐ x=4
  2. ⓑ x=−4
  3. ⓒ x=−9.

Solution解答

ⓐ Substitute 4 for x in the equation to determine if it is true.
ⓐ 方程式のxに4を代入し、正しいかどうかを判定する。
.
.
.
Multiply.
掛ける。
.
Subtract.
引く。
.
Since x=4 does not result in a true equation, 4 is not a solution to the equation.
x=4では正しい等式にならないので、4はこの方程式の解ではない。
ⓑ Substitute −4 for x in the equation to determine if it is true.
ⓑ 方程式のxに−4を代入し、正しいかどうかを判定する。
.
.
.
Multiply.
掛ける。
.
Subtract.
引く。
.
Since x=−4 results in a true equation, −4 is a solution to the equation.
x=−4では正しい等式になるので、−4はこの方程式の解である。
ⓒ Substitute −9 for x in the equation to determine if it is true.
ⓒ 方程式のxに−9を代入し、正しいかどうかを判定する。
.
Substitute −9 for x.
xに−9を代入する。
.
Multiply.
掛ける。
.
Subtract.
引く。
.
Since x=−9 does not result in a true equation, −9 is not a solution to the equation.
x=−9では正しい等式にならないので、−9はこの方程式の解ではない。
Try It (2)確認問題（2題）

Solve Equations with Integers Using the Addition and Subtraction Properties of Equality等式の加法と減法の性質を使い、整数を含む方程式を解く

In Solve Equations with the Subtraction and Addition Properties of Equality, we solved equations similar to the two shown here using the Subtraction and Addition Properties of Equality. Now we can use them again with integers.
「等式の減法と加法の性質を使って方程式を解く」では、ここに示す2つと似た方程式を、等式の減法と加法の性質で解いた。次は整数でも同じ性質を使える。
2列からなる図。第1列はx＋4＝12、その下はx＋4−4＝12−4、さらに下はx＝8である。第2列はy−5＝9、その下はy−5＋5＝9＋5、さらに下はy＝14である。
When you add or subtract the same quantity from both sides of an equation, you still have equality.
方程式の両辺に同じ量を足したり引いたりしても、等しさは保たれる。
Example 3.61例題 3.61
Solve: y+9=5.
次の方程式を解く：y+9=5

Solution解答
.
Subtract 9 from each side to undo the addition.
足し算を元に戻すために、両辺から9を引く。
.
Simplify.
簡単にする。
.
Check the result by substituting −4 into the original equation.
元の方程式に−4を代入して、結果を確かめる。
y+9=5
Substitute −4 for y
yに−4を代入する。
−4+9=?5
5=5✓
Since y=−4 makes y+9=5 a true statement, we found the solution to this equation.
y=−4によってy+9=5が正しい文になるので、この方程式の解が求まった。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 3.62例題 3.62
Solve: a−6=−8
次の方程式を解く：a−6=−8

Solution解答
.
Add 6 to each side to undo the subtraction.
引き算を元に戻すために、両辺に6を足す。
.
Simplify.
簡単にする。
.
Check the result by substituting −2 into the original equation:
元の方程式に−2を代入して、結果を確かめる。
.
Substitute −2 for a
aに−2を代入する。
.
.
The solution to a−6=−8 is −2.
a−6=−8の解は−2である。
Since a=−2 makes a−6=−8 a true statement, we found the solution to this equation.
a=−2によってa−6=−8が正しい文になるので、この方程式の解が求まった。
Try It (2)確認問題（2題）

