第4章分数

Find Reciprocals逆数を求める

The fractions

\frac{2}{3}

and

\frac{3}{2}

are related to each other in a special way. So are

- \frac{10}{7}

and

- \frac{7}{10} .

Do you see how? Besides looking like upside-down versions of one another, if we were to multiply these pairs of fractions, the product would be

1 .

分数

\frac{2}{3}

と

\frac{3}{2}

には、特別な関係がある。

- \frac{10}{7}

と

- \frac{7}{10}

も同様である。どのような関係か分かるだろうか。互いに上下を逆にした形に見えるだけでなく、それぞれの組の分数をかけると積が

1

になる。

\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1 and - \frac{10}{7} (- \frac{7}{10}) = 1

\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1 と - \frac{10}{7} (- \frac{7}{10}) = 1

Such pairs of numbers are called reciprocals.

このような組の数を、互いに逆数であるという。

To find the reciprocal of a fraction, we invert the fraction. This means that we place the numerator in the denominator and the denominator in the numerator.

英語のヒント

分数の逆数を求めるには、分数を逆さにする。つまり、分子を分母の位置に、分母を分子の位置に置く。

To get a positive result when multiplying two numbers, the numbers must have the same sign. So reciprocals must have the same sign.

2つの数をかけて正の結果を得るには、その2数の符号が同じでなければならない。したがって、互いに逆数である数どうしは符号が同じでなければならない。

To find the reciprocal, keep the same sign and invert the fraction. The number zero does not have a reciprocal. Why? A number and its reciprocal multiply to

1 .

Is there any number

r

so that

0 \cdot r = 1 ?

No. So, the number

0

does not have a reciprocal.

逆数を求めるには、符号をそのままにして分数を逆さにする。ゼロには逆数がない。なぜだろうか。ある数とその逆数をかけると

1

になる。

0 \cdot r = 1

となる数

r

はあるだろうか。ない。したがって、

0

には逆数がない。

Example 4.29例題 4.29

Find the reciprocal of each number. Then check that the product of each number and its reciprocal is

1 .

それぞれの数の逆数を求めよ。次に、それぞれの数とその逆数の積が

1

になることを確かめよ。

ⓐ $\frac{4}{9}$
ⓑ $- \frac{1}{6}$
ⓒ $- \frac{14}{5}$
ⓓ $7$

Solution解答

To find the reciprocals, we keep the sign and invert the fractions.

逆数を求めるには、符号を保ったまま分数を逆さにする。

ⓐ
Find the reciprocal of $\frac{4}{9}$ . $\frac{4}{9}$ の逆数を求めよ。	The reciprocal of $\frac{4}{9}$ is $\frac{9}{4}$ . $\frac{4}{9}$ の逆数は $\frac{9}{4}$ である。
Check: 確認：
Multiply the number and its reciprocal. その数とその逆数をかける。	$\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4}$
Multiply numerators and denominators. 分子どうし、分母どうしをかける。	$\frac{36}{36}$
Simplify. 簡単にする。	$1 ✓$

ⓑ
Find the reciprocal of $- \frac{1}{6}$ . $- \frac{1}{6}$ の逆数を求めよ。	$- \frac{6}{1}$
Simplify. 簡単にする。	$- 6$
Check: 確認：	$- \frac{1}{6} \cdot (- 6)$
	$1 ✓$

ⓒ
Find the reciprocal of $- \frac{14}{5}$ . $- \frac{14}{5}$ の逆数を求めよ。	$- \frac{5}{14}$
Check: 確認：	$- \frac{14}{5} \cdot (- \frac{5}{14})$
	$\frac{70}{70}$
	$1 ✓$

ⓓ
Find the reciprocal of $7$ . $7$ の逆数を求めよ。
Write $7$ as a fraction. $7$ を分数で表す。	$\frac{7}{1}$
Write the reciprocal of $\frac{7}{1}$ . $\frac{7}{1}$ の逆数を書く。	$\frac{1}{7}$
Check: 確認：	$7 \cdot (\frac{1}{7})$
	$1 ✓$

Try It (2)確認問題（2題）

In a previous chapter, we worked with opposites and absolute values. Opposite Absolute Value Reciprocal has opposite sign is never negative has same sign, fraction inver compares opposites, absolute values, and reciprocals.

以前の章では、符号が反対の数と絶対値を扱った。「符号が反対の数・絶対値・逆数の比較表」は、これら3つを比較している。

Opposite 符号を反対にした数	Absolute Value 絶対値	Reciprocal 逆数
has opposite sign 符号が反対である	is never negative 負にはならない	has same sign, fraction inverts 符号は同じで、分数の上下が逆になる

Example 4.30例題 4.30

Fill in the chart for each fraction in the left column:

左の列の各分数について、表を埋めよ。

Number 数	Opposite 符号を反対にした数	Absolute Value 絶対値	Reciprocal 逆数
$- \frac{3}{8}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{9}{5}$
$−5$

Solution解答

To find the opposite, change the sign. To find the absolute value, leave the positive numbers the same, but take the opposite of the negative numbers. To find the reciprocal, keep the sign the same and invert the fraction.

