第3章整数

Solve Equations Using the Division Property of Equality等式の除法の性質を使って方程式を解く

The previous examples lead to the Division Property of Equality. When you divide both sides of an equation by any nonzero number, you still have equality.

英語のヒント

前の例から、等式の除法の性質が得られる。方程式の両辺を0以外の同じ数で割っても、等しさは保たれる。

Example 3.64例題 3.64

Solve: 7 x = −49 .

解け： 7 x = −49

Solution解答

To isolate

x,

we need to undo multiplication.

x

だけを残すには、掛け算を元に戻す必要がある。


Divide each side by 7. 両辺を7で割る。
Simplify. 簡単にする。

Check the solution.

解を確かめる。

	$7 x = −49$
Substitute −7 for x. xに−7を代入する。	$7 (−7) \overset{?}{=} −49$
	$−49 = −49 ✓$

Therefore,

−7

is the solution to the equation.

したがって、

−7

がこの方程式の解である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.65例題 3.65

Solve:

−3 y = 63 .

次の方程式を解く：

−3 y = 63

Solution解答

To isolate

y,

we need to undo the multiplication.

y

だけを残すには、掛け算を元に戻す必要がある。


Divide each side by −3. 両辺を−3で割る。
Simplify 簡単にする。

Check the solution.

解を確かめる。

	$−3 y = 63$
Substitute −21 for y. yに−21を代入する。	$−3 (−21) \overset{?}{=} 63$
	$63 = 63 ✓$

Since this is a true statement,

y = −21

is the solution to the equation.

これは正しい文なので、

y = −21

がこの方程式の解である。

Try It (2)確認問題（2題）

Translate to an Equation and Solve方程式に直して解く

In the past several examples, we were given an equation containing a variable. In the next few examples, we’ll have to first translate word sentences into equations with variables and then we will solve the equations.

これまでのいくつかの例では、変数を含む方程式が与えられていた。次の例では、まず言葉の文を変数を含む方程式に直し、その後で解く。

Example 3.66例題 3.66

Translate and solve: five more than

x

is equal to

−3 .

方程式に直して解け：

x

より5大きい数は

−3

に等しい。

Solution解答

	five more than $x$ is equal to $−3$ $x$ より5大きい数は $−3$ に等しい
Translate 式に直す。	$x + 5 = −3$
Subtract $5$ from both sides. 両辺から $5$ を引く。	$x + 5 - 5 = −3 - 5$
Simplify. 簡単にする。	$x = −8$

Check the answer by substituting it into the original equation.

元の方程式に答えを代入して確かめる。

\begin{array}{l} x + 5 = −3 \\ −8 + 5 \overset{?}{=} −3 \\ −3 = −3 ✓ \end{array}

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.67例題 3.67

Translate and solve: the difference of

n

and

6

−10 .

方程式に直して解け：

n

と

6

の差は

−10

である。

Solution解答

	the difference of $n$ and $6$ is $−10$ $n$ と $6$ の差は $−10$ である
Translate. 数式に直す。	$n - 6 = −10$
Add $6$ to each side. 両辺に $6$ を足す。	$n - 6 + 6 = −10 + 6$
Simplify. 簡単にする。	$n = −4$

Check the answer by substituting it into the original equation.

元の方程式に答えを代入して確かめる。

\begin{matrix} n - 6 = −10 \\ −4 - 6 \overset{?}{=} −10 \\ −10 = −10 ✓ \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

Example 3.68例題 3.68

Translate and solve: the number

108

is the product of

−9

and

y .

方程式に直して解け：数

108

は、

−9

と

y

の積である。

Solution解答

	the number of $108$ is the product of $−9$ and $y$ 数 $108$ は、 $−9$ と $y$ の積である
Translate. 数式に直す。	$108 = −9 y$
Divide by $−9$ . $−9$ で割る。	$\frac{108}{−9} = \frac{−9 y}{−9}$
Simplify. 簡単にする。	$−12 = y$

Check the answer by substituting it into the original equation.

