第4章分数

4.2 Multiply and Divide Fractions4.2　分数のかけ算とわり算

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

この節を終えると、次のことができるようになる。

Simplify fractions
分数を約分する
Multiply fractions
分数のかけ算をする
Find reciprocals
逆数を求める
Divide fractions
分数のわり算をする

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Simplify Fractions分数を約分する

In working with equivalent fractions, you saw that there are many ways to write fractions that have the same value, or represent the same part of the whole. How do you know which one to use? Often, we’ll use the fraction that is in simplified form.

大きさの等しい分数を扱う中で、同じ値を持つ分数、つまり全体の同じ部分を表す分数には、さまざまな書き方があることが分かった。どれを使えばよいのだろうか。多くの場合、約分した形の分数を使う。

A fraction is considered simplified if there are no common factors, other than

1,

in the numerator and denominator. If a fraction does have common factors in the numerator and denominator, we can reduce the fraction to its simplified form by removing the common factors.

分子と分母に

1

以外の共通の因数がない分数は、約分された分数とみなされる。分子と分母に共通の因数がある場合は、それを取り除いて約分できる。

For example,

例えば、

$\frac{2}{3}$ is simplified because there are no common factors of $2$ and $3 .$
$2$ と $3$ に共通の因数がないので、 $\frac{2}{3}$ は約分されている。
$\frac{10}{15}$ is not simplified because $5$ is a common factor of $10$ and $15 .$
$5$ が $10$ と $15$ の共通の因数なので、 $\frac{10}{15}$ は約分されていない。

The process of simplifying a fraction is often called reducing the fraction. In the previous section, we used the Equivalent Fractions Property to find equivalent fractions. We can also use the Equivalent Fractions Property in reverse to simplify fractions. We rewrite the property to show both forms together.

英語のヒント

分数を簡単な形にする操作は、約分と呼ばれる。前の節では、大きさの等しい分数の性質を使い、大きさの等しい分数を求めた。この性質を逆向きに使えば、分数を約分することもできる。両方の形をまとめて示すと次のようになる。

Notice that

c

is a common factor in the numerator and denominator. Anytime we have a common factor in the numerator and denominator, it can be removed.

c

は分子と分母に共通する因数である。分子と分母に共通の因数があれば、いつでも取り除くことができる。

Example 4.19例題 4.19

Simplify:

\frac{10}{15} .

次の式を簡単にする：

\frac{10}{15}

Solution解答

To simplify the fraction, we look for any common factors in the numerator and the denominator.

分数を約分するため、分子と分母の共通の因数を探す。

Notice that 5 is a factor of both 10 and 15. 5は10と15のどちらの因数でもある。	$\frac{10}{15}$
Factor the numerator and denominator. 分子と分母を因数に分解する。
Remove the common factors. 共通の因数を取り除く。
Simplify. 簡単にする。	$\frac{2}{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

To simplify a negative fraction, we use the same process as in Example 4.19. Remember to keep the negative sign.

英語のヒント

負の分数を約分するには、例4.19と同じ手順を使う。負の符号を残すことを忘れないようにしよう。

Example 4.20例題 4.20

Simplify:

- \frac{18}{24} .

次の式を簡単にする：

- \frac{18}{24}

Solution解答

We notice that 18 and 24 both have factors of 6. 18と24はどちらも6を因数に持つ。	$- \frac{18}{24}$
Rewrite the numerator and denominator showing the common factor. 共通の因数が分かるように、分子と分母を書き直す。
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。
Simplify. 簡単にする。	$- \frac{3}{4}$

Try It (2)確認問題（2題）

After simplifying a fraction, it is always important to check the result to make sure that the numerator and denominator do not have any more factors in common. Remember, the definition of a simplified fraction: a fraction is considered simplified if there are no common factors in the numerator and denominator.

英語のヒント

約分した後は、分子と分母にこれ以上共通の因数がないことを、必ず確かめることが大切である。約分された分数の定義を思い出そう。分子と分母に共通の因数がない分数は、約分された分数とみなされる。

When we simplify an improper fraction, there is no need to change it to a mixed number.

仮分数を約分するときは、帯分数に直す必要はない。

Example 4.21例題 4.21

Simplify:

- \frac{56}{32} .

次の式を簡単にする：

- \frac{56}{32}

Solution解答

	$- \frac{56}{32}$
Rewrite the numerator and denominator, showing the common factors, 8. 共通の因数8が分かるように、分子と分母を書き直す。
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。
Simplify. 簡単にする。	$- \frac{7}{4}$

Try It (2)確認問題（2題）

Sometimes it may not be easy to find common factors of the numerator and denominator. A good idea, then, is to factor the numerator and the denominator into prime numbers. (You may want to use the factor tree method to identify the prime factors.) Then divide out the common factors using the Equivalent Fractions Property.

英語のヒント

分子と分母の共通の因数が、簡単には見つからないこともある。その場合は、分子と分母を素因数分解するとよい。（素因数を求めるには、因数分解の樹形図を使ってもよい。）その後、大きさの等しい分数の性質を使い、共通の因数で割って取り除く。

Example 4.22例題 4.22

Simplify:

\frac{210}{385} .

次の式を簡単にする：

\frac{210}{385}

Solution解答

Use factor trees to factor the numerator and denominator. 因数分解の樹形図を使い、分子と分母を因数に分解する。	$\frac{210}{385}$
Rewrite the numerator and denominator as the product of the primes. 分子と分母を、素数の積として書き直す。	$\frac{210}{385} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{5 \cdot 7 \cdot 11}$
Remove the common factors. 共通の因数を取り除く。
Simplify. 簡単にする。	$\frac{2 \cdot 3}{11}$
Multiply any remaining factors. 残った因数をかけ合わせる。	$\frac{6}{11}$

Try It (2)確認問題（2題）

We can also simplify fractions containing variables. If a variable is a common factor in the numerator and denominator, we remove it just as we do with an integer factor.

変数を含む分数も約分できる。分子と分母に共通の因数として変数が含まれていれば、整数の因数と同じように取り除く。

Example 4.23例題 4.23

Simplify:

\frac{5 x y}{15 x} .

次の式を簡単にする：

\frac{5 x y}{15 x}

Solution解答

	$\frac{5 x y}{15 x}$
Rewrite numerator and denominator showing common factors. 共通の因数が分かるように、分子と分母を書き直す。	$\frac{5 \cdot x \cdot y}{3 \cdot 5 \cdot x}$
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。	$\frac{5 \cdot x \cdot y}{3 \cdot 5 \cdot x}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{y}{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

第4章分数

4.2 Multiply and Divide Fractions4.2 分数のかけ算とわり算

Learning Objectives学習目標

Simplify Fractions分数を約分する

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

4.2 Multiply and Divide Fractions4.2　分数のかけ算とわり算