第3章整数

3.4 Multiply and Divide Integers3.4　整数を掛ける・割る

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

この節を終えると、次のことができるようになる。

Multiply integers
整数を掛ける
Divide integers
整数を割る
Simplify expressions with integers
整数を含む式を簡単にする
Evaluate variable expressions with integers
整数を使って変数を含む式の値を求める
Translate word phrases to algebraic expressions
言葉の表現を代数式に直す

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Multiply Integers整数を掛ける

Since multiplication is mathematical shorthand for repeated addition, our counter model can easily be applied to show multiplication of integers. Let’s look at this concrete model to see what patterns we notice. We will use the same examples that we used for addition and subtraction.

英語のヒント

掛け算は足し算の繰り返しを短く書く方法なので、カウンターのモデルは整数の掛け算にも簡単に使える。この具体的なモデルで、どのような規則性に気づくか見ていこう。足し算と引き算で使ったものと同じ例を使う。

We remember that

a \cdot b

means add

a, b

times. Here, we are using the model shown in Figure 3.19 just to help us discover the pattern.

a \cdot b

は、

a, b

回足すことを意味すると思い出そう。ここでは、規則性を見つけるために、図3.19のモデルを使っている。

2列からなる図。第1列は5×3、その下に「5を3回足す」とある。さらに下には青い円5個が3列あり、「正が15個」「5×3＝15」とある。第2列は−5×3、その下に「−5を3回足す」とある。さらに下には赤い円5個が3列あり、「負が15個」「−5×3＝15」とある。 — Figure 3.19図 3.19

Now consider what it means to multiply

5

−3 .

It means subtract

5, 3

times. Looking at subtraction as taking away, it means to take away

5, 3

times. But there is nothing to take away, so we start by adding neutral pairs as shown in Figure 3.20.

次に、

5

に

−3

を掛ける意味を考えよう。それは、

5, 3

回引くことを意味する。引き算を取り除くことと考えると、

5, 3

回取り除くという意味になる。しかし、取り除くものがないため、図3.20のように、まず打ち消し合う対を加える。

2列からなる図。第1列は5×(−3)、その下に「5を3回取り除く」とある。その下には赤い円5個が3列ある。下向きの矢印が、色を交互にした5個ずつの円の6列を指す。順に赤5個、青5個、赤5個、青5個、赤5個、青5個である。青い列はすべて囲まれ、囲まれていない列には「負が15個」とある。その下は5×(−3)＝−15。第2列は−5×(−3)、その下に「−5を3回取り除く」とある。その下には青5個の列、赤5個の列という順に、交互の色で6列ある。赤い列はすべて囲まれ、囲まれていない列には「正が15個」とある。その下は−5×(−3)＝15である。 — Figure 3.20図 3.20

In both cases, we started with

15

neutral pairs. In the case on the left, we took away

5, 3

times and the result was

- 15 .

To multiply

(−5) (−3),

we took away

- 5, 3

times and the result was

15 .

So we found that

どちらも、打ち消し合う対

15

組から始めた。左の場合は

5, 3

回取り除き、結果は

- 15

だった。

(−5) (−3)

を計算するには

- 5, 3

回取り除き、結果は

15

だった。したがって、次が分かった。

\begin{matrix} 5 \cdot 3 = 15 & −5 (3) = −15 \\ 5 (−3) = −15 & (−5) (−3) = 15 \end{matrix}

Notice that for multiplication of two signed numbers, when the signs are the same, the product is positive, and when the signs are different, the product is negative.

2つの符号付きの数の掛け算では、符号が同じなら積は正、異なれば積は負になることに注意しよう。

Multiplication of Signed Numbers符号付きの数の掛け算

The sign of the product of two numbers depends on their signs.

2つの数の積の符号は、その2つの数の符号によって決まる。

Same signs 同じ符号	Product 積
•Two positives •Two negatives ・正の数2つ　・負の数2つ	Positive Positive 正　正

Different signs 異なる符号	Product 積
•Positive • negative •Negative • positive ・正×負　・負×正	Negative Negative 負　負

Example 3.47例題 3.47

Multiply each of the following:

次の各掛け算をせよ。

ⓐ $−9 \cdot 3$
ⓑ $−2 (−5)$
ⓒ $4 (−8)$
ⓓ $7 \cdot 6$

Solution解答

ⓐ
	$–9 \cdot 3$
Multiply, noting that the signs are different and so the product is negative. 符号が異なるため積は負になることに注意して、掛ける。	$–27$

ⓑ
	$–2 (–5)$
Multiply, noting that the signs are the same and so the product is positive. 符号が同じため積は正になることに注意して、掛ける。	$10$

ⓒ
	$4 (–8)$
Multiply, noting that the signs are different and so the product is negative. 符号が異なるため積は負になることに注意して、掛ける。	$–32$

ⓓ
	$7 \cdot 6$
The signs are the same, so the product is positive. 符号が同じなので、積は正になる。	$42$

Try It (2)確認問題（2題）

When we multiply a number by

1,

the result is the same number. What happens when we multiply a number by

−1 ?

Let’s multiply a positive number and then a negative number by

−1

to see what we get.

ある数に

1

を掛けると、結果は同じ数になる。

−1

を掛けるとどうなるだろうか。正の数と負の数にそれぞれ

−1

を掛け、結果を見よう。

\begin{matrix} −1 \cdot 4 & −1 (−3) \\ −4 & 3 \\ −4 is the opposite of 4 & 3 is the opposite of −3 \end{matrix}

\begin{matrix} −1 \cdot 4 & −1 (−3) \\ −4 & 3 \\ −4 は次の数の反数： 4 & 3 は次の数の反数： −3 \end{matrix}

Each time we multiply a number by

−1,

we get its opposite.

