第3章整数

Simplify Expressions with Integers整数を含む式を簡単にする

Now that you have modeled adding small positive and negative integers, you can visualize the model in your mind to simplify expressions with any integers.

小さな正の整数と負の整数の足し算をモデルで表せるようになったので、そのモデルを頭に思い浮かべて、どの整数を含む式も簡単にできる。

For example, if you want to add

37 + (−53),

you don’t have to count out

37

blue counters and

53

red counters.

例えば、

37 + (−53)

を計算したいとき、青いカウンター

37

個と赤いカウンター

53

個を実際に数える必要はない。

Picture

37

blue counters with

53

red counters lined up underneath. Since there would be more negative counters than positive counters, the sum would be negative. Because

53 −37 = 16,

there are

16

more negative counters.

青いカウンター

37

個と、その下に並んだ赤いカウンター

53

個を想像しよう。負のカウンターの方が正より多いため、和は負になる。

53 −37 = 16

なので、負のカウンターが

16

個多い。

37 + (−53) = −16

Let’s try another one. We’ll add

−74 + (−27) .

Imagine

74

red counters and

27

more red counters, so we have

101

red counters all together. This means the sum is

−101.

もう1つ試そう。

−74 + (−27)

を計算する。赤いカウンター

74

個に、赤いカウンター

27

個を加えると、全部で

101

個になると想像しよう。これは、和が

−101

であることを意味する。

−74 + (−27) = −101

Look again at the results of Example 3.14 - Example 3.17.

例3.14〜例3.17の結果をもう一度見よう。

Addition of Positive and Negative Integers正の整数と負の整数の足し算

$5 + 3$	$−5 + (−3)$
both positive, sum positive 両方が正、和は正	both negative, sum negative 両方が負、和は負
When the signs are the same, the counters would be all the same color, so add them. 符号が同じとき、カウンターの色はすべて同じなので、足し合わせる。
$−5 + 3$	$5 + (−3)$
different signs, more negatives 符号が異なり、負の方が多い	different signs, more positives 符号が異なり、正の方が多い
Sum negative 和は負	sum positive 和は正
When the signs are different, some counters would make neutral pairs; subtract to see how many are left. 英語のヒント符号が異なるとき、一部のカウンターは打ち消し合う対を作る。引き算をして、何個残るかを調べる。

Example 3.19例題 3.19

Simplify:

簡単にせよ。

ⓐ $19 + (−47)$
ⓑ $−32 + 40$

Solution解答

ⓐ Since the signs are different, we subtract

19

from

47 .

The answer will be negative because there are more negatives than positives.

ⓐ 符号が異なるので、

47

から

19

を引く。負の方が正より多いため、答えは負になる。

\begin{matrix} 19 + (−47) \\ −28 \end{matrix}

ⓑ The signs are different so we subtract

32

from

40 .

The answer will be positive because there are more positives than negatives

ⓑ 符号が異なるので、

40

から

32

を引く。正の方が負より多いため、答えは正になる。

\begin{matrix} −32 + 40 \\ 8 \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.20例題 3.20

Simplify:

−14 + (−36) .

次の式を簡単にする：

−14 + (−36)

Solution解答

Since the signs are the same, we add. The answer will be negative because there are only negatives.

符号が同じなので足す。負しかないため、答えは負になる。

\begin{matrix} −14 + (−36) \\ −50 \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

The techniques we have used up to now extend to more complicated expressions. Remember to follow the order of operations.

ここまで使ってきた方法は、より複雑な式にも広げられる。計算の順序に従うことを忘れないようにしよう。

Example 3.21例題 3.21

Simplify:

−5 + 3 (−2 + 7) .