元の方程式に答えを代入して確かめる。

\begin{matrix} 108 = −9 y \\ 108 \overset{?}{=} −9 (−12) \\ 108 = 108 ✓ \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

How to determine whether a number is a solution to an equation.
ある数が方程式の解かどうかを判定する方法。
- Step 1. Substitute the number for the variable in the equation.
  手順1. 方程式の変数にその数を代入する。
- Step 2. Simplify the expressions on both sides of the equation.
  手順2. 方程式の両辺の式を簡単にする。
- Step 3. Determine whether the resulting equation is true.
  手順3. 得られた等式が正しいかどうかを判定する。
  - If it is true, the number is a solution.
    正しければ、その数は解である。
  - If it is not true, the number is not a solution.
    正しくなければ、その数は解ではない。

Properties of Equalities

等式の性質

Subtraction Property of Equality 等式の減法の性質	Addition Property of Equality 等式の加法の性質
$For any numbers a, b, c,$ $if a = b then a - c = b - c .$ $任意の数 a, b, c$ $もし a = b ならば a - c = b - c$	$For any numbers a, b, c,$ $if a = b then a + c = b + c .$ $任意の数 a, b, c$ $もし a = b ならば a + c = b + c$

Division Property of Equality
等式の除法の性質
- For any numbers $a, b, c,$ and $c \neq 0$
  If $a = b$ , then $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ .
  任意の数 $a, b, c$ について、 $c \neq 0$ とする。 $a = b$ ならば $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ である。

Section Exercises節の練習問題

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 285–288練習問題 285–288

Determine Whether a Number is a Solution of an Equation

ある数が方程式の解かどうかを判定する

In the following exercises, determine whether each number is a solution of the given equation.

次の各問で、各数が与えられた方程式の解かどうかを判定せよ。

Exercise 285問題 285

4 x - 2 = 6

ⓐ $x = −2$
ⓑ $x = −1$
ⓒ $x = 2$

Solution解き方

ⓐ no
ⓐ いいえ
ⓑ no
ⓑ いいえ
ⓒ yes
ⓒ はい

Exercise 286問題 286

4 y - 10 = −14

ⓐ $y = −6$
ⓑ $y = −1$
ⓒ $y = 1$

Exercise 287問題 287

9 a + 27 = −63

ⓐ $a = 6$
ⓑ $a = −6$
ⓒ $a = −10$

Solution解き方

ⓐ no
ⓐ いいえ
ⓑ no
ⓑ いいえ
ⓒ yes
ⓒ はい

Exercise 288問題 288

7 c + 42 = −56

ⓐ $c = 2$
ⓑ $c = −2$
ⓒ $c = −14$

Exercises 289–300練習問題 289–300

Solve Equations Using the Addition and Subtraction Properties of Equality

等式の加法と減法の性質を使って方程式を解く

In the following exercises, solve for the unknown.

次の各問で、未知数を求めよ。

Exercise 289問題 289

n + 12 = 5

Solution解き方

n = −7

Exercise 290問題 290

m + 16 = 2

Exercise 291問題 291

p + 9 = −8

Solution解き方

p = −17

Exercise 292問題 292

q + 5 = −6

Exercise 293問題 293

u - 3 = −7

Solution解き方

u = −4

Exercise 294問題 294

v - 7 = −8

Exercise 295問題 295

h - 10 = −4

Solution解き方

h = 6

Exercise 296問題 296

k - 9 = −5

Exercise 297問題 297

x + (−2) = −18

Solution解き方

x = −16

Exercise 298問題 298

y + (−3) = −10

Exercise 299問題 299

r - (−5) = −9

Solution解き方

r = −14

Exercise 300問題 300

s - (−2) = −11

Exercises 301–304練習問題 301–304

Model the Division Property of Equality

等式の除法の性質をモデルで表す

In the following exercises, write the equation modeled by the envelopes and counters and then solve it.

次の各問で、封筒とカウンターをモデルとする方程式を書いて解け。

Exercise 301問題 301

Solution解き方

3x = 6; x = 2

Exercise 302問題 302

Exercise 303問題 303

Solution解き方

2x = 8; x = 4

Exercise 304問題 304

Exercises 305–316練習問題 305–316

Solve Equations Using the Division Property of Equality

等式の除法の性質を使って方程式を解く

In the following exercises, solve each equation using the division property of equality and check the solution.

