第4章分数

Simplify Complex Fractions繁分数を簡単にする

Our work with fractions so far has included proper fractions, improper fractions, and mixed numbers. Another kind of fraction is called complex fraction, which is a fraction in which the numerator or the denominator contains a fraction.

英語のヒント

ここまで、真分数、仮分数、帯分数を扱ってきた。別の種類の分数として繁分数がある。これは、分子または分母に分数を含む分数である。

Some examples of complex fractions are:

繁分数の例をいくつか示す。

\frac{\frac{6}{7}}{3} \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}} \frac{\frac{x}{2}}{\frac{5}{6}}

To simplify a complex fraction, remember that the fraction bar means division. So the complex fraction

\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}

can be written as

\frac{3}{4} \div \frac{5}{8} .

繁分数を簡単にするには、分数線がわり算を意味することを思い出そう。したがって、繁分数

\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}

は

\frac{3}{4} \div \frac{5}{8}

と書ける。

Example 4.43例題 4.43

Simplify:

\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}} .

次の式を簡単にする：

\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}

Solution解答

	$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}}$
Rewrite as division. わり算の形に書き直す。	$\frac{3}{4} \div \frac{5}{8}$
Multiply the first fraction by the reciprocal of the second. 1つ目の分数に、2つ目の分数の逆数を掛ける。	$\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5}$
Multiply. 掛ける。	$\frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 5}$
Look for common factors. 共通の因数を探す。	$\frac{3 \cdot 4̸ \cdot 2}{4̸ \cdot 5}$
Remove common factors and simplify. 共通の因数を取り除いて簡単にする。	$\frac{6}{5}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.44例題 4.44

Simplify:

\frac{- \frac{6}{7}}{3} .

次の式を簡単にする：

\frac{- \frac{6}{7}}{3}

Solution解答

	$\frac{- \frac{6}{7}}{3}$
Rewrite as division. わり算の形に書き直す。	$- \frac{6}{7} \div 3$
Multiply the first fraction by the reciprocal of the second. 1つ目の分数に、2つ目の分数の逆数を掛ける。	$- \frac{6}{7} \cdot \frac{1}{3}$
Multiply; the product will be negative. かけ算をする。積は負になる。	$- \frac{6 \cdot 1}{7 \cdot 3}$
Look for common factors. 共通の因数を探す。	$- \frac{3̸ \cdot 2 \cdot 1}{7 \cdot 3̸}$
Remove common factors and simplify. 共通の因数を取り除いて簡単にする。	$- \frac{2}{7}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.45例題 4.45

Simplify:

\frac{\frac{x}{2}}{\frac{x y}{6}} .

次の式を簡単にする：

\frac{\frac{x}{2}}{\frac{x y}{6}}

Solution解答

	$\frac{\frac{x}{2}}{\frac{x y}{6}}$
Rewrite as division. わり算の形に書き直す。	$\frac{x}{2} \div \frac{x y}{6}$
Multiply the first fraction by the reciprocal of the second. 1つ目の分数に、2つ目の分数の逆数を掛ける。	$\frac{x}{2} \cdot \frac{6}{x y}$
Multiply. 掛ける。	$\frac{x \cdot 6}{2 \cdot x y}$
Look for common factors. 共通の因数を探す。	$\frac{x̸ \cdot 3 \cdot 2̸}{2̸ \cdot x̸ \cdot y}$
Remove common factors and simplify. 共通の因数を取り除いて簡単にする。	$\frac{3}{y}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.46例題 4.46

Simplify:

\frac{2 \frac{3}{4}}{\frac{1}{8}} .

次の式を簡単にする：

\frac{2 \frac{3}{4}}{\frac{1}{8}}

Solution解答

	$\frac{2 \frac{3}{4}}{\frac{1}{8}}$
Rewrite as division. わり算の形に書き直す。	$2 \frac{3}{4} \div \frac{1}{8}$
Change the mixed number to an improper fraction. 帯分数を仮分数に直す。	$\frac{11}{4} \div \frac{1}{8}$
Multiply the first fraction by the reciprocal of the second. 1つ目の分数に、2つ目の分数の逆数を掛ける。	$\frac{11}{4} \cdot \frac{8}{1}$
Multiply. 掛ける。	$\frac{11 \cdot 8}{4 \cdot 1}$
Look for common factors. 共通の因数を探す。	$\frac{11 \cdot 4̸ \cdot 2}{4̸ \cdot 1}$
Remove common factors and simplify. 共通の因数を取り除いて簡単にする。	$22$

Try It (2)確認問題（2題）

Simplify Expressions with a Fraction Bar分数線を含む式を簡単にする

Where does the negative sign go in a fraction? Usually, the negative sign is placed in front of the fraction, but you will sometimes see a fraction with a negative numerator or denominator. Remember that fractions represent division. The fraction

- \frac{1}{3}

could be the result of dividing

\frac{−1}{3},

a negative by a positive, or of dividing

\frac{1}{−3},

a positive by a negative. When the numerator and denominator have different signs, the quotient is negative.

分数の負の符号はどこに置くのだろうか。通常は分数全体の前に置くが、分子や分母が負の分数を目にすることもある。分数がわり算を表すことを思い出そう。分数

- \frac{1}{3}

は、負の数を正の数で割る

\frac{−1}{3}

の結果でも、正の数を負の数で割る

\frac{1}{−3}

の結果でもありうる。分子と分母の符号が異なると、商は負になる。

If both the numerator and denominator are negative, then the fraction itself is positive because we are dividing a negative by a negative.

