第4章分数

Model Improper Fractions and Mixed Numbers仮分数と帯分数をモデルで表す

In Example 4.4 (b), you had eight equal fifth pieces. You used five of them to make one whole, and you had three fifths left over. Let us use fraction notation to show what happened. You had eight pieces, each of them one fifth,

\frac{1}{5},

so altogether you had eight fifths, which we can write as

\frac{8}{5} .

The fraction

\frac{8}{5}

is one whole,

1,

plus three fifths,

\frac{3}{5},

1 \frac{3}{5},

which is read as one and three-fifths.

例4.4の（b）では、等しい5分の1のピースが8個あった。そのうち5個で全体1個分を作り、5分の1が3個余った。これを分数で表してみよう。各ピースは5分の1、つまり

\frac{1}{5}

で、それが8個あるので、合わせて5分の8、すなわち

\frac{8}{5}

と書ける。分数

\frac{8}{5}

は全体1個分の

1

に5分の3の

\frac{3}{5}

をたしたもので、

1 \frac{3}{5}

となる。これは「1と5分の3」と読む。

The number

1 \frac{3}{5}

is called a mixed number. A mixed number consists of a whole number and a fraction.

数

1 \frac{3}{5}

を帯分数という。帯分数は、非負整数と分数からなる。

Fractions such as

\frac{5}{4}, \frac{3}{2}, \frac{5}{5},

and

\frac{7}{3}

are called improper fractions. In an improper fraction, the numerator is greater than or equal to the denominator, so its value is greater than or equal to one. When a fraction has a numerator that is smaller than the denominator, it is called a proper fraction, and its value is less than one. Fractions such as

\frac{1}{2}, \frac{3}{7},

and

\frac{11}{18}

are proper fractions.

英語のヒント

\frac{5}{4}, \frac{3}{2}, \frac{5}{5}

や

\frac{7}{3}

のような分数を仮分数という。仮分数では、分子が分母以上なので、その値は1以上である。分子が分母より小さい分数を真分数といい、その値は1より小さい。

\frac{1}{2}, \frac{3}{7}

や

\frac{11}{18}

は真分数である。

Additional Resources追加教材

Example 4.5例題 4.5

Name the improper fraction modeled. Then write the improper fraction as a mixed number.

モデルが表す仮分数を答えよ。次に、その仮分数を帯分数で表せ。

2つの円があり、どちらも等しい3つの部分に分けられている。左の円は3つすべてに色が塗られている。右の円は1つの部分に色が塗られている。

Solution解答

Each circle is divided into three pieces, so each piece is

\frac{1}{3}

of the circle. There are four pieces shaded, so there are four thirds or

\frac{4}{3} .

The figure shows that we also have one whole circle and one third, which is

1 \frac{1}{3} .

So,

\frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3} .

各円は3つの部分に分けられているので、それぞれの部分は円の

\frac{1}{3}

である。色が塗られた部分は4つあるので、3分の1が4つ、すなわち

\frac{4}{3}

である。図を見ると、全体1個分の円と3分の1があるので、

1 \frac{1}{3}

とも表せる。したがって、

\frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.6例題 4.6

Draw a figure to model

\frac{11}{8} .

\frac{11}{8}

を表す図を描く。

Solution解答

The denominator of the improper fraction is

8 .

Draw a circle divided into eight pieces and shade all of them. This takes care of eight eighths, but we have

11

eighths. We must shade three of the eight parts of another circle.

英語のヒント

仮分数の分母は

8

である。8つの部分に分けた円を描き、そのすべてに色を塗る。これで8分の1が8個分になるが、必要なのは8分の1が

11

個分である。もう1つの円の8つの部分のうち3つに色を塗らなければならない。

2つの円があり、どちらも8等分されている。左の円は8つすべてに色が塗られ、8分の8と記されている。右の円は3つに色が塗られ、8分の3と記されている。図は、8分の8たす8分の3が1たす8分の3に等しいことを示している。

So,

\frac{11}{8} = 1 \frac{3}{8} .

したがって、

\frac{11}{8} = 1 \frac{3}{8}

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.7例題 4.7

Use a model to rewrite the improper fraction

\frac{11}{6}

as a mixed number.

モデルを使って、仮分数

\frac{11}{6}

を帯分数に書き直せ。

Solution解答

We start with

11

sixths

(\frac{11}{6}) .

We know that six sixths makes one whole.

6分の1が

11

個ある

(\frac{11}{6})

ところから始める。6分の1が6個で全体1個分になる。

\frac{6}{6} = 1

That leaves us with five more sixths, which is

\frac{5}{6} (11 sixths minus 6 sixths is 5 sixths) .

6分の1がさらに5個残り、これは

\frac{5}{6} (11 個の6分の1から 6 個の6分の1を引くと 5 個の6分の1)

である。

So,

\frac{11}{6} = 1 \frac{5}{6} .

したがって、

\frac{11}{6} = 1 \frac{5}{6}

2つの円があり、どちらも6等分されている。左の円は6つすべてに色が塗られ、6分の6と記されている。右の円は5つに色が塗られ、6分の5と記されている。円の下には、1たす6分の5、続いて6分の6たす6分の5は6分の11、1たす6分の5は1と6分の5と書かれている。さらに、6分の11は1と6分の5に等しいと書かれている。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.8例題 4.8

Use a model to rewrite the mixed number

1 \frac{4}{5}

as an improper fraction.

モデルを使って、帯分数

1 \frac{4}{5}

を仮分数に書き直せ。

Solution解答

The mixed number

1 \frac{4}{5}

means one whole plus four fifths. The denominator is

5,

so the whole is

\frac{5}{5} .

Together five fifths and four fifths equals nine fifths.

