第3章整数

Integers整数

The set of counting numbers, their opposites, and

0

is the set of integers.

英語のヒント

数える数とその反数、および

0

を合わせた集合を整数の集合という。

We must be very careful with the signs when evaluating the opposite of a variable.

変数の反数の値を求めるときには、符号に十分注意する必要がある。

Example 3.5例題 3.5

Evaluate

- x :

- x :

の値を求めよ。

ⓐ when $x = 8$
ⓐ $x = 8$ のとき
ⓑ when $x = −8 .$
ⓑ $x = −8$ のとき

Solution解き方

ⓐ To evaluate $- x$ when $x = 8$ , substitute $8$ for $x$ . ⓐ $x = 8$ のときの $- x$ の値を求めるには、 $x$ に $8$ を代入する。
	$- x$

Simplify. 簡単にする。	$−8$

ⓑ To evaluate $- x$ when $x = −8$ , substitute $−8$ for $x$ . ⓑ $x = −8$ のときの $- x$ の値を求めるには、 $x$ に $−8$ を代入する。
	$- x$

Simplify. 簡単にする。	$8$

Try It (2)確認問題（2題）

Simplify Expressions with Absolute Value絶対値を含む式を簡単にする

We saw that numbers such as

5

and

−5

are opposites because they are the same distance from

0

on the number line. They are both five units from

0 .

The distance between

0

and any number on the number line is called the absolute value of that number. Because distance is never negative, the absolute value of any number is never negative.

英語のヒント

5

と

−5

のような数は、数直線上で

0

からの距離が同じなので、互いに反数であると見てきた。どちらも

0

から5目盛り離れている。数直線上で

0

とある数との距離を、その数の絶対値という。距離は決して負にならないため、どの数の絶対値も負にならない。

The symbol for absolute value is two vertical lines on either side of a number. So the absolute value of

5

is written as

| 5 |,

and the absolute value of

−5

is written as

| −5 |

as shown in Figure 3.16.

絶対値の記号は、数の両側に置く2本の縦線である。したがって、図3.16のように、

5

の絶対値は

| 5 |

、

−5

の絶対値は

| −5 |

と書く。

−5と5の点を示した数直線。上には、−5から0までの距離が5単位、0から5までの距離も5単位と書かれている。 — Figure 3.16図 3.16

Example 3.6例題 3.6

Simplify:

簡単にせよ。

ⓐ $| 3 |$
ⓑ $| −44 |$
ⓒ $| 0 |$

Solution解答

ⓐ
	$\| 3 \|$
3 is 3 units from zero. 3は0から3単位離れている。	$3$

ⓑ
	$\| −44 \|$
−44 is 44 units from zero. −44は0から44単位離れている。	$44$

ⓒ
	$\| 0 \|$
0 is already at zero. 0はすでに0の位置にある。	$0$

Try It (2)確認問題（2題）

We treat absolute value bars just like we treat parentheses in the order of operations. We simplify the expression inside first.

計算の順序では、絶対値の縦線を丸括弧と同じように扱う。まず内側の式を簡単にする。

Example 3.7例題 3.7

Evaluate:

値を求める：

ⓐ $| x | when x = −35$
ⓐ $| x | のとき x = −35$
ⓑ $| −y | when y = −20$
ⓑ $| −y | のとき y = −20$
ⓒ $- | u | when u = 12$
ⓒ $- | u | のとき u = 12$
ⓓ $- | p | when p = −14$
ⓓ $- | p | のとき p = −14$

Solution解答

ⓐ To find $\| x \|$ when $x = −35 :$ ⓐ $x = −35 :$ のとき、 $\| x \|$ を求めるには、
	$\| x \|$

Take the absolute value. 絶対値を取る。	$35$

ⓑ To find $\| - y \|$ when $y = −20 :$ ⓑ $y = −20 :$ のとき、 $\| - y \|$ を求めるには、
	$\| - y \|$

Simplify. 簡単にする。	$\| 20 \|$
Take the absolute value. 絶対値を取る。	$20$

ⓒ To find $- \| u \|$ when $u = 12 :$ ⓒ $u = 12 :$ のとき、 $- \| u \|$ を求めるには、
	$- \| u \|$

Take the absolute value. 絶対値を取る。	$−12$

ⓓ To find $- \| p \|$ when $p = −14 :$ ⓓ $p = −14 :$ のとき、 $- \| p \|$ を求めるには、
	$- \| p \|$

Take the absolute value. 絶対値を取る。	$−14$

Notice that the result is negative only when there is a negative sign outside the absolute value symbol.

