第4章分数

Solve Equations with Fractions Using the Multiplication Property of Equality等式の乗法の性質を使って分数を含む方程式を解く

Consider the equation

\frac{x}{4} = 3 .

We want to know what number divided by

4

gives

3 .

So to “undo” the division, we will need to multiply by

4 .

The Multiplication Property of Equality will allow us to do this. This property says that if we start with two equal quantities and multiply both by the same number, the results are equal.

英語のヒント

方程式

\frac{x}{4} = 3

を考えよう。どの数を

4

で割ると

3

になるのかを知りたい。そのため、わり算を「打ち消す」には

4

をかける必要がある。等式の乗法の性質により、この操作ができる。この性質は、等しい2つの量の両方に同じ数をかけると、結果も等しくなることを述べている。

Let’s use the Multiplication Property of Equality to solve the equation

\frac{x}{7} = −9 .

等式の乗法の性質を使って、方程式

\frac{x}{7} = −9

を解こう。

Example 4.99例題 4.99

Solve:

\frac{x}{7} = −9 .

次の方程式を解く：

\frac{x}{7} = −9

Solution解答


Use the Multiplication Property of Equality to multiply both sides by $7$ . This will isolate the variable. 英語のヒント等式の乗法の性質を使い、両辺に $7$ をかける。これによって、変数だけを片辺に残せる。
Multiply. 掛ける。
Simplify. 簡単にする。

The equation is true. 等式は成り立つ。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.100例題 4.100

Solve:

\frac{p}{−8} = −40 .

次の方程式を解く：

\frac{p}{−8} = −40

Solution解答

Here,

p

is divided by

−8 .

We must multiply by

−8

to isolate

p .

ここでは、

p

が

−8

で割られている。

p

だけを残すには、

−8

をかけなければならない。


Multiply both sides by $−8$ 両辺に $−8$ をかける。
Multiply. 掛ける。
Simplify. 簡単にする。
Check: 確認：
Substitute $p = 320$ . $p = 320$ を代入する。
The equation is true. 等式は成り立つ。

Try It (2)確認問題（2題）

Solve Equations with a Coefficient of $−1$ 係数が $−1$ の方程式を解く

Look at the equation

- y = 15 .

Does it look as if

y

is already isolated? But there is a negative sign in front of

y,

so it is not isolated.

方程式

- y = 15

を見よう。すでに

y

だけが片辺に残っているように見えるだろうか。しかし、

y

の前には負の符号があるので、変数だけにはなっていない。

There are three different ways to isolate the variable in this type of equation. We will show all three ways in Example 4.101.

この形の方程式で変数だけを片辺に残すには、異なる3つの方法がある。例4.101で、3つすべてを示す。

Example 4.101例題 4.101

Solve:

- y = 15 .

次の方程式を解く：

- y = 15

Solution解答

One way to solve the equation is to rewrite

- y

−1 y,

and then use the Division Property of Equality to isolate

y .

解き方の1つは、

- y

を

−1 y

と書き直し、等式の除法の性質を使って

y

だけを片辺に残す方法である。


Rewrite $- y$ as $−1 y$ . $- y$ を $−1 y$ と書き直す。
Divide both sides by −1. 両辺を−1で割る。
Simplify each side. 両辺をそれぞれ簡単にする。

Another way to solve this equation is to multiply both sides of the equation by

−1 .

別の解き方は、方程式の両辺に

−1

をかける方法である。


Multiply both sides by −1. 両辺に−1をかける。
Simplify each side. 両辺をそれぞれ簡単にする。

The third way to solve the equation is to read

- y

as “the opposite of

y

.” What number has

15

as its opposite? The opposite of

15

−15 .

y = −15 .

3つ目の解き方は、

- y

を「

y

と符号が反対の数」と読む方法である。符号が反対の数が

15

になるのは何だろうか。

15

と符号が反対の数は

−15

である。したがって、

y = −15

For all three methods, we isolated

y

is isolated and solved the equation.

3つの方法はいずれも、

y

だけを片辺に残して方程式を解いている。

Check:

確認：


Substitute $y = −15$ . $y = −15$ を代入する。
Simplify. The equation is true. 簡単にする。等式は成り立つ。

Try It (2)確認問題（2題）

Solve Equations with a Fraction Coefficient係数が分数の方程式を解く

When we have an equation with a fraction coefficient we can use the Multiplication Property of Equality to make the coefficient equal to

1 .

係数が分数の方程式では、等式の乗法の性質を使って、係数を

1

にすることができる。

For example, in the equation:

例えば、次の方程式では、

\frac{3}{4} x = 24

The coefficient of

x

\frac{3}{4} .

To solve for

x,

we need its coefficient to be

1 .

Since the product of a number and its reciprocal is

1,

our strategy here will be to isolate

x

by multiplying by the reciprocal of

\frac{3}{4} .