ある数に

−1

を掛けると、毎回その反数が得られる。

Example 3.48例題 3.48

Multiply each of the following:

次の各掛け算をせよ。

ⓐ $−1 \cdot 7$
ⓑ $−1 (−11)$

Solution解答

ⓐ
The signs are different, so the product will be negative. 符号が異なるので、積は負になる。	$−1 \cdot 7$
Notice that −7 is the opposite of 7. −7は7の反数であることに注意しよう。	$−7$

ⓑ
The signs are the same, so the product will be positive. 符号が同じなので、積は正になる。	$−1 (−11)$
Notice that 11 is the opposite of −11. 11は−11の反数であることに注意しよう。	$11$

Try It (2)確認問題（2題）

Divide Integers整数を割る

Division is the inverse operation of multiplication. So,

15 \div 3 = 5

because

5 \cdot 3 = 15

In words, this expression says that

15

can be divided into

3

groups of

5

each because adding five three times gives

15 .

If we look at some examples of multiplying integers, we might figure out the rules for dividing integers.

割り算は掛け算の逆演算である。したがって、

5 \cdot 3 = 15

なので、

15 \div 3 = 5

である。言葉でいえば、5を3回足すと

15

になるため、

15

を

5

個ずつの

3

グループに分けられるという意味である。整数の掛け算の例をいくつか見ると、整数の割り算の規則を見つけられそうである。

\begin{matrix} 5 \cdot 3 = 15 so 15 \div 3 = 5 & −5 (3) = −15 so −15 \div 3 = −5 \\ (−5) (−3) = 15 so 15 \div (−3) = −5 & 5 (−3) = −15 so −15 \div −3 = 5 \end{matrix}

\begin{matrix} 5 \cdot 3 = 15 したがって 15 \div 3 = 5 & −5 (3) = −15 したがって −15 \div 3 = −5 \\ (−5) (−3) = 15 したがって 15 \div (−3) = −5 & 5 (−3) = −15 したがって −15 \div −3 = 5 \end{matrix}

Division of signed numbers follows the same rules as multiplication. When the signs are the same, the quotient is positive, and when the signs are different, the quotient is negative.

符号付きの数の割り算は、掛け算と同じ規則に従う。符号が同じなら商は正、異なれば商は負になる。

Division of Signed Numbers符号付きの数の割り算

The sign of the quotient of two numbers depends on their signs.

英語のヒント

2つの数の商の符号は、その2つの数の符号によって決まる。

Same signs 同じ符号	Quotient 商
•Two positives •Two negatives ・正の数2つ　・負の数2つ	Positive Positive 正　正

Different signs 異なる符号	Quotient 商
•Positive & negative •Negative & positive ・正と負　・負と正	Negative Negative 負　負

Remember, you can always check the answer to a division problem by multiplying.

割り算の答えは、いつでも掛け算で検算できることを思い出そう。

Example 3.49例題 3.49

Divide each of the following:

次の各割り算をせよ。

ⓐ $−27 \div 3$
ⓑ $−100 \div (−4)$

Solution解答

ⓐ
	$–27 \div 3$
Divide, noting that the signs are different and so the quotient is negative. 符号が異なるため商は負になることに注意して、割る。	$–9$

ⓑ
	$–100 \div (–4)$
Divide, noting that the signs are the same and so the quotient is positive. 符号が同じため商は正になることに注意して、割る。	$25$

Try It (2)確認問題（2題）

Just as we saw with multiplication, when we divide a number by

1,

the result is the same number. What happens when we divide a number by

−1 ?

Let’s divide a positive number and then a negative number by

−1

to see what we get.

掛け算で見たのと同様に、ある数を

1

で割ると同じ数になる。

−1

で割るとどうなるだろうか。正の数と負の数をそれぞれ

−1

で割り、結果を見よう。

\begin{matrix} 8 \div (−1) & −9 \div (−1) \\ −8 & 9 \\ −8 is the opposite of 8 & 9 is the opposite of −9 \end{matrix}

\begin{matrix} 8 \div (−1) & −9 \div (−1) \\ −8 & 9 \\ −8は8の反数である & 9は−9の反数である \end{matrix}

When we divide a number by,

−1

we get its opposite.

ある数を

−1

で割ると、その反数が得られる。

Example 3.50例題 3.50

Divide each of the following:

次の各割り算をせよ。

ⓐ $16 \div (−1)$
ⓑ $−20 \div (−1)$

Solution解答

ⓐ
	$16 \div (–1)$
The dividend, 16, is being divided by –1. 被除数16を−1で割っている。	$–16$
Dividing a number by –1 gives its opposite. ある数を−1で割ると、その反数になる。
Notice that the signs were different, so the result was negative. 符号が異なっていたため、結果は負になったことに注意しよう。

ⓑ
	$–20 \div (–1)$
The dividend, –20, is being divided by –1. 被除数−20を−1で割っている。	$20$
Dividing a number by –1 gives its opposite. ある数を−1で割ると、その反数になる。

Notice that the signs were the same, so the quotient was positive.

符号が同じだったため、商は正になったことに注意しよう。

Try It (2)確認問題（2題）

第3章整数

3.4 Multiply and Divide Integers3.4 整数を掛ける・割る

Learning Objectives学習目標

Multiply Integers整数を掛ける

Solution解答

Solution解答

Divide Integers整数を割る

Solution解答

Solution解答

3.4 Multiply and Divide Integers3.4　整数を掛ける・割る