第3章整数

Simplify Expressions with Integers整数を含む式を簡単にする

Now we’ll simplify expressions that use all four operations–addition, subtraction, multiplication, and division–with integers. Remember to follow the order of operations.

次に、整数の足し算、引き算、掛け算、割り算という四則演算をすべて使う式を簡単にする。計算の順序に従うことを忘れないようにしよう。

Example 3.51例題 3.51

Simplify: 7 (−2) + 4 (−7) - 6 .

簡単にせよ： 7 (−2) + 4 (−7) - 6

Solution解答

We use the order of operations. Multiply first and then add and subtract from left to right.

計算の順序を使う。まず掛け、その後、左から右へ足し算と引き算を行う。

	$7 (−2) + 4 (−7) −6$
Multiply first. まず掛ける。	$−14 + (−28) −6$
Add. 足す。	$−42 - 6$
Subtract. 引く。	$−48$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.52例題 3.52

Simplify:

簡単にせよ。

ⓐ ${(−2)}^{4}$
ⓑ ${−2}^{4}$

Solution解答

The exponent tells how many times to multiply the base.

指数は、底を何個掛けるかを示す。

ⓐ The exponent is

4

and the base is

−2 .

We raise

−2

to the fourth power.

ⓐ 指数は

4

、底は

−2

である。

−2

を4乗する。

	${(−2)}^{4}$
Write in expanded form. 展開した形で書け。	$(−2) (−2) (−2) (−2)$
Multiply. 掛ける。	$4 (−2) (−2)$
Multiply. 掛ける。	$- 8 (−2)$
Multiply. 掛ける。	$16$

ⓑ The exponent is

4

and the base is

2 .

We raise

2

to the fourth power and then take the opposite.

ⓑ 指数は

4

、底は

2

である。

2

を4乗してから、その反数を取る。

	$- 2^{4}$
Write in expanded form. 展開した形で書け。	$- (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)$
Multiply. 掛ける。	$- (4 \cdot 2 \cdot 2)$
Multiply. 掛ける。	$- (8 \cdot 2)$
Multiply. 掛ける。	$- 16$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.53例題 3.53

Simplify: 12 - 3 (9 - 12) .

簡単にせよ： 12 - 3 (9 - 12)

Solution解答

According to the order of operations, we simplify inside parentheses first. Then we will multiply and finally we will subtract.

計算の順序に従い、まず丸括弧の内側を簡単にする。その後に掛け、最後に引く。

	$12 - 3 (9 - 12)$
Subtract the parentheses first. まず丸括弧の中で引く。	$12 - 3 (−3)$
Multiply. 掛ける。	$12 - (−9)$
Subtract. 引く。	$21$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.54例題 3.54

Simplify:

8 (−9) \div {(−2)}^{3} .

次の式を簡単にする：

8 (−9) \div {(−2)}^{3}

Solution解答

We simplify the exponent first, then multiply and divide.

まず指数の計算をし、その後に掛け算と割り算をする。

	$8 (−9) \div {(−2)}^{3}$
Simplify the exponent. 指数の計算をする。	$8 (−9) \div (−8)$
Multiply. 掛ける。	$−72 \div (−8)$
Divide. 割る。	$9$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.55例題 3.55

Simplify: −30 \div 2 + (−3) (−7) .

簡単にせよ： −30 \div 2 + (−3) (−7)

Solution解答

First we will multiply and divide from left to right. Then we will add.

まず左から右へ掛け算と割り算をし、その後に足す。

	$−30 \div 2 + (−3) (−7)$
Divide. 割る。	$−15 + (−3) (−7)$
Multiply. 掛ける。	$−15 + 21$
Add. 足す。	$6$

Try It (2)確認問題（2題）

Evaluate Variable Expressions with Integers整数を使って変数を含む式の値を求める

Now we can evaluate expressions that include multiplication and division with integers. Remember that to evaluate an expression, substitute the numbers in place of the variables, and then simplify.