英語のヒント

結果が負になるのは、絶対値記号の外に負号があるときだけであることに注意しよう。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.8例題 3.8

Fill in

<, >, or =

for each of the following:

次のそれぞれに

<, >, または =

を入れよ。

ⓐ $| −5 |___- | −5 |$
ⓑ $8___- | −8 |$
ⓓ $- | −7 |___−7$

Solution解答

To compare two expressions, simplify each one first. Then compare.

2つの式を比較するには、まずそれぞれを簡単にしてから比較する。

ⓐ
	$\| −5 \|___- \| −5 \|$
Simplify. 簡単にする。	$5___−5$
Order. 大小を比べる。	$5 > −5$

ⓑ
	$8___- \| −8 \|$
Simplify. 簡単にする。	$8___- 8$
Order. 大小を比べる。	$8 > - 8$

ⓒ
	$−9___- \| −9 \|$
Simplify. 簡単にする。	$−9___- 9$
Order. 大小を比べる。	$−9 = −9$

ⓓ
	$- \| −7 \|___−7$
Simplify. 簡単にする。	$−7___- 7$
Order. 大小を比べる。	$−7 = - 7$

Try It (2)確認問題（2題）

Absolute value bars act like grouping symbols. First simplify inside the absolute value bars as much as possible. Then take the absolute value of the resulting number, and continue with any operations outside the absolute value symbols.

絶対値の縦線は括弧のように働く。まず、内側をできるだけ簡単にする。その後、得られた数の絶対値を取り、絶対値記号の外の演算を続ける。

Example 3.9例題 3.9

Simplify:

簡単にせよ。

ⓐ $| 9 −3 |$
ⓑ $4 | −2 |$

Solution解答

For each expression, follow the order of operations. Begin inside the absolute value symbols just as with parentheses.

各式について、計算の順序に従う。丸括弧と同様に、絶対値記号の内側から始める。

ⓐ
	\|9−3\|
Simplify inside the absolute value sign. 絶対値記号の内側を簡単にする。	\|6\|
Take the absolute value. 絶対値を取る。	6

ⓑ
	4\|−2\|
Take the absolute value. 絶対値を取る。	4⋅2
Multiply. 掛ける。	8

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.10例題 3.10

Simplify:

| 8 + 7 | - | 5 + 6 | .

次の式を簡単にする：

| 8 + 7 | - | 5 + 6 |

Solution解答

For each expression, follow the order of operations. Begin inside the absolute value symbols just as with parentheses.

各式について、計算の順序に従う。丸括弧と同様に、絶対値記号の内側から始める。

	\|8+7\|−\|5+6\|
Simplify inside each absolute value sign. 各絶対値記号の内側を簡単にする。	\|15\|−\|11\|
Subtract. 引く。	4

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.11例題 3.11

Simplify:

24 - | 19 - 3 (6 - 2) | .

次の式を簡単にする：

24 - | 19 - 3 (6 - 2) |

Solution解答

We use the order of operations. Remember to simplify grouping symbols first, so parentheses inside absolute value symbols would be first.

計算の順序を使う。括弧を先に簡単にすることを思い出そう。したがって、絶対値記号の内側にある丸括弧が最初になる。

	$24 - \| 19 - 3 (6 - 2) \|$
Simplify in the parentheses first. まず丸括弧の内側を簡単にする。	$24 - \| 19 - 3 (4) \|$
Multiply $3 (4)$ . $3 (4)$ を掛ける。	$24 - \| 19 - 12 \|$
Subtract inside the absolute value sign. 絶対値記号の内側で引く。	$24 - \| 7 \|$
Take the absolute value. 絶対値を取る。	$24 - 7$
Subtract. 引く。	$17$

Try It (2)確認問題（2題）