符号が反対の数を求めるには、符号を変える。絶対値を求めるには、正の数はそのままにし、負の数は符号を反対にする。逆数を求めるには、符号をそのままにして分数を逆さにする。

Number 数	Opposite 符号を反対にした数	Absolute Value 絶対値	Reciprocal 逆数
$- \frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$- \frac{8}{3}$
$\frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$2$
$\frac{9}{5}$	$- \frac{9}{5}$	$\frac{9}{5}$	$\frac{5}{9}$
$−5$	$5$	$5$	$- \frac{1}{5}$

Try It (2)確認問題（2題）

Question 1問題 1

Fill in the chart for each number given:

与えられた各数について、表を埋めよ。

Number 数	Opposite 符号を反対にした数	Absolute Value 絶対値	Reciprocal 逆数
$- \frac{5}{8}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{8}{3}$
$−8$

Solution解答

Question 2問題 2

Fill in the chart for each number given:

与えられた各数について、表を埋めよ。

Number 数	Opposite 符号を反対にした数	Absolute Value 絶対値	Reciprocal 逆数
$- \frac{4}{7}$
$\frac{1}{8}$
$\frac{9}{4}$
$−1$

Solution解答

Divide Fractions分数のわり算

Why is

12 \div 3 = 4 ?

We previously modeled this with counters. How many groups of

3

counters can be made from a group of

12

counters?

なぜ

12 \div 3 = 4

なのだろうか。以前、これをカウンターで表した。カウンター

12

個から、

3

個ずつのまとまりをいくつ作れるだろうか。

There are

4

groups of

3

counters. In other words, there are four

3

s in

12 .

So,

12 \div 3 = 4 .

カウンター

3

個ずつのまとまりが

4

つある。つまり、

12

の中に

3

が4つある。したがって、

12 \div 3 = 4

である。

What about dividing fractions? Suppose we want to find the quotient:

\frac{1}{2} \div \frac{1}{6} .

We need to figure out how many

\frac{1}{6}

s there are in

\frac{1}{2} .

We can use fraction tiles to model this division. We start by lining up the half and sixth fraction tiles as shown in Figure 4.5. Notice, there are three

\frac{1}{6}

tiles in

\frac{1}{2},

\frac{1}{2} \div \frac{1}{6} = 3 .

英語のヒント

分数のわり算ではどうだろうか。商

\frac{1}{2} \div \frac{1}{6}

を求めたいとしよう。

\frac{1}{2}

の中に

\frac{1}{6}

がいくつあるかを考える必要がある。分数タイルを使えば、このわり算をモデルで表せる。まず、図4.5のように2分の1と6分の1のタイルを並べる。

\frac{1}{2}

の中に

\frac{1}{6}

のタイルが3枚あるので、

\frac{1}{2} \div \frac{1}{6} = 3

である。

長方形に2分の1と記されている。その下には同じ長方形が3等分され、各部分に6分の1と記されている。 — Figure 4.5図 4.5

Additional Resources追加教材

Example 4.31例題 4.31

Model:

\frac{1}{4} \div \frac{1}{8} .

モデルで表す：

\frac{1}{4} \div \frac{1}{8}

Solution解答

We want to determine how many

\frac{1}{8}

s are in

\frac{1}{4} .

Start with one

\frac{1}{4}

tile. Line up

\frac{1}{8}

tiles underneath the

\frac{1}{4}

tile.

\frac{1}{4}

の中に

\frac{1}{8}

がいくつあるかを求めたい。まず

\frac{1}{4}

のタイルを1枚置く。

\frac{1}{4}

のタイルの下に、

\frac{1}{8}

のタイルを並べる。

There are two

\frac{1}{8}

s in

\frac{1}{4} .

\frac{1}{4}

の中には

\frac{1}{8}

が2つある。

So,

\frac{1}{4} \div \frac{1}{8} = 2 .

したがって、

\frac{1}{4} \div \frac{1}{8} = 2

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.32例題 4.32

Model:

2 \div \frac{1}{4} .

モデルで表す：

2 \div \frac{1}{4}

Solution解答

We are trying to determine how many

\frac{1}{4}

s there are in

2 .

We can model this as shown.

2

の中に

\frac{1}{4}

がいくつあるかを求めようとしている。次のようにモデルで表せる。

Because there are eight

\frac{1}{4}

s in

2, 2 \div \frac{1}{4} = 8 .

