第4章分数

Identify and Use Fraction Operations分数の演算を見分けて使う

By now in this chapter, you have practiced multiplying, dividing, adding, and subtracting fractions. The following table summarizes these four fraction operations. Remember: You need a common denominator to add or subtract fractions, but not to multiply or divide fractions

この章では、ここまでに分数のかけ算、わり算、たし算、ひき算を練習した。次の表に、この4つの演算をまとめる。分数をたしたり引いたりするときは共通の分母が必要だが、かけたり割ったりするときには必要ないことを覚えておこう。

Summary of Fraction Operations分数の演算のまとめ

Fraction multiplication: Multiply the numerators and multiply the denominators.

分数のかけ算：分子どうしをかけ、分母どうしをかける。

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}

Fraction division: Multiply the first fraction by the reciprocal of the second.

分数のわり算：最初の分数に、2番目の分数の逆数をかける。

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

Fraction addition: Add the numerators and place the sum over the common denominator. If the fractions have different denominators, first convert them to equivalent forms with the LCD.

分数のたし算：分子どうしをたし、その和を共通の分母の上に書く。分母が異なる場合は、先に最小公分母を使って大きさの等しい形に直す。

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}

Fraction subtraction: Subtract the numerators and place the difference over the common denominator. If the fractions have different denominators, first convert them to equivalent forms with the LCD.

分数のひき算：分子どうしを引き、その差を共通の分母の上に書く。分母が異なる場合は、先に最小公分母を使って大きさの等しい形に直す。

\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}

Example 4.73例題 4.73

Simplify:

簡単にせよ。

ⓐ $- \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$
ⓑ $- \frac{1}{4} \div \frac{1}{6}$

Solution解答

First we ask ourselves, “What is the operation?”

まず、「どの演算なのか」を考える。

ⓐ The operation is addition.

ⓐ 演算はたし算である。

Do the fractions have a common denominator? No.

分母は共通しているか。していない。

	$- \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$
Find the LCD. 最小公分母を求める。
Rewrite each fraction as an equivalent fraction with the LCD. 各分数を、最小公分母を分母とする大きさの等しい分数に書き直す。
Simplify the numerators and denominators. 分子と分母をそれぞれ簡単にする。	$- \frac{3}{12} + \frac{2}{12}$
Add the numerators and place the sum over the common denominator. 分子どうしをたし、その和を共通の分母の上に書く。	$- \frac{1}{12}$
Check to see if the answer can be simplified. It cannot. 答えをさらに簡単にできるか確かめる。これ以上簡単にはできない。

ⓑ The operation is division. We do not need a common denominator.

ⓑ 演算はわり算である。共通の分母は必要ない。

	$- \frac{1}{4} \div \frac{1}{6}$
To divide fractions, multiply the first fraction by the reciprocal of the second. 分数のわり算では、最初の分数に2番目の分数の逆数をかける。	$- \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{1}$
Multiply. 掛ける。	$- \frac{6}{4}$
Simplify. 簡単にする。	$- \frac{3}{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.74例題 4.74

Simplify:

簡単にせよ。

ⓐ $\frac{5 x}{6} - \frac{3}{10}$
ⓑ $\frac{5 x}{6} \cdot \frac{3}{10}$

Solution解答

ⓐ The operation is subtraction. The fractions do not have a common denominator.

ⓐ 演算はひき算である。分母は共通していない。

	$\frac{5 x}{6} - \frac{3}{10}$
Rewrite each fraction as an equivalent fraction with the LCD, 30. 各分数を、最小公分母30を分母とする大きさの等しい分数に書き直す。	$\frac{5 x \cdot 5}{6 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3}$
	$\frac{25 x}{30} - \frac{9}{30}$
Subtract the numerators and place the difference over the common denominator. 分子どうしを引き、その差を共通の分母の上に書く。	$\frac{25 x - 9}{30}$

ⓑ The operation is multiplication; no need for a common denominator.

ⓑ 演算はかけ算である。共通の分母は必要ない。

	$\frac{5 x}{6} \cdot \frac{3}{10}$
To multiply fractions, multiply the numerators and multiply the denominators. 分数をかけるには、分子どうしをかけ、分母どうしをかける。	$\frac{5 x \cdot 3}{6 \cdot 10}$
Rewrite, showing common factors. 共通の因数が分かるように書き直す。	$\frac{5 \cdot x \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5}$
Remove common factors to simplify. 共通の因数を取り除いて約分する。	$\frac{x}{4}$

Try It (2)確認問題（2題）

Use the Order of Operations to Simplify Complex Fractions計算の順序に従って繁分数を簡単にする

In Multiply and Divide Mixed Numbers and Complex Fractions, we saw that a complex fraction is a fraction in which the numerator or denominator contains a fraction. We simplified complex fractions by rewriting them as division problems. For example,

「帯分数のかけ算・わり算と繁分数」では、繁分数が分子または分母に分数を含む分数であることを学んだ。繁分数をわり算の問題に書き直して簡単にした。例えば、

\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{3}{4} \div \frac{5}{8}

Now we will look at complex fractions in which the numerator or denominator can be simplified. To follow the order of operations, we simplify the numerator and denominator separately first. Then we divide the numerator by the denominator.

次に、分子や分母を簡単にできる繁分数を考える。計算の順序に従い、まず分子と分母をそれぞれ簡単にする。その後、分子を分母で割る。

Example 4.75例題 4.75

Simplify:

\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 + 3^{2}} .