これで、整数の掛け算や割り算を含む式の値を求められる。式の値を求めるには、変数の代わりに数を代入してから簡単にすることを思い出そう。

Example 3.56例題 3.56

Evaluate 2 x^{2} - 3 x + 8 when x = −4 .

値を求めよ： 2 x^{2} - 3 x + 8 のとき x = −4

Solution解答



Simplify exponents. 指数の計算をする。
Multiply. 掛ける。
Subtract. 引く。
Add. 足す。

Keep in mind that when we substitute

−4

for

x,

we use parentheses to show the multiplication. Without parentheses, it would look like

2 \cdot {−4}^{2} - 3 \cdot −4 + 8 .

x

に

−4

を代入するとき、掛け算を示すために丸括弧を使うことに注意しよう。丸括弧がないと、

2 \cdot {−4}^{2} - 3 \cdot −4 + 8

のように見えてしまう。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.57例題 3.57

Evaluate 3 x + 4 y - 6 when x = −1 and y = 2 .

値を求めよ： 3 x + 4 y - 6 のとき x = −1 と y = 2

Solution解答


Substitute $x = −1$ and $y = 2$ . $x = −1$ と $y = 2$ を代入する。
Multiply. 掛ける。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Translate Word Phrases to Algebraic Expressions言葉の表現を代数式に直す

Once again, all our prior work translating words to algebra transfers to phrases that include both multiplying and dividing integers. Remember that the key word for multiplication is product and for division is quotient.

ここでも、言葉を代数に直すこれまでの方法は、整数の掛け算と割り算を含む表現にすべて使える。掛け算のキーワードはproduct（積）、割り算のキーワードはquotient（商）であることを思い出そう。

Example 3.58例題 3.58

Translate to an algebraic expression and simplify if possible: the product of

−2

and

14 .

代数式に直し、できれば計算せよ：

−2

と

14

の積。

Solution解答

The word product tells us to multiply.

product（積）という語は、掛け算をすることを示す。

	the product of $−2$ and $14$ $−2$ と $14$ の積
Translate. 数式に直す。	$(−2) (14)$
Simplify. 簡単にする。	$−28$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.59例題 3.59

Translate to an algebraic expression and simplify if possible: the quotient of

−56

and

−7 .

代数式に直し、できれば計算せよ：

−56

と

−7

の商。

Solution解答

The word quotient tells us to divide.

quotient（商）という語は、割り算をすることを示す。

	the quotient of −56 and −7 −56と−7の商
Translate. 数式に直す。	$−56 \div (−7)$
Simplify. 簡単にする。	$8$

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

Multiplication of Signed Numbers
符号付きの数の掛け算
- To determine the sign of the product of two signed numbers:
  2つの符号付きの数の積の符号を決めるには、
  
  Same Signs
  同じ符号
  
  Product
  積
  
  Two positives
  Two negatives
  正の数2つ　負の数2つ
  
  Positive
  Positive
  正　正
  
  Different Signs
  異なる符号
  
  Product
  積
  
  Positive • negative
  Negative • positive
  正×負　負×正
  
  Negative
  Negative
  負　負
Division of Signed Numbers
符号付きの数の割り算
- To determine the sign of the quotient of two signed numbers:
  2つの符号付きの数の商の符号を決めるには、
  
  Same Signs
  同じ符号
  
  Quotient
  商
  
  Two positives
  Two negatives
  正の数2つ　負の数2つ
  
  Positive
  Positive
  正　正
  
  Different Signs
  異なる符号
  
  Quotient
  商
  
  Positive • negative
  Negative • Positive
  正×負　負×正
  
  Negative
  Negative
  負　負
Multiplication by $−1$
$−1$ を掛ける
- Multiplying a number by $−1$ gives its opposite: $−1 a = - a$
  ある数に $−1$ を掛けると、その反数になる： $−1 a = - a$
Division by $−1$
$−1$ で割る
- Dividing a number by $−1$ gives its opposite: $a \div (−1) = −a$
  ある数を $−1$ で割ると、その反数になる： $a \div (−1) = −a$