2の中には

\frac{1}{4}

が8つあるので、

2, 2 \div \frac{1}{4} = 8

Try It (2)確認問題（2題）

Let’s use money to model

2 \div \frac{1}{4}

in another way. We often read

\frac{1}{4}

as a ‘quarter’, and we know that a quarter is one-fourth of a dollar as shown in Figure 4.6. So we can think of

2 \div \frac{1}{4}

as, “How many quarters are there in two dollars?” One dollar is

4

quarters, so

2

dollars would be

8

quarters. So again,

2 \div \frac{1}{4} = 8 .

お金を使い、別の方法で

2 \div \frac{1}{4}

を表してみよう。英語では

\frac{1}{4}

を「クォーター」と読むことが多い。また、図4.6のように、クォーター硬貨は1ドルの4分の1の価値がある。そこで、

2 \div \frac{1}{4}

は「2ドルの中にクォーター硬貨が何枚あるか」と考えられる。1ドルはクォーター硬貨

4

枚なので、

2

ドルなら

8

枚である。ここでも

2 \div \frac{1}{4} = 8

となる。

米国のクォーター硬貨の写真。 — Figure 4.6図 4.6
The U.S. coin called a quarter is worth one-fourth of a dollar.
クォーターと呼ばれる米国の硬貨は、1ドルの4分の1の価値がある。

Using fraction tiles, we showed that

\frac{1}{2} \div \frac{1}{6} = 3 .

Notice that

\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{1} = 3

also. How are

\frac{1}{6}

and

\frac{6}{1}

related? They are reciprocals. This leads us to the procedure for fraction division.

分数タイルを使い、

\frac{1}{2} \div \frac{1}{6} = 3

であることを示した。

\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{1} = 3

も成り立つ。

\frac{1}{6}

と

\frac{6}{1}

にはどのような関係があるだろうか。互いに逆数である。ここから分数のわり算の手順が導かれる。

We need to say

b \neq 0, c \neq 0

and

d \neq 0

to be sure we don’t divide by zero.

ゼロで割ることがないように、

b \neq 0, c \neq 0

かつ

d \neq 0

という条件が必要である。

Example 4.33例題 4.33

Divide, and write the answer in simplified form:

\frac{2}{5} \div (- \frac{3}{7}) .

割り算をし、答えを簡単にした形で書く：

\frac{2}{5} \div (- \frac{3}{7})

Solution解答

	$\frac{2}{5} \div (- \frac{3}{7})$
Multiply the first fraction by the reciprocal of the second. 1つ目の分数に、2つ目の分数の逆数を掛ける。	$\frac{2}{5} (- \frac{7}{3})$
Multiply. The product is negative. かけ算をする。積は負になる。	$- \frac{14}{15}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.34例題 4.34

Divide, and write the answer in simplified form:

\frac{2}{3} \div \frac{n}{5} .

割り算をし、答えを簡単にした形で書く：

\frac{2}{3} \div \frac{n}{5}

Solution解答

	$\frac{2}{3} \div \frac{n}{5}$
Multiply the first fraction by the reciprocal of the second. 1つ目の分数に、2つ目の分数の逆数を掛ける。	$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{n}$
Multiply. 掛ける。	$\frac{10}{3 n}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.35例題 4.35

Divide, and write the answer in simplified form:

- \frac{3}{4} \div (- \frac{7}{8}) .

割り算をし、答えを簡単にした形で書く：

- \frac{3}{4} \div (- \frac{7}{8})

Solution解答

	$- \frac{3}{4} \div (- \frac{7}{8})$
Multiply the first fraction by the reciprocal of the second. 1つ目の分数に、2つ目の分数の逆数を掛ける。	$- \frac{3}{4} \cdot (- \frac{8}{7})$
Multiply. Remember to determine the sign first. かけ算をする。先に符号を決めることを忘れないようにする。	$\frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 7}$
Rewrite to show common factors. 共通の因数が分かる形に書き直す。	$\frac{3 \cdot 4 \cdot 2}{4 \cdot 7}$
Remove common factors and simplify. 共通の因数を取り除いて簡単にする。	$\frac{6}{7}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.36例題 4.36

Divide, and write the answer in simplified form:

\frac{7}{18} \div \frac{14}{27} .

割り算をし、答えを簡単にした形で書く：

\frac{7}{18} \div \frac{14}{27}

Solution解答

	$\frac{7}{18} \div \frac{14}{27}$
Multiply the first fraction by the reciprocal of the second. 1つ目の分数に、2つ目の分数の逆数を掛ける。	$\frac{7}{18} \cdot \frac{27}{14}$
Multiply. 掛ける。	$\frac{7 \cdot 27}{18 \cdot 14}$
Rewrite showing common factors. 共通の因数が分かる形に書き直す。
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。	$\frac{3}{2 \cdot 2}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{3}{4}$

Try It (2)確認問題（2題）

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