次の各問で、等式の除法の性質を使って方程式を解き、解を確かめよ。

Exercise 305問題 305

5 x = 45

Solution解き方

x = 9

Exercise 306問題 306

4 p = 64

Exercise 307問題 307

−7 c = 56

Solution解き方

c = −8

Exercise 308問題 308

−9 x = 54

Exercise 309問題 309

−14 p = −42

Solution解き方

p = 3

Exercise 310問題 310

−8 m = −40

Exercise 311問題 311

−120 = 10 q

Solution解き方

q = −12

Exercise 312問題 312

−75 = 15 y

Exercise 313問題 313

24 x = 480

Solution解き方

x = 20

Exercise 314問題 314

18 n = 540

Exercise 315問題 315

−3 z = 0

Solution解き方

z = 0

Exercise 316問題 316

4 u = 0

Exercises 317–330練習問題 317–330

Translate to an Equation and Solve

方程式に直して解く

In the following exercises, translate and solve.

次の各問で、方程式に直して解け。

Exercise 317問題 317

Four more than

n

is equal to 1.

n

より4大きい数は1に等しい。

Solution解き方

n + 4 = 1; n = −3

Exercise 318問題 318

Nine more than

m

is equal to 5.

m

より9大きい数は5に等しい。

Exercise 319問題 319

The sum of eight and

p

−3

8と

p

の和は

−3

である。

Solution解き方

8 + p = −3; p = −11

Exercise 320問題 320

The sum of two and

q

−7

2と

q

の和は

−7

である。

Exercise 321問題 321

The difference of

a

and three is

−14

a

と3の差は

−14

である。

Solution解き方

a − 3 = −14; a = −11

Exercise 322問題 322

The difference of

b

and

5

−2

b

と

5

の差は

−2

である。

Exercise 323問題 323

The number −42 is the product of −7 and

x

数−42は、−7と

x

の積である。

Solution解き方

−42 = −7x; x = 6

Exercise 324問題 324

The number −54 is the product of −9 and

y

数−54は、−9と

y

の積である。

Exercise 325問題 325

The product of -15 and

f

is 75.

−15と

f

の積は75である。

Solution解き方

−15f = 75; f = −5

Exercise 326問題 326

The product of −18 and

g

is 36.

−18と

g

の積は36である。

Exercise 327問題 327

−6 plus

c

is equal to 4.

−6足す

c

は4に等しい。

Solution解き方

−6 + c = 4; c = 10

Exercise 328問題 328

−2 plus

d

is equal to 1.

−2足す

d

は1に等しい。

Exercise 329問題 329

Nine less than

m

is −4.

m

より9小さい数は−4である。

Solution解き方

m − 9 = −4; m = 5

Exercise 330問題 330

Thirteen less than

n

−10

n

より13小さい数は

−10

である。

Exercises 331–346練習問題 331–346

Mixed Practice

総合練習

In the following exercises, solve.

次の練習問題では、方程式を解く。

Exercise 331問題 331

ⓐ $x + 2 = 10$
ⓑ $2 x = 10$

Solution解き方

ⓐ x = 8
ⓑ x = 5

Exercise 332問題 332

ⓐ $y + 6 = 12$
ⓑ $6 y = 12$

Exercise 333問題 333

ⓐ $−3 p = 27$
ⓑ $p - 3 = 27$

Solution解き方

ⓐ p = −9
ⓑ p = 30

Exercise 334問題 334

ⓐ $−2 q = 34$
ⓑ $q - 2 = 34$

Exercise 335問題 335

a - 4 = 16

Solution解き方

a = 20

Exercise 336問題 336

b - 1 = 11

Exercise 337問題 337

−8 m = −56

Solution解き方

m = 7

Exercise 338問題 338

−6 n = −48

Exercise 339問題 339

−39 = u + 13

Solution解き方

u = −52

Exercise 340問題 340

−100 = v + 25

Exercise 341問題 341

11 r = −99

Solution解き方

r = −9

Exercise 342問題 342

15 s = −300

Exercise 343問題 343

100 = 20 d

Solution解き方

d = 5

Exercise 344問題 344

250 = 25 n

Exercise 345問題 345

−49 = x - 7

Solution解き方

x = −42

Exercise 346問題 346

64 = y - 4