Same Signs 同じ符号	Product 積
Two positives Two negatives 正の数2つ　負の数2つ	Positive Positive 正　正

Different Signs 異なる符号	Product 積
Positive • negative Negative • positive 正×負　負×正	Negative Negative 負　負

Same Signs 同じ符号	Quotient 商
Two positives Two negatives 正の数2つ　負の数2つ	Positive Positive 正　正

Different Signs 異なる符号	Quotient 商
Positive • negative Negative • Positive 正×負　負×正	Negative Negative 負　負

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 211–222練習問題 211–222

Multiply Integers

整数を掛ける

In the following exercises, multiply each pair of integers.

次の各問で、各組の整数を掛けよ。

Exercise 211問題 211

−4 \cdot 8

Solution解き方

−32

Exercise 212問題 212

−3 \cdot 9

Exercise 213問題 213

−5 (7)

Solution解き方

−35

Exercise 214問題 214

−8 (6)

Exercise 215問題 215

−18 (−2)

Solution解き方

Exercise 216問題 216

−10 (−6)

Exercise 217問題 217

9 (−7)

Solution解き方

−63

Exercise 218問題 218

13 (−5)

Exercise 219問題 219

−1 \cdot 6

Solution解き方

−6

Exercise 220問題 220

−1 \cdot 3

Exercise 221問題 221

−1 (−14)

Solution解き方

Exercise 222問題 222

−1 (−19)

Exercises 223–232練習問題 223–232

Divide Integers

整数を割る

In the following exercises, divide.

次の各問で、割り算をせよ。

Exercise 223問題 223

−24 \div 6

Solution解き方

−4

Exercise 224問題 224

−28 \div 7

Exercise 225問題 225

56 \div (−7)

Solution解き方

−8

Exercise 226問題 226

35 \div (−7)

Exercise 227問題 227

−52 \div (−4)

Solution解き方

Exercise 228問題 228

−84 \div (−6)

Exercise 229問題 229

−180 \div 15

Solution解き方

−12

Exercise 230問題 230

−192 \div 12

Exercise 231問題 231

49 \div (−1)

Solution解き方

−49

Exercise 232問題 232

62 \div (−1)

Exercises 233–258練習問題 233–258

Simplify Expressions with Integers

整数を含む式を簡単にする

In the following exercises, simplify each expression.

次の練習問題では、それぞれの式を簡単にする。

Exercise 233問題 233

5 (−6) + 7 (−2) −3

Solution解き方

−47

Exercise 234問題 234

8 (−4) + 5 (−4) −6

Exercise 235問題 235

−8 (−2) −3 (−9)

Solution解き方

Exercise 236問題 236

−7 (−4) −5 (−3)

Exercise 237問題 237

{(−5)}^{3}

Solution解き方

−125

Exercise 238問題 238

{(−4)}^{3}

Exercise 239問題 239

{(−2)}^{6}

Solution解き方

Exercise 240問題 240

{(−3)}^{5}

Exercise 241問題 241

- 4^{2}

Solution解き方

−16

Exercise 242問題 242

- 6^{2}

Exercise 243問題 243

−3 (−5) (6)

Solution解き方

Exercise 244問題 244

−4 (−6) (3)

Exercise 245問題 245

−4 \cdot 2 \cdot 11

Solution解き方

−88

Exercise 246問題 246

−5 \cdot 3 \cdot 10

Exercise 247問題 247

(8 - 11) (9 - 12)

Solution解き方

Exercise 248問題 248

(6 - 11) (8 - 13)

Exercise 249問題 249

26 - 3 (2 - 7)

Solution解き方

Exercise 250問題 250

23 - 2 (4 - 6)

Exercise 251問題 251

−10 (−4) \div (−8)

Solution解き方

−5

Exercise 252問題 252

−8 (−6) \div (−4)

Exercise 253問題 253

65 \div (−5) + (−28) \div (−7)