Model the Division Property of Equality等式の除法の性質をモデルで表す

All of the equations we have solved so far have been of the form x+a=b or x−a=b. We were able to isolate the variable by adding or subtracting the constant term. Now we’ll see how to solve equations that involve division.
ここまでに解いた方程式はすべて、x+a=bまたはx−a=bという形だった。定数項を足したり引いたりして、変数だけを残すことができた。次は、割り算を使う方程式の解き方を見よう。
We will model an equation with envelopes and counters in Figure 3.21.
図3.21の封筒とカウンターで、方程式をモデルで表す。
2列からなる図。第1列には同じ封筒が2枚、第2列には青い円6個が無作為に置かれている。
Figure 3.21図 3.21
Here, there are two identical envelopes that contain the same number of counters. Remember, the left side of the workspace must equal the right side, but the counters on the left side are “hidden” in the envelopes. So how many counters are in each envelope?
ここには、同じ個数のカウンターが入った同じ封筒が2枚ある。作業場所の左側と右側は等しくなければならないが、左のカウンターは封筒に「隠れている」ことを思い出そう。それぞれの封筒には、カウンターが何個入っているだろうか。
To determine the number, separate the counters on the right side into 2 groups of the same size. So 6 counters divided into 2 groups means there must be 3 counters in each group (since 6÷2=3).
個数を求めるには、右側のカウンターを同じ個数の2グループに分ける。6個を2グループに分けると、各グループには3個あるはずである（6÷2=3)だからである）。
What equation models the situation shown in Figure 3.22? There are two envelopes, and each contains x counters. Together, the two envelopes must contain a total of 6 counters. So the equation that models the situation is 2x=6.
図3.22の状況を表す方程式は何か。封筒は2枚あり、それぞれにカウンターがx個入っている。2枚を合わせると、全部で6個のはずである。したがって、この状況を表す方程式は2x=6である。
2列からなる図。第1列には同じ封筒が2枚、第2列には青い円6個が無作為に置かれている。図の下には2×x＝6とある。
Figure 3.22図 3.22
We can divide both sides of the equation by 2 as we did with the envelopes and counters.
封筒とカウンターで行ったように、方程式の両辺を2で割れる。
2行からなる図。第1行は2x÷2＝6÷2、第2行はx＝3である。
We found that each envelope contains 3 counters. Does this check? We know 2·3=6, so it works. Three counters in each of two envelopes does equal six.
各封筒には3個のカウンター。あると分かった。検算は合うだろうか。2·3=6なので合っている。2枚の封筒に3個ずつなら、確かに6個である。
Figure 3.23 shows another example.
図3.23に別の例を示す。
2列からなる図。第1列には封筒3枚、第2列には青い円3個が4列ある。下には方程式3x＝12とある。
Figure 3.23図 3.23
Now we have 3 identical envelopes and 12 counters. How many counters are in each envelope? We have to separate the 12 counters into 3 groups. Since 12÷3=4, there must be 4 counters in each envelope. See Figure 3.24.
今度は、同じ封筒3枚と12個のカウンター。がある。各封筒にはカウンターが何個あるか。12個のカウンターを3グループ。に分ける必要がある。12÷3=4なので、各封筒には4個のカウンターあるはずである。図3.24を参照せよ。
2列からなる図。第1列には封筒4枚、第2列には青い円12個がある。
Figure 3.24図 3.24
The equation that models the situation is 3x=12. We can divide both sides of the equation by 3.
この状況を表す方程式は3x=12である。両辺を3で割れる。
方程式3x÷3＝12÷3を示す図。その下にはx＝4とある。
Does this check? It does because 3·4=12.
検算は合うだろうか。3·4=12なので合っている。
Additional Resources追加教材
Example 3.63例題 3.63
Write an equation modeled by the envelopes and counters, and then solve it.
封筒とカウンターをモデルとする方程式を書いて解け。
2列からなる図。第1列には封筒4枚、第2列には青い円8個がある。

Solution解答

There are 4 envelopes, or 4 unknown values, on the left that match the 8 counters on the right. Let’s call the unknown quantity in the envelopes x.
左側には4枚の封筒、、すなわち4個の未知の値があり、右側の8個のカウンターに対応している。封筒の中の未知の量をxと呼ぼう。
Write the equation.
方程式を書く。
.
Divide both sides by 4.
両辺を4で割る。
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Simplify.
簡単にする。
.
There are 2 counters in each envelope.
各封筒には2個のカウンターある。
Try It (2)確認問題（2題）