付録Appendices

In astronomy (and other sciences), it is often necessary to deal with very large or very small numbers. In fact, when numbers become truly large in everyday life, such as the national debt in the United States, we call them astronomical. Among the ideas astronomers must routinely deal with is that the Earth is 150,000,000,000 meters from the Sun, and the mass of the hydrogen atom is 0.00000000000000000000000000167 kilograms. No one in his or her right mind would want to continue writing so many zeros!

天文学やほかの科学では、非常に大きな数や小さな数を扱うことがよくある。実際、米国の国の債務のように、日常生活でも数が途方もなく大きくなると、「天文学的」と呼ぶ。天文学者が日常的に扱うことには、地球が太陽から150,000,000,000メートル離れていることや、水素原子の質量が0.00000000000000000000000000167キログラムであることなどがある。こんなに多くのゼロを、いつまでも書き続けたい人はいないだろう。

Instead, scientists have agreed on a kind of shorthand notation, which is not only easier to write, but (as we shall see) makes multiplication and division of large and small numbers much less difficult. If you have never used this powers-of-ten notation or scientific notation, it may take a bit of time to get used to it, but you will soon find it much easier than keeping track of all those zeros.

その代わりに、科学者は一種の略記法を使うことにしている。書きやすいだけでなく、これから見るように、大きな数や小さな数の掛け算と割り算も、はるかに楽になる。この「10の累乗を使う記法」、すなわち「科学的記数法」を使ったことがなければ、慣れるまでに少し時間がかかるかもしれない。それでも、たくさんのゼロを一つずつ確かめるより、ずっと簡単だと、すぐに分かるだろう。

In scientific notation, we generally agree to have only one number to the left of the decimal point. If a number is not in this format, it must be changed. The number 6 is already in the right format, because for integers, we understand there to be a decimal point to the right of them. So 6 is really 6., and there is indeed only one number to the left of the decimal point. But the number 965 (which is 965.) has three numbers to the left of the decimal point, and is thus ripe for conversion.

科学的記数法では、通常、小数点の左側を1桁にする。この形になっていない数は、書き直す必要がある。6はすでに正しい形である。整数にも、その右側に小数点があると考えるからである。したがって6は実際には「6.」であり、小数点の左側は確かに1桁である。けれども965、つまり「965.」には、小数点の左側に3桁ある。こちらは書き直す必要がある。

To change 965 to proper form, we must make it 9.65 and then keep track of the change we have made. (Think of the number as a weekly salary and suddenly it makes a lot of difference whether we have $965 or $9.65.) We keep track of the number of places we moved the decimal point by expressing it as a power of ten. So 965 becomes 9.65 × 10² or 9.65 multiplied by ten to the second power. The small raised 2 is called an exponent, and it tells us how many times we moved the decimal point to the left.

965を適切な形にするには、9.65に直し、その際に何を変えたかを記録しておく必要がある。これを週給だと思えば、965ドルと9.65ドルでは大違いだと、すぐに分かるだろう。小数点を何桁動かしたかは、10の累乗で表す。したがって965は、9.65 × 10²、すなわち9.65に10の2乗を掛けたものになる。右上に小さく書いた2を「指数」といい、小数点を左に何桁動かしたかを示す。

Note that 10² also designates 10 squared, or 10 × 10, which equals 100. And 9.65 × 100 is just 965, the number we started with. Another way to look at scientific notation is that we separate out the messy numbers out front, and leave the smooth units of ten for the exponent to denote. So a number like 1,372,568 becomes 1.372568 times a million (10⁶) or 1.372568 times 10 multiplied by itself 6 times. We had to move the decimal point six places to the left (from its place after the 8) to get the number into the form where there is only one digit to the left of the decimal point.

10²は10の2乗、つまり10 × 10も表し、その値は100である。9.65 × 100は、出発点の965に戻る。科学的記数法は、細かな数字の並びを前の部分へ分け、きりのよい10のまとまりを指数に任せる方法だと見ることもできる。たとえば1,372,568は、1.372568に100万、すなわち10⁶を掛けたものになる。言い換えれば、1.372568に、10を6個掛け合わせたものを掛ける。小数点の左を1桁にするには、もともと8の後ろにあった小数点を、左へ6桁動かす必要があった。

The reason we call this powers-of-ten notation is that our counting system is based on increases of ten; each place in our numbering system is ten times greater than the place to the right of it. As you have probably learned, this got started because human beings have ten fingers and we started counting with them. (It is interesting to speculate that if we ever meet intelligent life-forms with only eight fingers, their counting system would probably be a powers-of-eight notation!)