Solution解き方

−9

Exercise 254問題 254

52 \div (−4) + (−32) \div (−8)

Exercise 255問題 255

9 - 2 [3 - 8 (−2)]

Solution解き方

−29

Exercise 256問題 256

11 - 3 [7 - 4 (−2)]

Exercise 257問題 257

{(−3)}^{2} −24 \div (8 - 2)

Solution解き方

Exercise 258問題 258

{(−4)}^{2} - 32 \div (12 - 4)

Exercises 259–270練習問題 259–270

Evaluate Variable Expressions with Integers

整数を使って変数を含む式の値を求める

In the following exercises, evaluate each expression.

次の各問で、各式の値を求めよ。

Exercise 259問題 259

−2 x + 17 when

−2 x + 17 のとき

ⓐ $x = 8$
ⓑ $x = −8$

Solution解き方

ⓐ 1
ⓑ 33

Exercise 260問題 260

−5 y + 14 when

−5 y + 14 のとき

ⓐ $y = 9$
ⓑ $y = −9$

Exercise 261問題 261

10 - 3 m when

10 - 3 m のとき

ⓐ $m = 5$
ⓑ $m = −5$

Solution解き方

ⓐ −5
ⓑ 25

Exercise 262問題 262

18 - 4 n when

18 - 4 n のとき

ⓐ $n = 3$
ⓑ $n = −3$

Exercise 263問題 263

p^{2} - 5 p + 5 when p = −1

p^{2} - 5 p + 5 のとき p = −1

Solution解き方

Exercise 264問題 264

q^{2} - 2 q + 9

when

q = −2

q = −2

のときの

q^{2} - 2 q + 9

Exercise 265問題 265

2 w^{2} - 3 w + 7

when

w = −2

w = −2

のときの

2 w^{2} - 3 w + 7

Solution解き方

Exercise 266問題 266

3 u^{2} - 4 u + 5

when

u = −3

u = −3

のときの

3 u^{2} - 4 u + 5

Exercise 267問題 267

6 x - 5 y + 15

when

x = 3

and

y = −1

x = 3

かつ

y = −1

のときの

6 x - 5 y + 15

Solution解き方

Exercise 268問題 268

3 p - 2 q + 9

when

p = 8

and

q = −2

p = 8

かつ

q = −2

のときの

3 p - 2 q + 9

Exercise 269問題 269

9 a - 2 b - 8

when

a = −6

and

b = −3

a = −6

かつ

b = −3

のときの

9 a - 2 b - 8

Solution解き方

−56

Exercise 270問題 270

7 m - 4 n - 2

when

m = −4

and

n = −9

m = −4

かつ

n = −9

のときの

7 m - 4 n - 2

Exercises 271–278練習問題 271–278

Translate Word Phrases to Algebraic Expressions

言葉の表現を代数式に直す

In the following exercises, translate to an algebraic expression and simplify if possible.

次の各問で、代数式に直し、できれば計算せよ。

Exercise 271問題 271

The product of

−3

and 15

−3

と15の積

Solution解き方

−3·15 = −45

Exercise 272問題 272

The product of

−4

and

16

−4

と

16

の積

Exercise 273問題 273

The quotient of

−60

and

−20

−60

と

−20

の商

Solution解き方

−60 ÷ (−20) = 3

Exercise 274問題 274

The quotient of

−40

and

−20

−40

と

−20

の商

Exercise 275問題 275

The quotient of

−6

and the sum of

a

and

b

−6

と、

a

と

b

の和との商

Solution解き方

\frac{−6}{a + b}

Exercise 276問題 276

The quotient of

−7

and the sum of

m

and

n

−7

と、

m

と

n

の和との商

Exercise 277問題 277

The product of

−10

and the difference of

p and q

−10

と、

p と q

の差との積

Solution解き方

−10 (p − q)

Exercise 278問題 278

The product of

−13

and the difference of

c and d

−13

と、

c と d

の差との積