第6章積分の応用

6.9 Calculus of the Hyperbolic Functions6.9　双曲線関数の微積分

Learning Objectives学習目標

Apply the formulas for derivatives and integrals of the hyperbolic functions.
双曲線関数の微分・積分の公式を使う。
Apply the formulas for the derivatives of the inverse hyperbolic functions and their associated integrals.
逆双曲線関数の微分公式と、関連する積分公式を使う。
Describe the common applied conditions of a catenary curve.
懸垂線が現れる代表的な状況を説明する。

We were introduced to hyperbolic functions in Introduction to Functions and Graphs, along with some of their basic properties. In this section, we look at differentiation and integration formulas for the hyperbolic functions and their inverses.

「関数とグラフの入門」で、双曲線関数とその基本的な性質を学んだ。この節では、双曲線関数と逆双曲線関数の微分・積分の公式を調べる。

Derivatives and Integrals of the Hyperbolic Functions双曲線関数の微分と積分

Recall that the hyperbolic sine and hyperbolic cosine are defined as

双曲線正弦と双曲線余弦は、次のように定義されていた。

sinh x = \frac{e^{x} - e^{− x}}{2} and cosh x = \frac{e^{x} + e^{− x}}{2} .

sinh x = \frac{e^{x} - e^{− x}}{2} および cosh x = \frac{e^{x} + e^{− x}}{2}

The other hyperbolic functions are then defined in terms of

sinh x

and

cosh x .

The graphs of the hyperbolic functions are shown in the following figure.

その他の双曲線関数は、

sinh x

と

cosh x

を使って定義される。各関数のグラフを次の図に示す。

6つの双曲線関数のグラフ。(a) sinh x は原点を通って増加する。(b) cosh x は y 軸対称で、(0,1) で最小になる。(c) tanh x は原点を通り、−1から1の間で増加する。(d) coth x は第1・第3象限に枝をもち、x=0 と y=±1 が漸近線。(e) sech x は (0,1) で最大になり、左右で0に近づく。(f) csch x は第1・第3象限に枝をもち、座標軸を漸近線とする。 — Figure 6.81図 6.81
Graphs of the hyperbolic functions.
双曲線関数のグラフ。

It is easy to develop differentiation formulas for the hyperbolic functions. For example, looking at

sinh x

we have

双曲線関数の微分公式は、定義から簡単に導ける。たとえば

sinh x

では、次のようになる。

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (sinh x) & = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{− x}}{2}) \\ = \frac{1}{2} [\frac{d}{d x} (e^{x}) - \frac{d}{d x} (e^{− x})] \\ = \frac{1}{2} [e^{x} + e^{− x}] = cosh x . \end{matrix}

Similarly,

(d / d x) cosh x = sinh x .

We summarize the differentiation formulas for the hyperbolic functions in the following table.

同様に

(d / d x) cosh x = sinh x

となる。双曲線関数の微分公式を次の表にまとめる。

Derivatives of the Hyperbolic Functions双曲線関数の導関数

Table 6.2表 6.2
$f (x)$	$\frac{d}{d x} f (x)$
$sinh x$	$cosh x$
$cosh x$	$sinh x$
$tanh x$	${sech}^{2} x$
$coth x$	$− {csch}^{2} x$
$sech x$	$− sech x tanh x$
$csch x$	$− csch x coth x$

Let’s take a moment to compare the derivatives of the hyperbolic functions with the derivatives of the standard trigonometric functions. There are a lot of similarities, but differences as well. For example, the derivatives of the sine functions match:

(d / d x) sin x = cos x

and

(d / d x) sinh x = cosh x .

The derivatives of the cosine functions, however, differ in sign:

(d / d x) cos x = − sin x,

but

(d / d x) cosh x = sinh x .

As we continue our examination of the hyperbolic functions, we must be mindful of their similarities and differences to the standard trigonometric functions.

英語のヒント

双曲線関数の導関数を、通常の三角関数と比べてみよう。よく似ているが、違いもある。正弦については、

(d / d x) sin x = cos x

と

(d / d x) sinh x = cosh x

で同じ形になる。一方、余弦では

(d / d x) cos x = − sin x

に対して

(d / d x) cosh x = sinh x

であり、符号が異なる。双曲線関数を扱うときは、三角関数との共通点だけでなく、このような違いにも注意する必要がある。

These differentiation formulas for the hyperbolic functions lead directly to the following integral formulas.