We will do this in Example 4.102.

英語のヒント

x

の係数は

\frac{3}{4}

である。

x

について解くには、係数を

1

にする必要がある。ある数とその逆数の積は

1

なので、ここでは

\frac{3}{4}

の逆数をかけて

x

だけを片辺に残す方針で進める。例4.102で実際に行う。

Example 4.102例題 4.102

Solve:

\frac{3}{4} x = 24 .

次の方程式を解く：

\frac{3}{4} x = 24

Solution解答


Multiply both sides by the reciprocal of the coefficient. 係数の逆数を両辺にかける。
Simplify. 簡単にする。
Multiply. 掛ける。
Check: 確認：
Substitute $x = 32$ . $x = 32$ を代入する。
Rewrite $32$ as a fraction. $32$ を分数として書き直す。
Multiply. The equation is true. かけ算をする。等式は成り立つ。

Notice that in the equation

\frac{3}{4} x = 24,

we could have divided both sides by

\frac{3}{4}

to get

x

by itself. Dividing is the same as multiplying by the reciprocal, so we would get the same result. But most people agree that multiplying by the reciprocal is easier.

方程式

\frac{3}{4} x = 24

では、両辺を

\frac{3}{4}

で割って

x

だけにすることもできた。割ることは逆数をかけることと同じなので、結果も同じになる。しかし、多くの人は逆数をかける方が簡単だと感じる。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.103例題 4.103

Solve:

- \frac{3}{8} w = 72 .

次の方程式を解く：

- \frac{3}{8} w = 72

Solution解答

The coefficient is a negative fraction. Remember that a number and its reciprocal have the same sign, so the reciprocal of the coefficient must also be negative.

係数は負の分数である。ある数とその逆数は符号が同じなので、係数の逆数も負でなければならない。


Multiply both sides by the reciprocal of $− \frac{3}{8}$ . 両辺に $− \frac{3}{8}$ の逆数をかける。
Simplify; reciprocals multiply to one. 簡単にする。互いに逆数である数をかけると1になる。
Multiply. 掛ける。
Check: 確認：
Let $w = −192$ . $w = −192$ とする。
Multiply. It checks. かけ算をする。確かめられた。

Try It (2)確認問題（2題）

Translate Sentences to Equations and Solve文章を方程式に直して解く

Now we have covered all four properties of equality—subtraction, addition, division, and multiplication. We’ll list them all together here for easy reference.

これで、等式の4つの性質、すなわち減法・加法・除法・乗法の性質をすべて扱った。参照しやすいよう、ここにまとめて示す。

Subtraction Property of Equality: For any real numbers $a, b,$ and $c,$ if $a = b,$ then $a - c = b - c .$ 等式の減法の性質：任意の実数 $a, b$ と $c$ について、 $a = b$ ならば $a - c = b - c$	Addition Property of Equality: For any real numbers $a, b,$ and $c,$ if $a = b,$ then $a + c = b + c .$ 等式の加法の性質：任意の実数 $a, b$ と $c$ について、 $a = b$ ならば $a + c = b + c$
Division Property of Equality: For any numbers $a, b,$ and $c,$ where $c \neq 0$ if $a = b,$ then $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ 等式の除法の性質： $c \neq 0$ を満たす任意の数 $a, b$ と $c$ について、 $a = b$ ならば $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$	Multiplication Property of Equality: For any real numbers $a, b,$ and $c$ if $a = b,$ then $a c = b c$ 等式の乗法の性質：任意の実数 $a, b$ と $c$ について、 $a = b$ ならば $a c = b c$

When you add, subtract, multiply or divide the same quantity from both sides of an equation, you still have equality.

方程式の両辺に同じ量をたす、両辺から同じ量を引く、両辺に同じ量をかける、両辺を同じ量で割る、という操作をしても、等式は成り立つ。

In the next few examples, we’ll translate sentences into equations and then solve the equations. It might be helpful to review the translation table in Evaluate, Simplify, and Translate Expressions.

次のいくつかの例では、文章を方程式に直してから解く。「式の値を求める・式を簡単にする・言葉を式に直す」にある対応表を復習すると役立つかもしれない。

Example 4.104例題 4.104

Translate and solve:

n

divided by

6

−24 .

方程式に直して解け。

n

を

6

で割ると

−24

になる。

Solution解答

Translate. 式に表す。
Multiply both sides by $6$ . 両辺に $6$ をかける。
Simplify. 簡単にする。
Check: 確認：	Is $−144$ divided by $6$ equal to $−24$ ? $−144$ を $6$ で割ると $−24$ に等しいか。
Translate. 式に表す。
Simplify. It checks. 簡単にする。等式が成り立つので確かめられた。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.105例題 4.105

Translate and solve: The quotient of

q

and

−5

70 .