英語のヒント

分子と分母がどちらも負ならば、負の数を負の数で割るので、分数自体は正になる。

\frac{−1}{−3} = \frac{1}{3} \frac{negative}{negative} = positive

\frac{−1}{−3} = \frac{1}{3} \frac{負}{負} = 正

Example 4.47例題 4.47

Which of the following fractions are equivalent to

\frac{7}{−8} ?

次の分数のうち、

\frac{7}{−8}

と大きさが等しいものはどれか。

\frac{−7}{−8}, \frac{−7}{8}, \frac{7}{8}, - \frac{7}{8}

Solution解答

The quotient of a positive and a negative is a negative, so

\frac{7}{−8}

is negative. Of the fractions listed,

\frac{−7}{8}

and

- \frac{7}{8}

are also negative.

正の数を負の数で割った商は負なので、

\frac{7}{−8}

は負である。挙げられた分数のうち、

\frac{−7}{8}

と

- \frac{7}{8}

も負である。

Try It (2)確認問題（2題）

Fraction bars act as grouping symbols. The expressions above and below the fraction bar should be treated as if they were in parentheses. For example,

\frac{4 + 8}{5 - 3}

means

(4 + 8) \div (5 - 3) .

The order of operations tells us to simplify the numerator and the denominator first—as if there were parentheses—before we divide.

英語のヒント

分数線は、式をひとまとまりにする記号として働く。分数線の上と下にある式は、それぞれ括弧で囲まれているものとして扱う。例えば、

\frac{4 + 8}{5 - 3}

は

(4 + 8) \div (5 - 3)

を意味する。計算の順序に従い、括弧がある場合と同じように、まず分子と分母を簡単にしてからわり算をする。

We’ll add fraction bars to our set of grouping symbols from Use the Language of Algebra to have a more complete set here.

「代数の言葉を使う」で扱った式をひとまとまりにする記号に、ここでは分数線も加え、より完全な一覧にする。

Example 4.48例題 4.48

Simplify:

\frac{4 + 8}{5 - 3} .

次の式を簡単にする：

\frac{4 + 8}{5 - 3}

Solution解答

	$\frac{4 + 8}{5 - 3}$
Simplify the expression in the numerator. 分子の式を簡単にする。	$\frac{12}{5 - 3}$
Simplify the expression in the denominator. 分母の式を簡単にする。	$\frac{12}{2}$
Simplify the fraction. 分数を約分する。	6

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.49例題 4.49

Simplify:

\frac{4 - 2 (3)}{2^{2} + 2} .

次の式を簡単にする：

\frac{4 - 2 (3)}{2^{2} + 2}

Solution解答

	$\frac{4 - 2 (3)}{2^{2} + 2}$
Use the order of operations. Multiply in the numerator and use the exponent in the denominator. 計算の順序に従う。分子ではかけ算をし、分母では累乗を計算する。	$\frac{4 - 6}{4 + 2}$
Simplify the numerator and the denominator. 分子と分母を簡単にする。	$\frac{−2}{6}$
Simplify the fraction. 分数を約分する。	$- \frac{1}{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.50例題 4.50

Simplify:

\frac{{(8 - 4)}^{2}}{8^{2} - 4^{2}} .

次の式を簡単にする：

\frac{{(8 - 4)}^{2}}{8^{2} - 4^{2}}

Solution解答

	$\frac{{(8 - 4)}^{2}}{8^{2} - 4^{2}}$
Use the order of operations (parentheses first, then exponents). 計算の順序に従う（まず括弧内、次に累乗）。	$\frac{{(4)}^{2}}{64 - 16}$
Simplify the numerator and denominator. 分子と分母を簡単にする。	$\frac{16}{48}$
Simplify the fraction. 分数を約分する。	$\frac{1}{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 4.51例題 4.51

Simplify:

\frac{4 (−3) + 6 (−2)}{−3 (2) −2} .

次の式を簡単にする：

\frac{4 (−3) + 6 (−2)}{−3 (2) −2}

Solution解答

	$\frac{4 (−3) + 6 (−2)}{−3 (2) −2}$
Multiply. 掛ける。	$\frac{−12 + (−12)}{−6 - 2}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{−24}{−8}$
Divide. 割る。	$3$

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

Multiply or divide mixed numbers.
帯分数のかけ算やわり算をする。
1. Convert the mixed numbers to improper fractions.
  帯分数を仮分数に直す。
2. Follow the rules for fraction multiplication or division.
  分数のかけ算またはわり算の規則に従う。
3. Simplify if possible.
  できる場合は簡単にする。
Simplify a complex fraction.
繁分数を簡単にする。
1. Rewrite the complex fraction as a division problem.
  繁分数をわり算の問題に書き直す。
2. Follow the rules for dividing fractions.
  分数のわり算の規則に従う。
3. Simplify if possible.
  できる場合は簡単にする。
Placement of negative sign in a fraction.
分数の負の符号を置く位置。
- For any positive numbers $a$ and $b$ , $\frac{- a}{b} = \frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}$ .
  任意の正の数 $a$ と $b$ について、 $\frac{- a}{b} = \frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}$ である。
Simplify an expression with a fraction bar.
分数線を含む式を簡単にする。
1. Simplify the numerator.
  分子を簡単にする。
2. Simplify the denominator.
  分母を簡単にする。
3. Simplify the fraction.
  分数を約分する。