第4章分数

Key Concepts重要な概念

Find the least common denominator (LCD) of two fractions.
2つの分数の最小公分母（LCD）を求める。
1. Factor each denominator into its primes.
  それぞれの分母を素因数分解する。
2. List the primes, matching primes in columns when possible.
  素因数を書き並べ、できるだけ同じ素数を同じ列にそろえる。
3. Bring down the columns.
  各列の数を下に書き下ろす。
4. Multiply the factors. The product is the LCM of the denominators.
  因数をかけ合わせる。その積が分母どうしの最小公倍数である。
5. The LCM of the denominators is the LCD of the fractions.
  分母どうしの最小公倍数が、分数の最小公分母である。
Equivalent Fractions Property
大きさの等しい分数の性質
- If $a, b$ , and $c$ are whole numbers where $b \neq 0$ , $c \neq 0$ then
  $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$ and $\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}$
  $a, b$ と $c$ が $b \neq 0$ 、 $c \neq 0$ を満たす非負整数ならば、 $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$ かつ $\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}$ である。
Convert two fractions to equivalent fractions with their LCD as the common denominator.
2つの分数を、最小公分母を共通の分母とする大きさの等しい分数に直す。
1. Find the LCD.
  最小公分母を求める。
2. For each fraction, determine the number needed to multiply the denominator to get the LCD.
  各分数について、分母に何をかければ最小公分母になるかを求める。
3. Use the Equivalent Fractions Property to multiply the numerator and denominator by the number from Step 2.
  大きさの等しい分数の性質を使い、手順2で求めた数を分子と分母にかける。
4. Simplify the numerator and denominator.
  分子と分母を簡単にする。
Add or subtract fractions with different denominators.
分母が異なる分数のたし算やひき算をする。
1. Find the LCD.
  最小公分母を求める。
2. Convert each fraction to an equivalent form with the LCD as the denominator.
  各分数を、最小公分母を分母とする大きさの等しい形に直す。
3. Add or subtract the fractions.
  分数をたす、または引く。
4. Write the result in simplified form.
  結果を約分した形で書く。
Summary of Fraction Operations
分数の演算のまとめ
- Fraction multiplication: Multiply the numerators and multiply the denominators.
  分数のかけ算：分子どうしをかけ、分母どうしをかける。
  
  $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$
  (4.2)
- Fraction division: Multiply the first fraction by the reciprocal of the second.
  分数のわり算：最初の分数に、2番目の分数の逆数をかける。
  
  $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$
  (4.3)
- Fraction addition: Add the numerators and place the sum over the common denominator. If the fractions have different denominators, first convert them to equivalent forms with the LCD.
  分数のたし算：分子どうしをたし、その和を共通の分母の上に書く。分母が異なる場合は、先に最小公分母を使って大きさの等しい形に直す。
  
  $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$
  (4.4)
- Fraction subtraction: Subtract the numerators and place the difference over the common denominator. If the fractions have different denominators, first convert them to equivalent forms with the LCD.
  分数のひき算：分子どうしを引き、その差を共通の分母の上に書く。分母が異なる場合は、先に最小公分母を使って大きさの等しい形に直す。
  
  $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$
  (4.5)
Simplify complex fractions.
繁分数を簡単にする。
1. Simplify the numerator.
  分子を簡単にする。
2. Simplify the denominator.
  分母を簡単にする。
3. Divide the numerator by the denominator.
  分子を分母で割る。
4. Simplify if possible.
  できる場合は簡単にする。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 316–325練習問題 316–325

Find the Least Common Denominator (LCD)

最小公分母（LCD）を求める

In the following exercises, find the least common denominator (LCD) for each set of fractions.