これらの微分公式から、次の積分公式が直ちに得られる。

\begin{matrix} \int sinh u d u & = & cosh u + C & \int {csch}^{2} u d u & = & − coth u + C \\ \int cosh u d u & = & sinh u + C & \int sech u tanh u d u & = & − sech u + C \\ \int {sech}^{2} u d u & = & tanh u + C & \int csch u coth u d u & = & − csch u + C \end{matrix}

Example 6.47例題 6.47

Differentiating Hyperbolic Functions双曲線関数を微分する

Evaluate the following derivatives:

次の導関数を求めよ。

$\frac{d}{d x} (sinh (x^{2}))$
$\frac{d}{d x} (sinh (x^{2}))$
$\frac{d}{d x} {(cosh x)}^{2}$
$\frac{d}{d x} {(cosh x)}^{2}$

Solution解き方

Using the formulas in Table 6.2 and the chain rule, we get

表6.2の公式と連鎖律を使うと、次のようになる。

$\frac{d}{d x} (sinh (x^{2})) = cosh (x^{2}) \cdot 2 x$
$\frac{d}{d x} (sinh (x^{2})) = cosh (x^{2}) \cdot 2 x$
$\frac{d}{d x} {(cosh x)}^{2} = 2 cosh x sinh x$
$\frac{d}{d x} {(cosh x)}^{2} = 2 cosh x sinh x$

Example 6.48例題 6.48

Integrals Involving Hyperbolic Functions双曲線関数を含む積分

Evaluate the following integrals:

次の積分を求めよ。

$\int x cosh (x^{2}) d x$
$\int x cosh (x^{2}) d x$
$\int tanh x d x$
$\int tanh x d x$

Solution解き方

We can use u-substitution in both cases.

どちらも u による置換積分を使える。

Let $u = x^{2} .$ Then, $d u = 2 x d x$ and
$u = x^{2}$ とおく。すると $d u = 2 x d x$ となり、さらに、

$\int x cosh (x^{2}) d x = \int \frac{1}{2} cosh u d u = \frac{1}{2} sinh u + C = \frac{1}{2} sinh (x^{2}) + C .$
$\int x cosh (x^{2}) d x = \int \frac{1}{2} cosh u d u = \frac{1}{2} sinh u + C = \frac{1}{2} sinh (x^{2}) + C$
Let $u = cosh x .$ Then, $d u = sinh x d x$ and
$u = cosh x$ とおく。すると $d u = sinh x d x$ となり、さらに、

$\int tanh x d x = \int \frac{sinh x}{cosh x} d x = \int \frac{1}{u} d u = ln | u | + C = ln | cosh x | + C .$
$\int tanh x d x = \int \frac{sinh x}{cosh x} d x = \int \frac{1}{u} d u = ln | u | + C = ln | cosh x | + C$

Note that $cosh x > 0$ for all $x,$ so we can eliminate the absolute value signs and obtain
すべての $x$ について $cosh x > 0$ なので、絶対値記号を外して次式を得る。

$\int tanh x d x = ln (cosh x) + C .$
$\int tanh x d x = ln (cosh x) + C$

Calculus of Inverse Hyperbolic Functions逆双曲線関数の微積分

Looking at the graphs of the hyperbolic functions, we see that with appropriate range restrictions, they all have inverses. Most of the necessary range restrictions can be discerned by close examination of the graphs. The domains and ranges of the inverse hyperbolic functions are summarized in the following table.

英語のヒント

双曲線関数のグラフを見ると、必要に応じて定義域を制限すれば、どれも逆関数をもつことが分かる。必要な制限の大半は、グラフから読み取れる。逆双曲線関数の定義域と値域を次の表にまとめる。

Domains and Ranges of the Inverse Hyperbolic Functions逆双曲線関数の定義域と値域

Table 6.3表 6.3
Function 関数	Domain 定義域	Range 値域
${sinh}^{−1} x$	$(− \infty, \infty)$	$(− \infty, \infty)$
${cosh}^{−1} x$	$[1, \infty)$	$[0, \infty)$
${tanh}^{−1} x$	$(−1, 1)$	$(− \infty, \infty)$
${coth}^{−1} x$	$(− \infty, −1) \cup (1, \infty)$	$(− \infty, 0) \cup (0, \infty)$
${sech}^{−1} x$	$(0, 1]$	$[0, \infty)$
${csch}^{−1} x$	$(− \infty, 0) \cup (0, \infty)$	$(− \infty, 0) \cup (0, \infty)$

The graphs of the inverse hyperbolic functions are shown in the following figure.

