プリンキピア

第3章整数

Simplify Expressions with Integers整数を含む式を簡単にする

Do you see a pattern? Are you ready to subtract integers without counters? Let’s do two more subtractions. We’ll think about how we would model these with counters, but we won’t actually use the counters.
規則性が見えるだろうか。カウンターなしで整数を引く準備はできただろうか。さらに2つの引き算をしよう。カウンターでどう表すかは考えるが、実際には使わない。
  • Subtract −23−7.
    Think: We start with 23 negative counters.
    We have to subtract 7 positives, but there are no positives to take away.
    So we add 7 neutral pairs to get the 7 positives. Now we take away the 7 positives.
    So what’s left? We have the original 23 negatives plus 7 more negatives from the neutral pair. The result is 30 negatives.
    −23−7を計算する。考え方：負のカウンター23個から始める。正の7個を引く必要があるが、取り除く正のカウンターがない。そこで、打ち消し合う対を7組加え、正の7個を得る。次に、正の7個を取り除く。何が残るか。元の負の23個に、打ち消し合う対から生じた負の7個が加わる。結果は負の30個である。
    −23−7=−30

    Notice, that to subtract 7, we added 7 negatives.
    7を引くために、負の7個を加えたことに注意しよう。
  • Subtract 30−(−12).
    Think: We start with 30 positives.
    We have to subtract 12 negatives, but there are no negatives to take away.
    So we add 12 neutral pairs to the 30 positives. Now we take away the 12 negatives.
    What’s left? We have the original 30 positives plus 12 more positives from the neutral pairs. The result is 42 positives.
    30−(−12)を計算する。考え方：正のカウンター30個から始める。負の12個を引く必要があるが、取り除く負のカウンターがない。そこで、正の30個に、打ち消し合う対を12組加える。次に、負の12個を取り除く。何が残るか。元の正の30個に、打ち消し合う対から生じた正の12個が加わる。結果は正の42個である。
    30−(−12)=42

    Notice that to subtract −12, we added 12.
    −12を引くために、12を足したことに注意しよう。
While we may not always use the counters, especially when we work with large numbers, practicing with them first gave us a concrete way to apply the concept, so that we can visualize and remember how to do the subtraction without the counters.
特に大きな数を扱うときは、いつもカウンターを使うとは限らない。それでも、先にカウンターで練習したことで、概念を具体的に適用する方法が得られた。そのため、カウンターがなくても引き算の方法を思い浮かべ、思い出せる。
Have you noticed that subtraction of signed numbers can be done by adding the opposite? You will often see the idea, the Subtraction Property, written as follows:
符号付きの数の引き算は、反数を足すことでできると気づいただろうか。この考え方を「減法の性質」といい、次のように書かれることが多い。
Look at these two examples.
次の2つの例を見よう。
2列からなる図。第1列には6−4があり、その下に青い円6個が並ぶ。最初の4個と最後の2個は離れ、最初の4個が囲まれている。その下には2とある。第2列には6＋(−4)があり、その下に青い円6個が並ぶ。最初の4個と最後の2個は離れ、最初の4個が囲まれている。最初の4個の下には赤い円4個が並び、その下には2とある。
We see that 6−4 gives the same answer as 6+(−4).
6−4と6+(−4)は同じ答えになることが分かる。
Of course, when we have a subtraction problem that has only positive numbers, like the first example, we just do the subtraction. We already knew how to subtract 6−4 long ago. But knowing that 6−4 gives the same answer as 6+(−4) helps when we are subtracting negative numbers.
もちろん、最初の例のように正の数だけの引き算なら、そのまま引けばよい。6−4の引き方は、すでに以前から知っていた。しかし、6−4と6+(−4)が同じ答えになると知っていると、負の数を引くときに役立つ。
Example 3.36例題 3.36
Simplify:
簡単にせよ。
  1. ⓐ 13−8and13+(−8)
    ⓐ 13−8と13+(−8)
  2. ⓑ −17−9and−17+(−9)
    ⓑ −17−9と−17+(−9)