次の練習問題では、各組の分数の最小公分母（LCD）を求めよ。

Exercise 316問題 316

\frac{2}{3}

and

\frac{3}{4}

\frac{2}{3}

と

\frac{3}{4}

Exercise 317問題 317

\frac{3}{4}

and

\frac{2}{5}

\frac{3}{4}

と

\frac{2}{5}

Solution解き方

Exercise 318問題 318

\frac{7}{12}

and

\frac{5}{8}

\frac{7}{12}

と

\frac{5}{8}

Exercise 319問題 319

\frac{9}{16}

and

\frac{7}{12}

\frac{9}{16}

と

\frac{7}{12}

Solution解き方

Exercise 320問題 320

\frac{13}{30}

and

\frac{25}{42}

\frac{13}{30}

と

\frac{25}{42}

Exercise 321問題 321

\frac{23}{30}

and

\frac{5}{48}

\frac{23}{30}

と

\frac{5}{48}

Solution解き方

240

Exercise 322問題 322

\frac{21}{35}

and

\frac{39}{56}

\frac{21}{35}

と

\frac{39}{56}

Exercise 323問題 323

\frac{18}{35}

and

\frac{33}{49}

\frac{18}{35}

と

\frac{33}{49}

Solution解き方

245

Exercise 324問題 324

\frac{2}{3}, \frac{1}{6},

and

\frac{3}{4}

\frac{2}{3}, \frac{1}{6}

と

\frac{3}{4}

Exercise 325問題 325

\frac{2}{3}, \frac{1}{4},

and

\frac{3}{5}

\frac{2}{3}, \frac{1}{4}

と

\frac{3}{5}

Solution解き方

Exercises 326–333練習問題 326–333

Convert Fractions to Equivalent Fractions with the LCD

最小公分母を使って大きさの等しい分数に直す

In the following exercises, convert to equivalent fractions using the LCD.

次の練習問題では、最小公分母を使って大きさの等しい分数に直せ。

Exercise 326問題 326

\frac{1}{3}

and

\frac{1}{4},

LCD

= 12

\frac{1}{3}

と

\frac{1}{4}

　最小公分母

= 12

Exercise 327問題 327

\frac{1}{4}

and

\frac{1}{5},

LCD

= 20

\frac{1}{4}

と

\frac{1}{5}

　最小公分母

= 20

Solution解き方

\frac{5}{20}, \frac{4}{20}

Exercise 328問題 328

\frac{5}{12}

and

\frac{7}{8},

LCD

= 24

\frac{5}{12}

と

\frac{7}{8}

　最小公分母

= 24

Exercise 329問題 329

\frac{7}{12}

and

\frac{5}{8},

LCD

= 24

\frac{7}{12}

と

\frac{5}{8}

　最小公分母

= 24

Solution解き方

\frac{14}{24}, \frac{15}{24}

Exercise 330問題 330

\frac{13}{16}

and

- \frac{11}{12},

LCD

= 48

\frac{13}{16}

と

- \frac{11}{12}

　最小公分母

= 48

Exercise 331問題 331

\frac{11}{16}

and

- \frac{5}{12},

LCD

= 48

\frac{11}{16}

と

- \frac{5}{12}

　最小公分母

= 48

Solution解き方

\frac{33}{48}, - \frac{20}{48}

Exercise 332問題 332

\frac{1}{3}, \frac{5}{6},

and

\frac{3}{4},

LCD

= 12

\frac{1}{3}, \frac{5}{6}

と

\frac{3}{4}

　最小公分母

= 12

Exercise 333問題 333

\frac{1}{3}, \frac{3}{4},

and

\frac{3}{5},

LCD

= 60

\frac{1}{3}, \frac{3}{4}

と

\frac{3}{5}

　最小公分母

= 60

Solution解き方

\frac{20}{60}, \frac{45}{60}, \frac{36}{60}

Exercises 334–369練習問題 334–369

Add and Subtract Fractions with Different Denominators

分母の異なる分数のたし算とひき算

In the following exercises, add or subtract. Write the result in simplified form.

次の練習問題では、たし算またはひき算をせよ。結果を約分した形で表せ。

Exercise 334問題 334

\frac{1}{3} + \frac{1}{5}

Exercise 335問題 335

\frac{1}{4} + \frac{1}{5}

Solution解き方

\frac{9}{20}

Exercise 336問題 336

\frac{1}{2} + \frac{1}{7}

Exercise 337問題 337

\frac{1}{3} + \frac{1}{8}

Solution解き方

\frac{11}{24}

Exercise 338問題 338

\frac{1}{3} - (- \frac{1}{9})

Exercise 339問題 339

\frac{1}{4} - (- \frac{1}{8})

Solution解き方

\frac{3}{8}

Exercise 340問題 340

\frac{1}{5} - (- \frac{1}{10})

Exercise 341問題 341

\frac{1}{2} - (- \frac{1}{6})

