第4章分数

4.5 Add and Subtract Fractions with Different Denominators4.5　分母の異なる分数のたし算とひき算

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

この節を終えると、次のことができるようになる。

Find the least common denominator (LCD)
最小公分母（LCD）を求める
Convert fractions to equivalent fractions with the LCD
最小公分母を使って大きさの等しい分数に直す
Add and subtract fractions with different denominators
分母が異なる分数のたし算とひき算をする
Identify and use fraction operations
分数の演算を見分けて使う
Use the order of operations to simplify complex fractions
計算の順序に従って繁分数を簡単にする
Evaluate variable expressions with fractions
分数を含む文字式の値を求める

Before You Begin (2)準備問題（2題）

Find the Least Common Denominator最小公分母を求める

In the previous section, we explained how to add and subtract fractions with a common denominator. But how can we add and subtract fractions with unlike denominators?

英語のヒント

前の節では、分母が同じ分数のたし算とひき算を説明した。では、分母が異なる分数は、どのようにたしたり引いたりすればよいだろうか。

Let’s think about coins again. Can you add one quarter and one dime? You could say there are two coins, but that’s not very useful. To find the total value of one quarter plus one dime, you change them to the same kind of unit—cents. One quarter equals

25

cents and one dime equals

10

cents, so the sum is

35

cents. See Figure 4.7.

英語のヒント

もう一度硬貨で考えよう。クォーター硬貨1枚とダイム硬貨1枚をたせるだろうか。硬貨が2枚あるとはいえるが、それではあまり役に立たない。合計の金額を求めるには、どちらもセントという同じ種類の単位に直す。クォーター硬貨1枚は

25

セント、ダイム硬貨1枚は

10

セントなので、合計は

35

セントである。図4.7を参照せよ。

クォーター硬貨とダイム硬貨が示されている。その下に25セントたす10セント、さらに下に35セントと書かれている。 — Figure 4.7図 4.7
Together, a quarter and a dime are worth $35$ cents, or $\frac{35}{100}$ of a dollar.
クォーター硬貨とダイム硬貨を合わせると、 $35$ セント、つまり $\frac{35}{100}$ ドルの価値になる。

Similarly, when we add fractions with different denominators we have to convert them to equivalent fractions with a common denominator. With the coins, when we convert to cents, the denominator is

100 .

Since there are

100

cents in one dollar,

25

cents is

\frac{25}{100}

and

10

cents is

\frac{10}{100} .

So we add

\frac{25}{100} + \frac{10}{100}

to get

\frac{35}{100},

which is

35

cents.

同じように、分母が異なる分数をたすときは、分母が共通で、それぞれ元の分数と大きさが等しい分数に直す必要がある。硬貨をセントに直す場合、分母は

100

である。1ドルは

100

セントなので、

25

セントは

\frac{25}{100}

ドル、

10

セントは

\frac{10}{100}

ドルである。そこで

\frac{25}{100} + \frac{10}{100}

をたすと

\frac{35}{100}

ドル、つまり

35

セントになる。

You have practiced adding and subtracting fractions with common denominators. Now let’s see what you need to do with fractions that have different denominators.

分母が同じ分数のたし算とひき算を練習してきた。次は、分母が異なる分数をどう扱えばよいか見ていこう。

First, we will use fraction tiles to model finding the common denominator of

\frac{1}{2}

and

\frac{1}{3} .

まず、分数タイルを使い、

\frac{1}{2}

と

\frac{1}{3}

の共通の分母を求める方法をモデルで表す。

We’ll start with one

\frac{1}{2}

tile and

\frac{1}{3}

tile. We want to find a common fraction tile that we can use to match both

\frac{1}{2}

and

\frac{1}{3}

exactly.

\frac{1}{2}

のタイル1枚と

\frac{1}{3}

のタイル1枚から始める。

\frac{1}{2}

と

\frac{1}{3}

のどちらにもぴったり合わせられる、共通の分数タイルを見つけたい。

If we try the

\frac{1}{4}

pieces,

2

of them exactly match the

\frac{1}{2}

piece, but they do not exactly match the

\frac{1}{3}

piece.

\frac{1}{4}

のピースを試すと、

2

枚で

\frac{1}{2}

のピースにはぴったり合うが、

\frac{1}{3}

のピースにはぴったり合わない。

長方形が2つ横に並んでいる。1つ目には2分の1、より短い2つ目には3分の1と記されている。1つ目の下には同じ大きさの長方形が縦に2つに分けられ、各部分に4分の1と記されている。2つ目の下には4分の1と記された部分が2つあり、合わせると3分の1の長方形より長い。

If we try the

\frac{1}{5}

pieces, they do not exactly cover the

\frac{1}{2}

piece or the

\frac{1}{3}

piece.

\frac{1}{5}

のピースを試すと、

\frac{1}{2}

のピースも

\frac{1}{3}

のピースもぴったり覆うことはできない。

長方形が2つ横に並んでいる。1つ目には2分の1、より短い2つ目には3分の1と記されている。1つ目の下には同じ大きさの長方形が縦に3つに分けられ、各部分に6分の1と記されている。2つ目の下には同じ大きさの長方形が縦に2つに分けられ、各部分に6分の1と記されている。

If we try the

\frac{1}{6}

pieces, we see that exactly

3

of them cover the

\frac{1}{2}

piece, and exactly

2

of them cover the

\frac{1}{3}

piece.