Solution解答

ⓐ
13−8 and 13+(−8)
13−8と13+(−8)
Subtract to simplify.
引き算をして簡単にする。
13−8=5
Add to simplify.
足し算をして簡単にする。
13+(−8)=5
Subtracting 8 from 13 is the same as adding −8 to 13.
英語のヒント
13から8を引くことは、13に−8を足すことと同じである。
ⓑ
−17−9 and −17+(−9)
−17−9と−17+(−9)
Subtract to simplify.
引き算をして簡単にする。
−17−9=−26
Add to simplify.
足し算をして簡単にする。
−17+(−9)=−26
Subtracting 9 from −17 is the same as adding −9 to −17.
−17から9を引くことは、−17に−9を足すことと同じである。
Try It (2)確認問題（2題）
Now look what happens when we subtract a negative.
次に、負の数を引くとどうなるか見よう。
2列からなる図。第1列には8−(−5)があり、その下に青い円13個が並ぶ。最初の8個と次の5個は離れている。最後の青い円5個の下には赤い円5個が並び、囲まれている。その下には13とある。第2列には8＋5があり、その下に青い円13個が並ぶ。最初の8個と最後の5個は離れ、その下には13とある。
We see that 8−(−5) gives the same result as 8+5. Subtracting a negative number is like adding a positive.
8−(−5)と8+5は同じ結果になることが分かる。負の数を引くことは、正の数を足すことと同じである。
Example 3.37例題 3.37
Simplify:
簡単にせよ。
  1. ⓐ 9−(−15)and9+15
    ⓐ 9−(−15)と9+15
  2. ⓑ −7−(−4)and−7+4
    ⓑ −7−(−4)と−7+4

Solution解答

ⓐ
9−(−15) and 9+15
9−(−15)と9+15
Subtract to simplify.
引き算をして簡単にする。
9−(−15)=24
Add to simplify.
足し算をして簡単にする。
9+15=24
Subtracting −15 from 9 is the same as adding 15 to 9.
9から−15を引くことは、9に15を足すことと同じである。
ⓑ
−7−(−4) and −7+4
−7−(−4)と−7+4
Subtract to simplify.
引き算をして簡単にする。
−7−(−4)=−3
Add to simplify.
足し算をして簡単にする。
−7+4=−3
Subtracting −4 from −7 is the same as adding 4 to −7
−7から−4を引くことは、−7に4を足すことと同じである。
Try It (2)確認問題（2題）
Look again at the results of Example 3.30 - Example 3.33.
例3.30〜例3.33の結果をもう一度見よう。

Subtraction of Integers整数の引き算

5–3
–5–(–3)
2
–2
2 positives
正のカウンター2個
2 negatives
負のカウンター2個
When there would be enough counters of the color to take away, subtract.
取り除く色のカウンターが十分にあれば、引く。
–5–3
5–(–3)
–8
8
5 negatives, want to subtract 3 positives
負の5個から正の3個を引きたい
5 positives, want to subtract 3 negatives
正の5個から負の3個を引きたい
need neutral pairs
打ち消し合う対が必要
need neutral pairs
打ち消し合う対が必要
When there would not be enough of the counters to take away, add neutral pairs.
取り除くカウンターが足りなければ、打ち消し合う対を加える。
Example 3.38例題 3.38
Simplify: −74−(−58).
次の式を簡単にする：−74−(−58)

Solution解答

We are taking 58 negatives away from 74 negatives.
負の74個から、負の58個を取り除く。
−74−(−58)
Subtract.
引く。
−16
Try It (2)確認問題（2題）
Example 3.39例題 3.39
Simplify: 7−(−4−3)−9.
次の式を簡単にする：7−(−4−3)−9
Solution解答

Solution解答

We use the order of operations to simplify this expression, performing operations inside the parentheses first. Then we subtract from left to right.
計算の順序に従って式を簡単にする。まず丸括弧の内側の演算を行い、その後、左から右へ引く。
Simplify inside the parentheses first.
まず丸括弧の内側を簡単にする。
.
Subtract from left to right.
左から右へ引く。
.
Subtract.
引く。
.
.
Try It (2)確認問題（2題）
Example 3.40例題 3.40
Simplify: 3·7−4·7−5·8.
次の式を簡単にする：3·7−4·7−5·8
Solution解答

Solution解答

We use the order of operations to simplify this expression. First we multiply, and then subtract from left to right.
計算の順序に従って式を簡単にする。まず掛け、その後、左から右へ引く。
Multiply first.
まず掛ける。
.
Subtract from left to right.
左から右へ引く。
.
Subtract.
引く。
.
.
Try It (2)確認問題（2題）