逆双曲線関数のグラフを次の図に示す。

逆双曲線関数のグラフ。(a) sinh⁻¹x は原点を通って増加する。(b) cosh⁻¹x は (1,0) から右上へ増加する。(c) tanh⁻¹x は −1<x<1 で増加し、x=±1 が鉛直漸近線。(d) coth⁻¹x は x<−1 と x>1 に枝をもち、x=±1 が鉛直漸近線。(e) sech⁻¹x は 0<x≤1 で減少し、(1,0) に達する。(f) csch⁻¹x は第1・第3象限に枝をもち、座標軸を漸近線とする。 — Figure 6.82図 6.82
Graphs of the inverse hyperbolic functions.
逆双曲線関数のグラフ。

To find the derivatives of the inverse functions, we use implicit differentiation. We have

逆関数の導関数は、陰関数微分を使って求める。

\begin{matrix} y & = & {sinh}^{−1} x \\ sinh y & = & x \\ \frac{d}{d x} sinh y & = & \frac{d}{d x} x \\ cosh y \frac{d y}{d x} & = & 1 . \end{matrix}

Recall that

{cosh}^{2} y - {sinh}^{2} y = 1,

cosh y = \sqrt{1 + {sinh}^{2} y} .

Then,

{cosh}^{2} y - {sinh}^{2} y = 1

なので、

cosh y = \sqrt{1 + {sinh}^{2} y}

である。したがって、次のようになる。

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{cosh y} = \frac{1}{\sqrt{1 + {sinh}^{2} y}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} .

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{cosh y} = \frac{1}{\sqrt{1 + {sinh}^{2} y}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

We can derive differentiation formulas for the other inverse hyperbolic functions in a similar fashion. These differentiation formulas are summarized in the following table.

英語のヒント

その他の逆双曲線関数も、同じ方法で微分公式を導ける。結果を次の表にまとめる。

Derivatives of the Inverse Hyperbolic Functions逆双曲線関数の導関数

Table 6.4表 6.4
$f (x)$	$\frac{d}{d x} f (x)$
${sinh}^{−1} x$	$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$
${cosh}^{−1} x$	$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$
${tanh}^{−1} x$	$\frac{1}{1 - x^{2}}$
${coth}^{−1} x$	$\frac{1}{1 - x^{2}}$
${sech}^{−1} x$	$\frac{−1}{x \sqrt{1 - x^{2}}}$
${csch}^{−1} x$	$\frac{−1}{\| x \| \sqrt{1 + x^{2}}}$

Note that the derivatives of

{tanh}^{−1} x

and

{coth}^{−1} x

are the same. Thus, when we integrate

1 / (1 - x^{2}),

we need to select the proper antiderivative based on the domain of the functions and the values of

x .

Integration formulas involving the inverse hyperbolic functions are summarized as follows.

英語のヒント

{tanh}^{−1} x

と

{coth}^{−1} x

の導関数は、同じ形の式になる。ただし定義域が異なるので、

1 / (1 - x^{2})

を積分するときは、

x

の範囲に合う原始関数を選ぶ必要がある。逆双曲線関数に関する積分公式を次にまとめる。

\begin{matrix} \int \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u & = & {sinh}^{−1} u + C & \int \frac{1}{u \sqrt{1 - u^{2}}} d u & = & − {sech}^{−1} | u | + C \\ \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}} d u & = & {cosh}^{−1} u + C & \int \frac{1}{u \sqrt{1 + u^{2}}} d u & = & − {csch}^{−1} | u | + C \\ \int \frac{1}{1 - u^{2}} d u & = & {\begin{matrix} {tanh}^{−1} u + C if | u | < 1 \\ {coth}^{−1} u + C if | u | > 1 \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} \int \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u & = & {sinh}^{−1} u + C & \int \frac{1}{u \sqrt{1 - u^{2}}} d u & = & − {sech}^{−1} | u | + C \\ \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}} d u & = & {cosh}^{−1} u + C & \int \frac{1}{u \sqrt{1 + u^{2}}} d u & = & − {csch}^{−1} | u | + C \\ \int \frac{1}{1 - u^{2}} d u & = & {\begin{matrix} {tanh}^{−1} u + C ただし | u | < 1 \\ {coth}^{−1} u + C ただし | u | > 1 \end{matrix} \end{matrix}