Solution解き方

\frac{2}{3}

Exercise 342問題 342

\frac{2}{3} + \frac{3}{4}

Exercise 343問題 343

\frac{3}{4} + \frac{2}{5}

Solution解き方

\frac{23}{20}

Exercise 344問題 344

\frac{7}{12} + \frac{5}{8}

Exercise 345問題 345

\frac{5}{12} + \frac{3}{8}

Solution解き方

\frac{19}{24}

Exercise 346問題 346

\frac{7}{12} - \frac{9}{16}

Exercise 347問題 347

\frac{7}{16} - \frac{5}{12}

Solution解き方

\frac{1}{48}

Exercise 348問題 348

\frac{11}{12} - \frac{3}{8}

Exercise 349問題 349

\frac{5}{8} - \frac{7}{12}

Solution解き方

\frac{1}{24}

Exercise 350問題 350

\frac{2}{3} - \frac{3}{8}

Exercise 351問題 351

\frac{5}{6} - \frac{3}{4}

Solution解き方

\frac{1}{12}

Exercise 352問題 352

- \frac{11}{30} + \frac{27}{40}

Exercise 353問題 353

- \frac{9}{20} + \frac{17}{30}

Solution解き方

\frac{7}{60}

Exercise 354問題 354

- \frac{13}{30} + \frac{25}{42}

Exercise 355問題 355

- \frac{23}{30} + \frac{5}{48}

Solution解き方

- \frac{53}{80}

Exercise 356問題 356

- \frac{39}{56} - \frac{22}{35}

Exercise 357問題 357

- \frac{33}{49} - \frac{18}{35}

Solution解き方

- \frac{291}{245}

Exercise 358問題 358

- \frac{2}{3} - (- \frac{3}{4})

Exercise 359問題 359

- \frac{3}{4} - (- \frac{4}{5})

Solution解き方

\frac{1}{20}

Exercise 360問題 360

- \frac{9}{16} - (- \frac{4}{5})

Exercise 361問題 361

- \frac{7}{20} - (- \frac{5}{8})

Solution解き方

\frac{11}{40}

Exercise 362問題 362

1 + \frac{7}{8}

Exercise 363問題 363

1 + \frac{5}{6}

Solution解き方

\frac{11}{6}

Exercise 364問題 364

1 - \frac{5}{9}

Exercise 365問題 365

1 - \frac{3}{10}

Solution解き方

\frac{7}{10}

Exercise 366問題 366

\frac{x}{3} + \frac{1}{4}

Exercise 367問題 367

\frac{y}{2} + \frac{2}{3}

Solution解き方

\frac{3 y + 4}{6}

Exercise 368問題 368

\frac{y}{4} - \frac{3}{5}

Exercise 369問題 369

\frac{x}{5} - \frac{1}{4}

Solution解き方

\frac{4 x - 5}{20}

Exercises 370–389練習問題 370–389

Identify and Use Fraction Operations

分数の演算を見分けて使う

In the following exercises, perform the indicated operations. Write your answers in simplified form.

次の練習問題では、指定された演算を行え。答えを簡単な形で表せ。

Exercise 370問題 370

ⓐ $\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$
ⓑ $\frac{3}{4} \div \frac{1}{6}$

Exercise 371問題 371

ⓐ $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$
ⓑ $\frac{2}{3} \div \frac{1}{6}$

Solution解き方

ⓐ $\frac{5}{6}$
ⓑ $4$

Exercise 372問題 372

ⓐ $- \frac{2}{5} - \frac{1}{8}$
ⓑ $- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{8}$

Exercise 373問題 373

ⓐ $- \frac{4}{5} - \frac{1}{8}$
ⓑ $- \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{8}$

Solution解き方

ⓐ $- \frac{37}{40}$
ⓑ $- \frac{1}{10}$

Exercise 374問題 374

ⓐ $\frac{5 n}{6} \div \frac{8}{15}$
ⓑ $\frac{5 n}{6} - \frac{8}{15}$

Exercise 375問題 375

ⓐ $\frac{3 a}{8} \div \frac{7}{12}$
ⓑ $\frac{3 a}{8} - \frac{7}{12}$

Solution解き方

ⓐ $\frac{9 a}{14}$
ⓑ $\frac{9 a - 14}{24}$

Exercise 376問題 376

ⓐ $\frac{9}{10} \cdot (- \frac{11 d}{12})$
ⓑ $\frac{9}{10} + (- \frac{11 d}{12})$

Exercise 377問題 377

ⓐ $\frac{4}{15} \cdot (- \frac{5 q}{9})$
ⓑ $\frac{4}{15} + (- \frac{5 q}{9})$

Solution解き方

ⓐ $- \frac{4 q}{27}$
ⓑ $\frac{12 - 25 q}{45}$

Exercise 378問題 378

- \frac{3}{8} \div (- \frac{3}{10})