式に表して解け。

q

を

−5

で割った商は

70

である。

Solution解答

Translate. 式に表す。
Multiply both sides by $−5$ . 両辺に $−5$ をかける。
Simplify. 簡単にする。
Check: 確認：	Is the quotient of $−350$ and $−5$ equal to $70$ ? $−350$ を $−5$ で割った商は $70$ に等しいか。
Translate. 式に表す。
Simplify. It checks. 簡単にする。等式が成り立つので確かめられた。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.106例題 4.106

Translate and solve: Two-thirds of

f

18 .

方程式に直して解け。

f

の3分の2は

18

である。

Solution解答

Translate. 式に表す。
Multiply both sides by $\frac{3}{2}$ . 両辺に $\frac{3}{2}$ をかける。
Simplify. 簡単にする。
Check: 確認：	Is two-thirds of $27$ equal to $18$ ? $27$ の3分の2は $18$ に等しいか。
Translate. 式に表す。
Simplify. It checks. 簡単にする。等式が成り立つので確かめられた。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.107例題 4.107

Translate and solve: The quotient of

m

and

\frac{5}{6}

\frac{3}{4} .

式に表して解け。

m

を

\frac{5}{6}

で割った商は

\frac{3}{4}

である。

Solution解答

		The quotient of $m$ and $\frac{5}{6}$ is $\frac{3}{4}$ . $m$ を $\frac{5}{6}$ で割った商は $\frac{3}{4}$ である。
Translate. 式に表す。		$\frac{m}{\frac{5}{6}} = \frac{3}{4}$
Multiply both sides by $\frac{5}{6}$ to isolate $m$ . $m$ だけを片辺に残すため、両辺に $\frac{5}{6}$ をかける。		$\frac{5}{6} (\frac{m}{\frac{5}{6}}) = \frac{5}{6} (\frac{3}{4})$
Simplify. 簡単にする。		$m = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 4}$
Remove common factors and multiply. 共通の因数を取り除いてかける。		$m = \frac{5}{8}$
Check: 確認：
Is the quotient of $\frac{5}{8}$ and $\frac{5}{6}$ equal to $\frac{3}{4}$ ? $\frac{5}{8}$ を $\frac{5}{6}$ で割った商は $\frac{3}{4}$ に等しいか。	$\frac{\frac{5}{8}}{\frac{5}{6}} \overset{?}{=} \frac{3}{4}$
Rewrite as division. わり算の形に書き直す。	$\frac{5}{8} \div \frac{5}{6} \overset{?}{=} \frac{3}{4}$
Multiply the first fraction by the reciprocal of the second. 1つ目の分数に、2つ目の分数の逆数を掛ける。	$\frac{5}{8} \cdot \frac{6}{5} \overset{?}{=} \frac{3}{4}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{3}{4} = \frac{3}{4} ✓$

Our solution checks.

求めた解が確かめられた。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.108例題 4.108

Translate and solve: The sum of three-eighths and

x

is three and one-half.

方程式に直して解け。8分の3と

x

の和は3と2分の1である。

Solution解答

Translate. 式に表す。
Use the Subtraction Property of Equality to subtract $\frac{3}{8}$ from both sides. 等式の減法の性質を使い、両辺から $\frac{3}{8}$ を引く。
Combine like terms on the left side. 左辺の同類項をまとめる。
Convert mixed number to improper fraction. 帯分数を仮分数に直す。
Convert to equivalent fractions with LCD of 8. 最小公分母8を使って大きさの等しい分数に直す。
Subtract. 引く。
Write as a mixed number. 帯分数で書く。

We write the answer as a mixed number because the original problem used a mixed number.

元の問題が帯分数を使っていたので、答えも帯分数で書く。

Check:

確認：

Is the sum of three-eighths and

3 \frac{1}{8}

equal to three and one-half?

8分の3と

3 \frac{1}{8}

の和は、3と2分の1に等しいか。

	$\frac{3}{8} + 3 \frac{1}{8} \overset{?}{=} 3 \frac{1}{2}$
Add. 足す。	$3 \frac{4}{8} \overset{?}{=} 3 \frac{1}{2}$
Simplify. 簡単にする。	$3 \frac{1}{2} = 3 \frac{1}{2} ✓$

The solution checks.

解が確かめられた。

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

第4章分数

Solve Equations with Fractions Using the Multiplication Property of Equality等式の乗法の性質を使って分数を含む方程式を解く

Solution解答

Solution解答

Solve Equations with a Coefficient of −1係数が−1の方程式を解く

Solution解答

Solve Equations with a Fraction Coefficient係数が分数の方程式を解く

Solution解答

Solution解答

Translate Sentences to Equations and Solve文章を方程式に直して解く

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solve Equations with a Coefficient of $−1$ 係数が $−1$ の方程式を解く