Example 6.49例題 6.49

Differentiating Inverse Hyperbolic Functions逆双曲線関数を微分する

Evaluate the following derivatives:

次の導関数を求めよ。

$\frac{d}{d x} ({sinh}^{−1} (\frac{x}{3}))$
$\frac{d}{d x} ({sinh}^{−1} (\frac{x}{3}))$
$\frac{d}{d x} {({tanh}^{−1} x)}^{2}$
$\frac{d}{d x} {({tanh}^{−1} x)}^{2}$

Solution解き方

Using the formulas in Table 6.4 and the chain rule, we obtain the following results:

表6.4の公式と連鎖律から、次の結果を得る。

$\frac{d}{d x} ({sinh}^{−1} (\frac{x}{3})) = \frac{1}{3 \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}}} = \frac{1}{\sqrt{9 + x^{2}}}$
$\frac{d}{d x} ({sinh}^{−1} (\frac{x}{3})) = \frac{1}{3 \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}}} = \frac{1}{\sqrt{9 + x^{2}}}$
$\frac{d}{d x} {({tanh}^{−1} x)}^{2} = \frac{2 ({tanh}^{−1} x)}{1 - x^{2}}$
$\frac{d}{d x} {({tanh}^{−1} x)}^{2} = \frac{2 ({tanh}^{−1} x)}{1 - x^{2}}$

Example 6.50例題 6.50

Integrals Involving Inverse Hyperbolic Functions逆双曲線関数を用いる積分

Evaluate the following integrals:

次の積分を求めよ。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 1}} d x$
$\int \frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 1}} d x$
$\int \frac{1}{2 x \sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$
$\int \frac{1}{2 x \sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

Solution解き方

We can use

u -substitution

in both cases.

どちらも

u による置換

を使える。

Let $u = 2 x .$ Then, $d u = 2 d x$ and we have
$u = 2 x$ と置くと、 $d u = 2 d x$ なので、次式を得る。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 1}} d x = \int \frac{1}{2 \sqrt{u^{2} - 1}} d u = \frac{1}{2} {cosh}^{−1} u + C = \frac{1}{2} {cosh}^{−1} (2 x) + C .$
$\int \frac{1}{\sqrt{4 x^{2} - 1}} d x = \int \frac{1}{2 \sqrt{u^{2} - 1}} d u = \frac{1}{2} {cosh}^{−1} u + C = \frac{1}{2} {cosh}^{−1} (2 x) + C$
Let $u = 3 x .$ Then, $d u = 3 d x$ and we obtain
$u = 3 x$ と置くと、 $d u = 3 d x$ なので、次式を得る。

$\int \frac{1}{2 x \sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \sqrt{1 - u^{2}}} d u = - \frac{1}{2} {sech}^{−1} | u | + C = - \frac{1}{2} {sech}^{−1} | 3 x | + C .$
$\int \frac{1}{2 x \sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \sqrt{1 - u^{2}}} d u = - \frac{1}{2} {sech}^{−1} | u | + C = - \frac{1}{2} {sech}^{−1} | 3 x | + C$

第6章積分の応用

6.9 Calculus of the Hyperbolic Functions6.9 双曲線関数の微積分

Learning Objectives学習目標

Derivatives and Integrals of the Hyperbolic Functions双曲線関数の微分と積分

Derivatives of the Hyperbolic Functions双曲線関数の導関数

Differentiating Hyperbolic Functions双曲線関数を微分する

Integrals Involving Hyperbolic Functions双曲線関数を含む積分

Calculus of Inverse Hyperbolic Functions逆双曲線関数の微積分

Domains and Ranges of the Inverse Hyperbolic Functions逆双曲線関数の定義域と値域

Derivatives of the Inverse Hyperbolic Functions逆双曲線関数の導関数

Differentiating Inverse Hyperbolic Functions逆双曲線関数を微分する

Integrals Involving Inverse Hyperbolic Functions逆双曲線関数を用いる積分

6.9 Calculus of the Hyperbolic Functions6.9　双曲線関数の微積分