プリンキピア

第3章整数

3.1 Introduction to Integers3.1　整数入門

Learning Objectives学習目標

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:
この節を終えると、次のことができるようになる。
  • Locate positive and negative numbers on the number line
    数直線上に正の数と負の数を示す
  • Order positive and negative numbers
    正の数と負の数の大小を比べる
  • Find opposites
    反数を求める
  • Simplify expressions with absolute value
    絶対値を含む式を簡単にする
  • Translate word phrases to expressions with integers
    言葉の表現を整数を含む式に直す
Before You Begin (2)準備問題（2題）

Locate Positive and Negative Numbers on the Number Line数直線上に正の数と負の数を示す

Do you live in a place that has very cold winters? Have you ever experienced a temperature below zero? If so, you are already familiar with negative numbers. A negative number is a number that is less than 0. Very cold temperatures are measured in degrees below zero and can be described by negative numbers. For example, −1°F (read as “negative one degree Fahrenheit”) is 1degree below 0. A minus sign is shown before a number to indicate that it is negative. Figure 3.2 shows −20°F, which is 20degrees below 0.
冬がとても寒い場所に住んでいるだろうか。0度未満の気温を経験したことがあるだろうか。もしあるなら、負の数はすでになじみのあるものである。負の数とは、0より小さい数である。とても低い気温は0度より何度低いかで測り、負の数で表せる。例えば、−1°F（「華氏マイナス1度」と読む）は、0より1度低い。負の数であることを示すには、数の前にマイナス記号を付ける。図3.2は、0より20度低い−20°Fを示している。
華氏の目盛りが付いた温度計。温度計は20度を示している。
Figure 3.2図 3.2
Temperatures below zero are described by negative numbers.
0度未満の気温は負の数で表す。
Temperatures are not the only negative numbers. A bank overdraft is another example of a negative number. If a person writes a check for more than he has in his account, his balance will be negative.
英語のヒント
負の数で表すのは気温だけではない。銀行の当座貸越もその一例である。口座にある金額より多い額の小切手を振り出すと、残高は負になる。
Elevations can also be represented by negative numbers. The elevation at sea level is 0 feet. Elevations above sea level are positive and elevations below sea level are negative. The elevation of the Dead Sea, which borders Israel and Jordan, is about 1,302feet below sea level, so the elevation of the Dead Sea can be represented as −1,302feet. See Figure 3.3.
英語のヒント
標高も負の数で表せる。海面の標高は0フィートである。海面より高い標高は正、低い標高は負である。イスラエルとヨルダンに接する死海の標高は、海面より約1,302フィート低いため、−1,302フィートと表せる。図3.3を参照せよ。
イスラエルの海岸を横から見て、さまざまな標高を示す図。地中海には標高0フィート、死海には標高マイナス1302フィートと書かれている。ヨルダンという国名も示されている。
Figure 3.3図 3.3
The surface of the Mediterranean Sea has an elevation of 0ft. The diagram shows that nearby mountains have higher (positive) elevations whereas the Dead Sea has a lower (negative) elevation.
地中海の海面の標高は0フィートである。図では、近くの山々の標高はより高い正の値であり、死海の標高はより低い負の値である。
Depths below the ocean surface are also described by negative numbers. A submarine, for example, might descend to a depth of 500feet. Its position would then be −500feet as labeled in Figure 3.4.
英語のヒント
海面下の深さも負の数で表す。例えば、潜水艦が深さ500フィートまで潜ることがある。その位置は、図3.4の表示のように−500フィートとなる。
水中にある潜水艦の図。水中にはフィート単位の縦の数直線もあり、海面が0フィート、潜水艦のある海面下の位置がマイナス500フィートと示されている。
Figure 3.4図 3.4
Depths below sea level are described by negative numbers. A submarine 500ft below sea level is at −500ft.
海面下の深さは負の数で表す。海面下500フィートの潜水艦の位置は−500フィートである。
Both positive and negative numbers can be represented on a number line. Recall that the number line created in Add Whole Numbers started at 0 and showed the counting numbers increasing to the right as shown in Figure 3.5. The counting numbers (1, 2, 3, …) on the number line are all positive. We could write a plus sign, +, before a positive number such as +2 or +3, but it is customary to omit the plus sign and write only the number. If there is no sign, the number is assumed to be positive.
英語のヒント
正の数も負の数も数直線上に表せる。「非負整数を足す」で作った数直線は、図3.5のように0から始まり、数える数が右へ向かって大きくなっていた。数直線上の数える数(1, 2, 3, …)はすべて正である。正の数の前には、+2や+3のようにプラス記号+を書いてもよいが、通常はプラス記号を省き、数だけを書く。符号がなければ、その数は正とみなす。
0から6まで目盛りのある数直線。
Figure 3.5図 3.5
Now we need to extend the number line to include negative numbers. We mark several units to the left of zero, keeping the intervals the same width as those on the positive side. We label the marks with negative numbers, starting with −1 at the first mark to the left of 0,−2 at the next mark, and so on. See Figure 3.6.
英語のヒント
次に、負の数を含むように数直線を延ばす。正の側と同じ間隔を保ちながら、0の左側にもいくつかの目盛りを付ける。負の数を記し、−1を0の左の最初の目盛りに、続いて0,−2のうちの−2を次の目盛りに付ける、というように進める。図3.6を参照せよ。
中央に0がある数直線。0の右側には正の数1〜4、左側には負の数−1〜−4の目盛りがある。
Figure 3.6図 3.6
On a number line, positive numbers are to the right of zero. Negative numbers are to the left of zero. What about zero? Zero is neither positive nor negative.
英語のヒント
数直線では、正の数は0の右側、負の数は0の左側にある。0はどうだろうか。0は正でも負でもない。
The arrows at either end of the line indicate that the number line extends forever in each direction. There is no greatest positive number and there is no smallest negative number.
英語のヒント
線の両端の矢印は、数直線がそれぞれの方向へ際限なく続くことを示す。最大の正の数も、最小の負の数も存在しない。
Additional Resources追加教材
Example 3.1例題 3.1
Plot the numbers on a number line:
数を数直線上に示せ。
  1. ⓐ 3
  2. ⓑ −3
  3. ⓒ −2

Solution解答

Draw a number line. Mark 0 in the center and label several units to the left and right.
数直線を描く。中央に0を記し、左右にいくつかの目盛りを付ける。
  1. ⓐ To plot 3, start at 0 and count three units to the right. Place a point as shown in Figure 3.7.
    ⓐ 3を示すには、0から始めて右へ3目盛り数える。図3.7のように点を打つ。
    −4から4までの数直線で、3の位置に点がある。
    Figure 3.7図 3.7
  2. ⓑ To plot −3, start at 0 and count three units to the left. Place a point as shown in Figure 3.8.
    ⓑ −3を示すには、0から始めて左へ3目盛り数える。図3.8のように点を打つ。
    −4から4までの数直線で、−3の位置に点がある。
    Figure 3.8図 3.8
  3. ⓒ To plot −2, start at 0 and count two units to the left. Place a point as shown in Figure 3.9.
    ⓒ −2を示すには、0から始めて左へ2目盛り数える。図3.9のように点を打つ。
    −4から4までの数直線で、−2の位置に点がある。
    Figure 3.9図 3.9
Try It (2)確認問題（2題）