次の式を簡単にする：

−5 + 3 (−2 + 7)

Solution解答

	$−5 + 3 (−2 + 7)$
Simplify inside the parentheses. 丸括弧の内側を簡単にする。	$−5 + 3 (5)$
Multiply. 掛ける。	$−5 + 15$
Add left to right. 左から右へ足す。	$10$

Try It (2)確認問題（2題）

Evaluate Variable Expressions with Integers整数を使って変数を含む式の値を求める

Remember that to evaluate an expression means to substitute a number for the variable in the expression. Now we can use negative numbers as well as positive numbers when evaluating expressions.

式の値を求めるとは、式の変数に数を代入することであることを思い出そう。これで、正の数に加えて負の数も使って、式の値を求められる。

Example 3.22例題 3.22

Evaluate

x + 7 when

x + 7 のとき

の値を求めよ。

ⓐ $x = −2$
ⓑ $x = −11 .$

Solution解答

ⓐ Evaluate $x + 7$ when $x = −2$ ⓐ $x = −2$ のとき、 $x + 7$ の値を求める。


Simplify. 簡単にする。

ⓑ Evaluate $x + 7$ when $x = −11$ ⓑ $x = −11$ のとき、 $x + 7$ の値を求める。


Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.23例題 3.23

When

n = −5,

evaluate

n = −5

のとき、

の値を求めよ。

ⓐ $n + 1$
ⓑ $- n + 1 .$

Solution解答

ⓐ Evaluate $n + 1$ when $n = −5$ ⓐ $n = −5$ のとき、 $n + 1$ の値を求める。


Simplify. 簡単にする。

ⓑ Evaluate $- n + 1$ when $n = −5$ ⓑ $n = −5$ のとき、 $- n + 1$ の値を求める。


Simplify. 簡単にする。
Add. 足す。

Try It (2)確認問題（2題）

Next we'll evaluate an expression with two variables.

次は、変数が2つある式の値を求める。

Example 3.24例題 3.24

Evaluate

3 a + b

when

a = 12

and

b = −30 .

a = 12

、

b = −30

のとき、

3 a + b

の値を求めよ。

Solution解答



Multiply. 掛ける。
Add. 足す。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.25例題 3.25

Evaluate

{(x + y)}^{2}

when

x = −18

and

y = 24 .

x = −18

、

y = 24

のとき、

{(x + y)}^{2}

の値を求めよ。

Solution解答

This expression has two variables. Substitute

−18

for

x

and

24

for

y .

この式には変数が2つある。

x

に

−18

、

y

に

24

を代入する。

	${(x + y)}^{2}$
	${(−18 + 24)}^{2}$
Add inside the parentheses. 丸括弧の内側で足す。	${(6)}^{2}$
Simplify 簡単にする。	$36$

Try It (2)確認問題（2題）

Translate Word Phrases to Algebraic Expressions言葉の表現を代数式に直す

All our earlier work translating word phrases to algebra also applies to expressions that include both positive and negative numbers. Remember that the phrase the sum indicates addition.

これまでに学んだ言葉を代数に直す方法は、正の数と負の数の両方を含む式にもすべて当てはまる。the sumという表現は足し算を示すことを思い出そう。

Example 3.26例題 3.26

Translate and simplify: the sum of

−9

and

5 .

式に直して計算せよ：

−9

と

5

の和。

Solution解答

The sum of −9 and 5 indicates addition. −9と5の和は、足し算を示す。	the sum of $−9$ and $5$ $−9$ と $5$ の和
Translate. 数式に直す。	$−9 + 5$
Simplify. 簡単にする。	$−4$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.27例題 3.27

Translate and simplify: the sum of

8

and

−12,

increased by

3 .

式に直して計算せよ：

8

と

−12

の和を

3

だけ増やした数。

Solution解答

The phrase increased by indicates addition.

increased by（〜だけ増やした）という表現は足し算を示す。

	The sum of $8$ and $−12$ , increased by $3$ $8$ と $−12$ の和を $3$ だけ増やした数
Translate. 数式に直す。	$[8 + (−12)] + 3$
Simplify. 簡単にする。	$−4 + 3$
Add. 足す。	$−1$

Try It (2)確認問題（2題）