\frac{1}{6}

のピースを試すと、

3

枚で

\frac{1}{2}

のピースを、

2

枚で

\frac{1}{3}

のピースを、それぞれぴったり覆うことができる。

長方形が2つ横に並んでいる。1つ目には2分の1、より短い2つ目には3分の1と記されている。1つ目の下には5分の1と記された小さな長方形が3つあり、合わせると2分の1の長方形より長い。3分の1の長方形の下には5分の1と記された小さな長方形が2つあり、合わせると3分の1の長方形より長い。

If we were to try the

\frac{1}{12}

pieces, they would also work.

\frac{1}{12}

のピースを試しても、うまくいく。

長方形が2つ横に並んでいる。1つ目には2分の1、より短い2つ目には3分の1と記されている。1つ目の下には同じ大きさの長方形が縦に6つに分けられ、各部分に12分の1と記されている。2つ目の下には同じ大きさの長方形が縦に4つに分けられ、各部分に12分の1と記されている。

Even smaller tiles, such as

\frac{1}{24}

and

\frac{1}{48},

would also exactly cover the

\frac{1}{2}

piece and the

\frac{1}{3}

piece.

\frac{1}{24}

や

\frac{1}{48}

などのさらに小さいタイルでも、

\frac{1}{2}

のピースと

\frac{1}{3}

のピースをぴったり覆うことができる。

The denominator of the largest piece that covers both fractions is the least common denominator (LCD) of the two fractions. So, the least common denominator of

\frac{1}{2}

and

\frac{1}{3}

6 .

英語のヒント

両方の分数を覆える最大のピースの分母が、その2つの分数の最小公分母（LCD）である。したがって、

\frac{1}{2}

と

\frac{1}{3}

の最小公分母は

6

である。

Notice that all of the tiles that cover

\frac{1}{2}

and

\frac{1}{3}

have something in common: Their denominators are common multiples of

2

and

3,

the denominators of

\frac{1}{2}

and

\frac{1}{3} .

The least common multiple (LCM) of the denominators is

6,

and so we say that

6

is the least common denominator (LCD) of the fractions

\frac{1}{2}

and

\frac{1}{3} .

英語のヒント

\frac{1}{2}

と

\frac{1}{3}

を覆えるタイルには、ある共通点がある。その分母がすべて、

\frac{1}{2}

と

\frac{1}{3}

の分母である

2

と

3

の公倍数になっている。分母の最小公倍数（LCM）は

6

なので、

6

が分数

\frac{1}{2}

と

\frac{1}{3}

の最小公分母（LCD）であるという。

Additional Resources追加教材

To find the LCD of two fractions, we will find the LCM of their denominators. We follow the procedure we used earlier to find the LCM of two numbers. We only use the denominators of the fractions, not the numerators, when finding the LCD.

2つの分数の最小公分母を求めるには、その分母どうしの最小公倍数を求める。以前、2つの数の最小公倍数を求めたときの手順に従う。最小公分母を求めるときに使うのは分母だけで、分子は使わない。

Example 4.63例題 4.63

Find the LCD for the fractions

\frac{7}{12}

and

\frac{5}{18} .

分数

\frac{7}{12}

と

\frac{5}{18}

の最小公分母を求めよ。

Solution解答

Factor each denominator into its primes. それぞれの分母を素因数分解する。
List the primes of 12 and the primes of 18 lining them up in columns when possible. 12と18の素因数を、できるだけ同じ素数が同じ列に並ぶように書く。
Bring down the columns. 各列の数を下に書き下ろす。
Multiply the factors. The product is the LCM. 因数をかけ合わせる。その積が最小公倍数である。	LCM $= 36$ 最小公倍数 $= 36$
The LCM of 12 and 18 is 36, so the LCD of $\frac{7}{12}$ and $\frac{5}{18}$ is 36. 12と18の最小公倍数は36なので、 $\frac{7}{12}$ と $\frac{5}{18}$ の最小公分母は36である。	LCD of $\frac{7}{12}$ and $\frac{5}{18}$ is 36. $\frac{7}{12}$ と $\frac{5}{18}$ の最小公分母は36である。

Try It (2)確認問題（2題）

To find the LCD of two fractions, find the LCM of their denominators. Notice how the steps shown below are similar to the steps we took to find the LCM.

2つの分数の最小公分母を求めるには、その分母どうしの最小公倍数を求める。次の手順が、最小公倍数を求めたときの手順に似ていることに注目しよう。

Example 4.64例題 4.64

Find the least common denominator for the fractions

\frac{8}{15}

and

\frac{11}{24} .

分数

\frac{8}{15}

と

\frac{11}{24}

の最小公分母を求めよ。

Solution解答

To find the LCD, we find the LCM of the denominators.

最小公分母を求めるため、分母どうしの最小公倍数を求める。

Find the LCM of

15

and

24 .

15

と

24

の最小公倍数を求める。

一番上の行に15＝3×5、次の行に24＝2×2×2×3とある。3は縦にそろえられている。次の行に最小公倍数＝2×2×2×3×5、最後の行に最小公倍数＝120とある。

The LCM of

15

and

24

120 .

So, the LCD of

\frac{8}{15}

and

\frac{11}{24}

120 .

15

と

24

の最小公倍数は

120

である。したがって、

\frac{8}{15}

と

\frac{11}{24}

の最小公分母は

120

である。

Try It (2)確認問題（2題）

第4章分数

4.5 Add and Subtract Fractions with Different Denominators4.5 分母の異なる分数のたし算とひき算

Learning Objectives学習目標

Find the Least Common Denominator最小公分母を求める

Solution解答

Solution解答

4.5 Add and Subtract Fractions with Different Denominators4.5　分母の異なる分数のたし算とひき算