Exercise 379問題 379

- \frac{5}{12} \div (- \frac{5}{9})

Solution解き方

\frac{3}{4}

Exercise 380問題 380

- \frac{3}{8} + \frac{5}{12}

Exercise 381問題 381

- \frac{1}{8} + \frac{7}{12}

Solution解き方

\frac{11}{24}

Exercise 382問題 382

\frac{5}{6} - \frac{1}{9}

Exercise 383問題 383

\frac{5}{9} - \frac{1}{6}

Solution解き方

\frac{7}{18}

Exercise 384問題 384

\frac{3}{8} \cdot (- \frac{10}{21})

Exercise 385問題 385

\frac{7}{12} \cdot (- \frac{8}{35})

Solution解き方

- \frac{2}{15}

Exercise 386問題 386

- \frac{7}{15} - \frac{y}{4}

Exercise 387問題 387

- \frac{3}{8} - \frac{x}{11}

Solution解き方

\frac{−33 - 8 x}{88}

Exercise 388問題 388

\frac{11}{12 a} \cdot \frac{9 a}{16}

Exercise 389問題 389

\frac{10 y}{13} \cdot \frac{8}{15 y}

Solution解き方

\frac{16}{39}

Exercises 390–401練習問題 390–401

Use the Order of Operations to Simplify Complex Fractions

計算の順序に従って繁分数を簡単にする

In the following exercises, simplify.

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 390問題 390

\frac{{(\frac{1}{5})}^{2}}{2 + 3^{2}}

Exercise 391問題 391

\frac{{(\frac{1}{3})}^{2}}{5 + 2^{2}}

Solution解き方

\frac{1}{81}

Exercise 392問題 392

\frac{2^{3} + 4^{2}}{{(\frac{2}{3})}^{2}}

Exercise 393問題 393

\frac{3^{3} - 3^{2}}{{(\frac{3}{4})}^{2}}

Solution解き方

Exercise 394問題 394

\frac{{(\frac{3}{5})}^{2}}{{(\frac{3}{7})}^{2}}

Exercise 395問題 395

\frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{{(\frac{5}{8})}^{2}}

Solution解き方

\frac{36}{25}

Exercise 396問題 396

\frac{2}{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}

Exercise 397問題 397

\frac{5}{\frac{1}{4} + \frac{1}{3}}

Solution解き方

\frac{60}{7}

Exercise 398問題 398

\frac{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}}{\frac{3}{4} - \frac{2}{3}}

Exercise 399問題 399

\frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{2}}{\frac{5}{6} - \frac{2}{3}}

Solution解き方

\frac{15}{2}

Exercise 400問題 400

\frac{\frac{7}{8} - \frac{2}{3}}{\frac{1}{2} + \frac{3}{8}}

Exercise 401問題 401

\frac{\frac{3}{4} - \frac{3}{5}}{\frac{1}{4} + \frac{2}{5}}

Solution解き方

\frac{3}{13}

Exercises 402–415練習問題 402–415

Mixed Practice

総合練習

In the following exercises, simplify.

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 402問題 402

\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{12}

Exercise 403問題 403

\frac{1}{3} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}

Solution解き方

\frac{19}{30}

Exercise 404問題 404

1 - \frac{3}{5} \div \frac{1}{10}

Exercise 405問題 405

1 - \frac{5}{6} \div \frac{1}{12}

Solution解き方

−9

Exercise 406問題 406

\frac{2}{3} + \frac{1}{6} + \frac{3}{4}

Exercise 407問題 407

\frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{3}{5}

Solution解き方

\frac{91}{60}

Exercise 408問題 408

\frac{3}{8} - \frac{1}{6} + \frac{3}{4}

Exercise 409問題 409

\frac{2}{5} + \frac{5}{8} - \frac{3}{4}

Solution解き方

\frac{11}{40}

Exercise 410問題 410

12 (\frac{9}{20} - \frac{4}{15})

Exercise 411問題 411

8 (\frac{15}{16} - \frac{5}{6})

Solution解き方

\frac{5}{6}

Exercise 412問題 412

\frac{\frac{5}{8} + \frac{1}{6}}{\frac{19}{24}}

Exercise 413問題 413

\frac{\frac{1}{6} + \frac{3}{10}}{\frac{14}{30}}

Solution解き方

Exercise 414問題 414

(\frac{5}{9} + \frac{1}{6}) \div (\frac{2}{3} - \frac{1}{2})

Exercise 415問題 415

(\frac{3}{4} + \frac{1}{6}) \div (\frac{5}{8} - \frac{1}{3})

Solution解き方

\frac{22}{7}

Exercises 416–431練習問題 416–431

In the following exercises, evaluate the given expression. Express your answers in simplified form, using improper fractions if necessary.

