第6章積分の応用

Work Done in Pumping水をくみ上げる仕事

Consider the work done to pump water (or some other liquid) out of a tank. Pumping problems are a little more complicated than spring problems because many of the calculations depend on the shape and size of the tank. In addition, instead of being concerned about the work done to move a single mass, we are looking at the work done to move a volume of water, and it takes more work to move the water from the bottom of the tank than it does to move the water from the top of the tank.

英語のヒント

タンクから水などの液体をくみ出す仕事を考えよう。タンクの形や大きさによって計算が変わるため、ばねの問題より少し複雑になる。また、1つの物体を動かすのではなく、広がりをもつ水を動かす。タンクの底の水は、上の方の水より長い距離を持ち上げるため、多くの仕事が必要になる。

We examine the process in the context of a cylindrical tank, then look at a couple of examples using tanks of different shapes. Assume a cylindrical tank of radius

4

m and height

10

m is filled to a depth of 8 m. How much work does it take to pump all the water over the top edge of the tank?

まず円柱形のタンクで手順を調べ、その後で別の形も考える。半径

4

m、高さ

10

m の円柱形タンクに、深さ8 m まで水が入っている。水をすべてタンクの上縁までくみ上げるには、どれだけの仕事が必要か。

The first thing we need to do is define a frame of reference. We let

x

represent the vertical distance below the top of the tank. That is, we orient the

x -axis

vertically, with the origin at the top of the tank and the downward direction being positive (see the following figure).

英語のヒント

まず座標を決める。タンクの上端から下向きに測った鉛直距離を

x

とする。つまり、図のように

x 軸

を鉛直にとり、原点をタンクの上端、正の向きを下向きにする。

半径4 m、高さ10 m の縦置きの円柱形タンクに、深さ8 m の水が入っている。タンクの上端を x=0 とし、x 軸は下向きを正としている。 — Figure 6.52図 6.52
How much work is needed to empty a tank partially filled with water?
途中まで水が入ったタンクを空にするには、どれだけの仕事が必要か。

Using this coordinate system, the water extends from

x = 2

x = 10 .

Therefore, we partition the interval

[2, 10]

and look at the work required to lift each individual “layer” of water. So, for

i = 0, 1, 2,…, n,

let

P = {x_{i}}

be a regular partition of the interval

[2, 10],

and for

i = 1, 2,…, n,

choose an arbitrary point

x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .

Figure 6.53 shows a representative layer.

この座標系では、水は

x = 2

から

x = 10

までの範囲にある。区間

[2, 10]

を分割し、薄い水の層をそれぞれ持ち上げる仕事を考える。

i = 0, 1, 2,…, n

として、

P = {x_{i}}

を区間

[2, 10]

の等分割とし、

i = 1, 2,…, n

について任意の点

x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}]

を選ぶ。代表的な層を図6.53に示す。

円柱形タンク内の水の薄い水平な層。xᵢ₋₁ から xᵢ までの厚さは Δx である。 — Figure 6.53図 6.53
A representative layer of water.
代表的な水の層。

In pumping problems, the force required to lift the water to the top of the tank is the force required to overcome gravity, so it is equal to the weight of the water. Given that the weight-density of water is

9800

N/m³, or

62.4

lb/ft³, calculating the volume of each layer gives us the weight. In this case, we have

英語のヒント

水をくみ上げるとき、重力に逆らって持ち上げるのに必要な力は、その水の重さに等しい。水の単位体積あたりの重さ、すなわち重量密度は

9800

N/m³、または

62.4

lb/ft³である。したがって各層の体積を求めれば、重さも求められる。ここでは次のようになる。

V = π {(4)}^{2} Δ x = 16 π Δ x .

V = π {(4)}^{2} Δ x = 16 π Δ x

Then, the force needed to lift each layer is

よって、各層を持ち上げるのに必要な力は、次式となる。

F = 9800 \cdot 16 π Δ x = 156,800 π Δ x .

F = 9800 \cdot 16 π Δ x = 156,800 π Δ x

Note that this step becomes a little more difficult if we have a noncylindrical tank. We look at a noncylindrical tank in the next example.