この方法を「10の累乗を使う記法」と呼ぶのは、私たちの数の体系が、10倍ずつの増加を基礎にしているからである。それぞれの位の値は、右隣の位の10倍である。おそらく学んだことがあるように、この仕組みは、人間に指が10本あり、それを使って数え始めたことから生まれた。もし指が8本しかない知的生命体に出会ったら、その数の体系は8の累乗を使う記法かもしれない、と考えるのも面白いことである。

So, in the example we started with, the number of meters from Earth to the Sun is 1.5 × 10¹¹. Elsewhere in the book, we mention that a string 1 light-year long would fit around Earth’s equator 236 million or 236,000,000 times. In scientific notation, this would become 2.36 × 10⁸. Now if you like expressing things in millions, as the annual reports of successful companies do, you might like to write this number as 236 × 10⁶. However, the usual convention is to have only one number to the left of the decimal point.

したがって、最初の例である地球から太陽までの距離は、メートルで表すと1.5 × 10¹¹になる。本書の別の箇所では、長さ1光年のひもなら、地球の赤道を2億3,600万回、つまり236,000,000回巻けると述べた。科学的記数法では、2.36 × 10⁸となる。業績のよい企業の年次報告書のように、100万単位で表すのが好みなら、236 × 10⁶と書きたくなるかもしれない。ただ、通常の約束では、小数点の左側は1桁にする。

Now take a number like 0.00347, which is also not in the standard (agreed-to) form for scientific notation. To put it into that format, we must make the first part of it 3.47 by moving the decimal point three places to the right. Note that this motion to the right is the opposite of the motion to the left that we discussed above. To keep track, we call this change negative and put a minus sign in the exponent. Thus 0.00347 becomes 3.47 × 10⁻³.

今度は0.00347という数を考えよう。これも、科学的記数法で決められた標準形にはなっていない。標準形にするには、小数点を右へ3桁動かして、前の部分を3.47にする。右への移動は、先ほど説明した左への移動とは逆向きである。そのことを記録するため、この変化を負とし、指数にマイナス記号を付ける。したがって0.00347は、3.47 × 10⁻³となる。

In the example we gave at the beginning, the mass of the hydrogen atom would then be written as 1.67 × 10⁻²⁷ kg. In this system, one is written as 10⁰, a tenth as 10⁻¹, a hundredth as 10⁻², and so on. Note that any number, no matter how large or how small, can be expressed in scientific notation.

冒頭の例の水素原子の質量は、1.67 × 10⁻²⁷ kgと書ける。この記法では、1は10⁰、10分の1は10⁻¹、100分の1は10⁻²というように表す。どんな数も、その大きさや小ささにかかわらず、科学的記数法で表せる。

Scientific notation is not only compact and convenient, it also simplifies arithmetic. To multiply two numbers expressed as powers of ten, you need only multiply the numbers out front and then add the exponents. If there are no numbers out front, as in 100 × 100,000, then you just add the exponents (in our notation, 10² × 10⁵ = 10⁷). When there are numbers out front, you have to multiply them, but they are much easier to deal with than numbers with many zeros in them.

科学的記数法は、短く書けて便利なだけでなく、計算も簡単にする。10の累乗で表した二つの数を掛けるには、前にある数どうしを掛け、指数どうしを足すだけである。100 × 100,000のように、前の数が省かれている場合は、指数を足すだけで済む。この記法では、10² × 10⁵ = 10⁷である。前に数がある場合は、それらも掛けなければならない。それでも、ゼロがたくさん並んだ数より、ずっと扱いやすくなる。

Here’s an example:

例を見てみよう。

And here’s another example:

もう一つ例を挙げる。

Note in the second example that when we added the exponents, we treated negative exponents as we do in regular arithmetic (−2 plus 6 equals 4). Also, notice that our first result had a 24 in it, which was not in the acceptable form, having two places to the left of the decimal point, and we therefore changed it to 2.4 and changed the exponent accordingly.

2番目の例で指数を足す際には、通常の算術と同じように負の指数を扱っている。−2に6を足すと4になる。また、最初の計算結果には24という数があった。小数点の左側が2桁なので、そのままでは標準形ではない。そこで2.4に直し、それに合わせて指数も変えている。

To divide, you divide the numbers out front and subtract the exponents. Here are several examples:

割り算では、前にある数どうしを割り、指数を引く。例をいくつか挙げる。

In the last example, our first result was not in the standard form, so we had to change 0.452 into 4.52, and change the exponent accordingly.

最後の例では、最初の計算結果が標準形になっていなかった。そのため0.452を4.52に直し、それに合わせて指数も変える必要があった。

If this is the first time that you have met scientific notation, we urge you to practice many examples using it. You might start by solving the exercises below. Like any new language, the notation looks complicated at first but gets easier as you practice it.

科学的記数法に初めて触れる人は、例題を数多く解いて練習せよ。まず、下の練習問題から始めるとよいだろう。新しい言語と同じで、最初は複雑に見えても、練習するほど扱いやすくなる。