次の練習問題では、与えられた式の値を求めよ。必要に応じて仮分数を使い、答えを簡単な形で表せ。

Exercise 416問題 416

x + \frac{1}{2}

when

次の場合の

x + \frac{1}{2}

。

ⓐ $x = - \frac{1}{8}$
ⓑ $x = - \frac{1}{2}$

Exercise 417問題 417

x + \frac{2}{3}

when

次の場合の

x + \frac{2}{3}

。

ⓐ $x = - \frac{1}{6}$
ⓑ $x = - \frac{5}{3}$

Solution解き方

ⓐ $\frac{1}{2}$
ⓑ $−1$

Exercise 418問題 418

x + (- \frac{5}{6})

when

次の場合の

x + (- \frac{5}{6})

。

ⓐ $x = \frac{1}{3}$
ⓑ $x = - \frac{1}{6}$

Exercise 419問題 419

x + (- \frac{11}{12})

when

次の場合の

x + (- \frac{11}{12})

。

ⓐ $x = \frac{11}{12}$
ⓑ $x = \frac{3}{4}$

Solution解き方

ⓐ $0$
ⓑ $- \frac{1}{6}$

Exercise 420問題 420

x - \frac{2}{5}

when

次の場合の

x - \frac{2}{5}

。

ⓐ $x = \frac{3}{5}$
ⓑ $x = - \frac{3}{5}$

Exercise 421問題 421

x - \frac{1}{3}

when

次の場合の

x - \frac{1}{3}

。

ⓐ $x = \frac{2}{3}$
ⓑ $x = - \frac{2}{3}$

Solution解き方

ⓐ $\frac{1}{3}$
ⓑ $−1$

Exercise 422問題 422

\frac{7}{10} - w

when

次の場合の

\frac{7}{10} - w

。

ⓐ $w = \frac{1}{2}$
ⓑ $w = - \frac{1}{2}$

Exercise 423問題 423

\frac{5}{12} - w

when

次の場合の

\frac{5}{12} - w

。

ⓐ $w = \frac{1}{4}$
ⓑ $w = - \frac{1}{4}$

Solution解き方

ⓐ $\frac{1}{6}$
ⓑ $\frac{2}{3}$

Exercise 424問題 424

4 p^{2} q

when

p = - \frac{1}{2}

and

q = \frac{5}{9}

p = - \frac{1}{2}

かつ

q = \frac{5}{9}

のときの

4 p^{2} q

Exercise 425問題 425

5 m^{2} n

when

m = - \frac{2}{5}

and

n = \frac{1}{3}

m = - \frac{2}{5}

かつ

n = \frac{1}{3}

のときの

5 m^{2} n

Solution解き方

\frac{4}{15}

Exercise 426問題 426

2 x^{2} y^{3}

when

x = - \frac{2}{3}

and

y = - \frac{1}{2}

x = - \frac{2}{3}

かつ

y = - \frac{1}{2}

のときの

2 x^{2} y^{3}

Exercise 427問題 427

8 u^{2} v^{3}

when

u = - \frac{3}{4}

and

v = - \frac{1}{2}

u = - \frac{3}{4}

かつ

v = - \frac{1}{2}

のときの

8 u^{2} v^{3}

Solution解き方

- \frac{9}{16}

Exercise 428問題 428

\frac{u + v}{w}

when

u = −4, v = −8, w = 2

u = −4, v = −8, w = 2

のときの

\frac{u + v}{w}

Exercise 429問題 429

\frac{m + n}{p}

when

m = −6, n = −2, p = 4

m = −6, n = −2, p = 4

のときの

\frac{m + n}{p}

Solution解き方

−2

Exercise 430問題 430

\frac{a + b}{a - b}

when

a = −3, b = 8

a = −3, b = 8

のときの

\frac{a + b}{a - b}

Exercise 431問題 431

\frac{r - s}{r + s}

when

r = 10, s = −5

r = 10, s = −5

のときの

\frac{r - s}{r + s}

Solution解き方