帯分数

1 \frac{4}{5}

は、全体1個分たす5分の4を意味する。分母は

5

なので、全体は

\frac{5}{5}

である。5分の5と5分の4を合わせると5分の9になる。

So,

1 \frac{4}{5} = \frac{9}{5} .

したがって、

1 \frac{4}{5} = \frac{9}{5}

2つの円があり、どちらも5等分されている。左の円は5つすべてに色が塗られ、5分の5と記されている。右の円は4つに色が塗られ、5分の4と記されている。5分の5たす5分の4は5分の9で、5分の9は1たす5分の4に等しいと書かれている。

Try It (2)確認問題（2題）

Convert between Improper Fractions and Mixed Numbers仮分数と帯分数を互いに直す

In Example 4.7, we converted the improper fraction

\frac{11}{6}

to the mixed number

1 \frac{5}{6}

using fraction circles. We did this by grouping six sixths together to make a whole; then we looked to see how many of the

11

pieces were left. We saw that

\frac{11}{6}

made one whole group of six sixths plus five more sixths, showing that

\frac{11}{6} = 1 \frac{5}{6} .

例4.7では、分数円を使って仮分数

\frac{11}{6}

を帯分数

1 \frac{5}{6}

に直した。6分の1を6個まとめて全体1個分を作り、

11

個のピースのうちいくつが残ったかを確かめた。

\frac{11}{6}

は6分の1が6個のまとまり1つと、さらに6分の1が5個になるので、

\frac{11}{6} = 1 \frac{5}{6}

であることが分かった。

The division expression

\frac{11}{6}

(which can also be written as

611

) tells us to find how many groups of

6

are in

11 .

To convert an improper fraction to a mixed number without fraction circles, we divide.

英語のヒント

わり算の式

\frac{11}{6}

（

611

とも書ける）は、

6

個のまとまりが

11

個の中にいくつあるかを求めることを表す。分数円を使わずに仮分数を帯分数に直すには、わり算をする。

Example 4.9例題 4.9

Convert

\frac{11}{6}

to a mixed number.

\frac{11}{6}

を帯分数に直せ。

Solution解答

	$\frac{11}{6}$
Divide the denominator into the numerator. 分子を分母で割る。	Remember $\frac{11}{6}$ means $11 \div 6$ . $\frac{11}{6}$ は $11 \div 6$ を意味することを思い出そう。

Identify the quotient, remainder and divisor. 商、余り、除数を確認する。
Write the mixed number as $quotient \frac{remainder}{divisor}$ . 帯分数を $商 \frac{余り}{除数}$ と表す。	$1 \frac{5}{6}$
So, $\frac{11}{6} = 1 \frac{5}{6}$ したがって、 $\frac{11}{6} = 1 \frac{5}{6}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.10例題 4.10

Convert the improper fraction

\frac{33}{8}

to a mixed number.

仮分数

\frac{33}{8}

を帯分数に直せ。

Solution解答

	$\frac{33}{8}$
Divide the denominator into the numerator. 分子を分母で割る。	Remember, $\frac{33}{8}$ means $833$ . $\frac{33}{8}$ は $833$ を意味することを思い出そう。
Identify the quotient, remainder, and divisor. 商、余り、除数を確認する。
Write the mixed number as quotient $\frac{remainder}{divisor}$ . 帯分数を、商 $\frac{余り}{除数}$ と表す。	$4 \frac{1}{8}$
	So, $\frac{33}{8} = 4 \frac{1}{8}$ したがって、 $\frac{33}{8} = 4 \frac{1}{8}$

Try It (2)確認問題（2題）

In Example 4.8, we changed

1 \frac{4}{5}

to an improper fraction by first seeing that the whole is a set of five fifths. So we had five fifths and four more fifths.

例4.8では、まず全体1個分が5分の1を5個集めたものだと捉え、

1 \frac{4}{5}

を仮分数に直した。したがって、5分の1が5個と、さらに5分の1が4個あった。

\frac{5}{5} + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}

Where did the nine come from? There are nine fifths—one whole (five fifths) plus four fifths. Let us use this idea to see how to convert a mixed number to an improper fraction.

9はどこから出てきたのだろうか。全体1個分（5分の1が5個）に5分の1を4個たすと、5分の1が9個ある。この考え方を使い、帯分数を仮分数に直す方法を考えよう。

Example 4.11例題 4.11

Convert the mixed number

4 \frac{2}{3}

to an improper fraction.

帯分数

4 \frac{2}{3}

を仮分数に直す。

Solution解答

	$4 \frac{2}{3}$
Multiply the whole number by the denominator. 整数部分に分母をかける。
The whole number is 4 and the denominator is 3. 整数部分は4、分母は3である。
Simplify. 簡単にする。
Add the numerator to the product. その積に分子をたす。
The numerator of the mixed number is 2. 帯分数の分子は2である。
Simplify. 簡単にする。
Write the final sum over the original denominator. 最後に得た和を、元の分母の上に書く。
The denominator is 3. 分母は3である。	$\frac{14}{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.12例題 4.12

Convert the mixed number

10 \frac{2}{7}

to an improper fraction.

帯分数

10 \frac{2}{7}

を仮分数に直す。

Solution解答

	$10 \frac{2}{7}$
Multiply the whole number by the denominator. 整数部分に分母をかける。
The whole number is 10 and the denominator is 7. 整数部分は10、分母は7である。
Simplify. 簡単にする。
Add the numerator to the product. その積に分子をたす。
The numerator of the mixed number is 2. 帯分数の分子は2である。
Simplify. 簡単にする。
Write the final sum over the original denominator. 最後に得た和を、元の分母の上に書く。
The denominator is 7. 分母は7である。	$\frac{72}{7}$

Try It (2)確認問題（2題）