英語のヒント

円柱以外の形のタンクでは、この段階の計算が少し複雑になる。その場合は次の例題で扱う。

We also need to know the distance the water must be lifted. Based on our choice of coordinate systems, we can use

x_{i}^{*}

as an approximation of the distance the layer must be lifted. Then the work to lift the

i th

layer of water

W_{i}

is approximately

水を持ち上げる距離も必要である。今回の座標の取り方では、その距離を

x_{i}^{*}

で近似できる。したがって、

i 番目

の層を持ち上げる仕事

W_{i}

は、近似的に次式となる。

W_{i} \approx 156,800 π x_{i}^{*} Δ x .

W_{i} \approx 156,800 π x_{i}^{*} Δ x

Adding the work for each layer, we see the approximate work to empty the tank is given by

すべての層の仕事を足すと、タンクを空にする仕事の近似値を得る。

W = \sum_{i = 1}^{n} W_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} 156,800 π x_{i}^{*} Δ x .

W = \sum_{i = 1}^{n} W_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} 156,800 π x_{i}^{*} Δ x

This is a Riemann sum, so taking the limit as

n \to \infty,

we get

これはリーマン和なので、

n \to \infty

の極限をとると、次式となる。

\begin{matrix} W & = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} 156,800 π x_{i}^{*} Δ x \\ = 156,800 π \int_{2}^{10} x d x \\ = 156,800 π {[\frac{x^{2}}{2}] |}_{2}^{10} = 7,526,400 π \approx 23,644,883. \end{matrix}

The work required to empty the tank is approximately 23,650,000 J.

タンクを空にするために必要な仕事は、約23,650,000 J である。

For pumping problems, the calculations vary depending on the shape of the tank or container. The following problem-solving strategy lays out a step-by-step process for solving pumping problems.

英語のヒント

くみ上げの問題では、タンクや容器の形によって計算が変わる。解法の手順を次にまとめる。

Solving Pumping Problemsくみ上げの問題を解く手順

Sketch a picture of the tank and select an appropriate frame of reference.
タンクの概形を描き、適切な座標系を選ぶ。
Calculate the volume of a representative layer of water.
代表的な水の層の体積を求める。
Multiply the volume by the weight-density of water to get the force.
体積に水の重量密度を掛け、持ち上げるのに必要な力を求める。
Calculate the distance the layer of water must be lifted.
水の層を持ち上げる距離を求める。
Multiply the force and distance to get an estimate of the work needed to lift the layer of water.
力と距離を掛け、その層を持ち上げる仕事を近似する。
Sum the work required to lift all the layers. This expression is an estimate of the work required to pump out the desired amount of water, and it is in the form of a Riemann sum.
すべての層を持ち上げる仕事を足す。これは、必要な量の水をくみ出す仕事の近似値であり、リーマン和の形になる。
Take the limit as $n \to \infty$ and evaluate the resulting integral to get the exact work required to pump out the desired amount of water.
$n \to \infty$ の極限をとり、得られた積分を計算する。これで、必要な量の水をくみ出す仕事の正確な値が求まる。

We now apply this problem-solving strategy in an example with a noncylindrical tank.

この手順を、円柱ではないタンクに使ってみよう。

Example 6.26例題 6.26

A Pumping Problem with a Noncylindrical Tank円柱ではないタンクから水をくみ上げる

Assume a tank in the shape of an inverted cone, with height

12

ft and base radius

4

ft. The tank is full to start with, and water is pumped over the upper edge of the tank until the height of the water remaining in the tank is

4

ft. How much work is required to pump out that amount of water?

英語のヒント

高さ

12

フィート、底面の半径

4

フィートの円錐を、頂点が下になるように置いたタンクを考える。初めは満水であり、水面の高さが底の頂点から

4

フィートになるまで、上縁を越えて水をくみ出す。必要な仕事はいくらか。

Solution解き方

The tank is depicted in Figure 6.54. As we did in the example with the cylindrical tank, we orient the

x -axis

vertically, with the origin at the top of the tank and the downward direction being positive (step 1).

タンクを図6.54に示す。円柱形の場合と同じように、

x 軸

を鉛直にとり、原点を上端、正の向きを下向きにする（手順1）。

頂点を下に向けた円錐形のタンク。中心軸に沿って座標軸をとり、上端を x=0 としている。 — Figure 6.54図 6.54
A water tank in the shape of an inverted cone.
頂点を下に向けた円錐形の水槽。

The tank starts out full and ends with

4

ft of water left, so, based on our chosen frame of reference, we need to partition the interval

[0, 8] .

Then, for

i = 0, 1, 2,…, n,

let

P = {x_{i}}

be a regular partition of the interval

[0, 8],

and for

i = 1, 2,…, n,

choose an arbitrary point

x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .

We can approximate the volume of a layer by using a disk, then use similar triangles to find the radius of the disk (see the following figure).

初めは満水で、最後には深さ

4

フィートの水が残る。今回の座標系では、くみ出す水がある区間

[0, 8]

を分割すればよい。

i = 0, 1, 2,…, n

として、

P = {x_{i}}

を区間

[0, 8]

の等分割とし、

i = 1, 2,…, n

について任意の点

x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}]

を選ぶ。各層は薄い円板として近似できる。その半径は、次の図の相似な三角形から求められる。

円錐形タンクの薄い水平な水の層と、中心軸に沿った断面の直角三角形。大きな三角形の高さは12、上辺は4である。上端からの深さ xᵢ にある層の、底の頂点からの高さは12−xᵢ である。 — Figure 6.55図 6.55
Using similar triangles to express the radius of a disk of water.
相似な三角形を使って、水の円板の半径を表す。

From properties of similar triangles, we have

三角形の相似より、次式が成り立つ。

\begin{matrix} \frac{r_{i}}{12 - x_{i}^{*}} & = & \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \\ 3 r_{i} & = & 12 - x_{i}^{*} \\ r_{i} & = & \frac{12 - x_{i}^{*}}{3} \\ = & 4 - \frac{x_{i}^{*}}{3} . \end{matrix}

Then the volume of the disk is

したがって、円板の体積は次のようになる。

V_{i} = π {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x (step 2).

V_{i} = π {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x （手順2）

The weight-density of water is

62.4

lb/ft³, so the force needed to lift each layer is approximately

水の重量密度は

62.4

lb/ft³なので、各層を持ち上げるのに必要な力は、近似的に次式となる。

F_{i} \approx 62.4 π {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x (step 3).

F_{i} \approx 62.4 π {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x （手順3）

Based on the diagram, the distance the water must be lifted is approximately

x_{i}^{*}

feet (step 4), so the approximate work needed to lift the layer is

図より、水を持ち上げる距離は約

x_{i}^{*}

フィートである（手順4）。したがって、その層を持ち上げる仕事は、近似的に次式となる。

W_{i} \approx 62.4 π x_{i}^{*} {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x (step 5).

W_{i} \approx 62.4 π x_{i}^{*} {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x （手順5）

Summing the work required to lift all the layers, we get an approximate value of the total work:

すべての層を持ち上げる仕事を足すと、仕事の合計の近似値を得る。

W = \sum_{i = 1}^{n} W_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} 62.4 π x_{i}^{*} {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x (step 6).

W = \sum_{i = 1}^{n} W_{i} \approx \sum_{i = 1}^{n} 62.4 π x_{i}^{*} {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x （手順6）

Taking the limit as

n \to \infty,

we obtain

n \to \infty

の極限をとると、次式となる。

\begin{matrix} W & = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} 62.4 π x_{i}^{*} {(4 - \frac{x_{i}^{*}}{3})}^{2} Δ x \\ = \int_{0}^{8} 62.4 π x {(4 - \frac{x}{3})}^{2} d x \\ = 62.4 π \int_{0}^{8} x (16 - \frac{8 x}{3} + \frac{x^{2}}{9}) d x = 62.4 π \int_{0}^{8} (16 x - \frac{8 x^{2}}{3} + \frac{x^{3}}{9}) d x \\ = 62.4 π {[8 x^{2} - \frac{8 x^{3}}{9} + \frac{x^{4}}{36}] |}_{0}^{8} = 10,649.6 π \approx 33,456.7. \end{matrix}

It takes approximately

33,450

ft-lb of work to empty the tank to the desired level.

指定された水位までくみ出すには、約

33,450

フィート・ポンドの仕事が必要である。

Checkpoint 6.26確認問題 6.26

A tank is in the shape of an inverted cone, with height

10

ft and base radius 6 ft. The tank is filled to a depth of 8 ft to start with, and water is pumped over the upper edge of the tank until 3 ft of water remain in the tank. How much work is required to pump out that amount of water?

高さ

10

フィート、底面の半径6フィートの円錐を、頂点が下になるように置いたタンクを考える。初めは深さ8フィートまで水が入っている。残る水の深さが3フィートになるまで、上縁を越えてくみ出すには、どれだけの仕事が必要か。

Solution解き方

Approximately

43,255.2

ft-lb

約

43,255.2

フィート・ポンド。