次の式を簡単にする：

\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 + 3^{2}}

Solution解答

	$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 + 3^{2}}$
Simplify the numerator. 分子を簡単にする。	$\frac{\frac{1}{4}}{4 + 3^{2}}$
Simplify the term with the exponent in the denominator. 分母にある累乗を含む項を簡単にする。	$\frac{\frac{1}{4}}{4 + 9}$
Add the terms in the denominator. 分母の項をたす。	$\frac{\frac{1}{4}}{13}$
Divide the numerator by the denominator. 分子を分母で割る。	$\frac{1}{4} \div 13$
Rewrite as multiplication by the reciprocal. 逆数をかける形に書き直す。	$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{13}$
Multiply. 掛ける。	$\frac{1}{52}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.76例題 4.76

Simplify:

\frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}{\frac{3}{4} - \frac{1}{6}} .

次の式を簡単にする：

\frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}{\frac{3}{4} - \frac{1}{6}}

Solution解答

	$\frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}{\frac{3}{4} - \frac{1}{6}}$
Rewrite numerator with the LCD of 6 and denominator with LCD of 12. 分子は最小公分母6を、分母は最小公分母12を使って書き直す。	$\frac{\frac{3}{6} + \frac{4}{6}}{\frac{9}{12} - \frac{2}{12}}$
Add in the numerator. Subtract in the denominator. 分子ではたし算をし、分母ではひき算をする。	$\frac{\frac{7}{6}}{\frac{7}{12}}$
Divide the numerator by the denominator. 分子を分母で割る。	$\frac{7}{6} \div \frac{7}{12}$
Rewrite as multiplication by the reciprocal. 逆数をかける形に書き直す。	$\frac{7}{6} \cdot \frac{12}{7}$
Rewrite, showing common factors. 共通の因数が分かるように書き直す。	$\frac{7 \cdot 6 \cdot 2}{6 \cdot 7 \cdot 1}$
Simplify. 簡単にする。	2

Try It (2)確認問題（2題）

Evaluate Variable Expressions with Fractions分数を含む文字式の値を求める

We have evaluated expressions before, but now we can also evaluate expressions with fractions. Remember, to evaluate an expression, we substitute the value of the variable into the expression and then simplify.

英語のヒント

これまでも式の値を求めてきたが、これからは分数を含む式の値も求められる。式の値を求めるには、変数の値を式に代入してから簡単にすることを思い出そう。

Example 4.77例題 4.77

Evaluate

x + \frac{1}{3}

when

次の場合に

x + \frac{1}{3}

の値を求めよ。

ⓐ $x = - \frac{1}{3}$
ⓑ $x = - \frac{3}{4} .$

Solution解答

ⓐ To evaluate

x + \frac{1}{3}

when

x = - \frac{1}{3},

substitute

- \frac{1}{3}

for

x

in the expression.

ⓐ

x = - \frac{1}{3}

のときの

x + \frac{1}{3}

の値を求めるには、式の

x

に

- \frac{1}{3}

を代入する。

	$x + \frac{1}{3}$

Simplify. 簡単にする。	$0$

ⓑ To evaluate

x + \frac{1}{3}

when

x = - \frac{3}{4},

we substitute

- \frac{3}{4}

for

x

in the expression.

ⓑ

x = - \frac{3}{4}

のときの

x + \frac{1}{3}

の値を求めるには、式の

x

に

- \frac{3}{4}

を代入する。

	$x + \frac{1}{3}$

Rewrite as equivalent fractions with the LCD, 12. 最小公分母12を使い、大きさの等しい分数に書き直す。	$- \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4}$
Simplify the numerators and denominators. 分子と分母をそれぞれ簡単にする。	$- \frac{9}{12} + \frac{4}{12}$
Add. 足す。	$- \frac{5}{12}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.78例題 4.78

Evaluate

y - \frac{5}{6}

when

y = - \frac{2}{3} .

y = - \frac{2}{3}

のとき、

y - \frac{5}{6}

の値を求めよ。

Solution解答

We substitute

- \frac{2}{3}

for

y

in the expression.

式の

y

に

- \frac{2}{3}

を代入する。

	$y - \frac{5}{6}$

Rewrite as equivalent fractions with the LCD, 6. 最小公分母6を使い、大きさの等しい分数に書き直す。	$- \frac{4}{6} - \frac{5}{6}$
Subtract. 引く。	$- \frac{9}{6}$
Simplify. 簡単にする。	$- \frac{3}{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.79例題 4.79

Evaluate

2 x^{2} y

when

x = \frac{1}{4}

and

y = - \frac{2}{3} .

x = \frac{1}{4}

かつ

y = - \frac{2}{3}

のとき、

2 x^{2} y

の値を求めよ。

Solution解答

Substitute the values into the expression. In

2 x^{2} y,

the exponent applies only to

x .

式に値を代入する。

2 x^{2} y

では、指数は

x

だけにかかる。



Simplify exponents first. まず累乗を計算する。
Multiply. The product will be negative. かけ算をする。積は負になる。
Simplify. 簡単にする。
Remove the common factors. 共通の因数を取り除く。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.80例題 4.80

Evaluate

\frac{p + q}{r}

when

p = −4, q = −2,

and

r = 8 .

p = −4, q = −2

かつ

r = 8

のとき、

\frac{p + q}{r}

の値を求めよ。

Solution解答

We substitute the values into the expression and simplify.

式に値を代入して簡単にする。

	$\frac{p + q}{r}$

Add in the numerator first. まず分子のたし算をする。	$- \frac{6}{8}$
Simplify. 簡単にする。	$- \frac{3}{4}$

Try It (2)確認問題（2題）