第6章積分の応用

Key Concepts重要な概念

Exponential growth and exponential decay are two of the most common applications of exponential functions.
指数的増加と指数的減少は、指数関数の代表的な応用である。
Systems that exhibit exponential growth follow a model of the form $y = y_{0} e^{k t} .$
指数的に増加する量は、 $y = y_{0} e^{k t}$ の形のモデルに従う。
In exponential growth, the rate of growth is proportional to the quantity present. In other words, $y^{'} = k y .$
指数的増加では、増加する速さが現在の量に比例する。つまり $y^{'} = k y$ である。
Systems that exhibit exponential growth have a constant doubling time, which is given by $(ln 2) / k .$
指数的増加の倍加時間は一定で、 $(ln 2) / k$ で与えられる。
Systems that exhibit exponential decay follow a model of the form $y = y_{0} e^{− k t} .$
指数的に減少する量は、 $y = y_{0} e^{− k t}$ の形のモデルに従う。
Systems that exhibit exponential decay have a constant half-life, which is given by $(ln 2) / k .$
指数的減少の半減期は一定で、 $(ln 2) / k$ で与えられる。

Exercises 348–351練習問題 348–351

True or False? If true, prove it. If false, find the true answer.

次の文は正しいか。正しければ証明し、誤っていれば正しい結果を求めよ。

Exercise 348問題 348

The doubling time for

y = e^{c t}

(ln (2)) / (ln (c)) .

y = e^{c t}

の倍加時間は

(ln (2)) / (ln (c))

である。

Exercise 349問題 349

If you invest

$ 500,

an annual rate of interest of

3 %

yields more money in the first year than a

2.5 %

continuous rate of interest.

$ 500

を預けた場合、年1回の年利

3 %

の方が、年利

2.5 %

の連続複利より、1年目の受取額が多い。

Solution解き方

True

正しい

Exercise 350問題 350

If you leave a

100 ° C

pot of tea at room temperature

(25 ° C)

and an identical pot in the refrigerator

(5 ° C),

with

k = 0.02,

the tea in the refrigerator reaches a drinkable temperature

(70 ° C)

more than

5

minutes before the tea at room temperature.

100 ° C

のお茶を、一方は室温

(25 ° C)

の部屋に、同じもう一方は冷蔵庫

(5 ° C)

に置く。どちらも冷却定数

k = 0.02

とする。冷蔵庫のお茶は、室温のお茶より

5

分以上早く、飲める温度

(70 ° C)

に達する。

Exercise 351問題 351

If given a half-life of t years, the constant

k

for

y = e^{- k t}

is calculated by

k = ln (1 / 2) / t .

半減期が t 年のとき、

y = e^{- k t}

の定数

k

は、

k = ln (1 / 2) / t

で求められる。

Solution解き方

False;

k = \frac{ln (2)}{t}

誤り。指数的減少を y=e^(−kt)、k>0 と表すと、

k = \frac{ln (2)}{t}

となる。

Exercises 352–369練習問題 352–369

For the following exercises, use

y = y_{0} e^{k t} .

次の各問では、

y = y_{0} e^{k t}

を用いよ。

Exercise 352問題 352

If a culture of bacteria doubles in

3

hours, how many hours does it take to multiply by

10 ?

細菌の個体数が

3

時間で2倍になる場合、

10

倍になるまで何時間かかるか。

Exercise 353問題 353

If bacteria increase by a factor of

10

10

hours, how many hours does it take to increase by

100 ?

細菌の個体数が

10

時間で

10

倍になる場合、

100

倍になるまで何時間かかるか。

Solution解き方

20

hours

20

時間。

Exercise 354問題 354

How old is a skull that contains one-fifth as much radiocarbon as a modern skull? Note that the half-life of radiocarbon is

5730

years.

放射性炭素の量が現代の頭蓋骨の5分の1である頭蓋骨は、何年前のものか。放射性炭素の半減期は

5730

年とする。

Exercise 355問題 355

If a relic contains

90 %

as much radiocarbon as new material, can it have come from the time of Christ (approximately

2000

years ago)? Note that the half-life of radiocarbon is

5730

years.

遺物中の放射性炭素の量が、新しい試料の

90 %

である。この遺物は、約

2000

年前のキリストの時代のものといえるか。半減期は

5730

年とする。

Solution解き方

No. The relic is approximately

871

years old.

いえない。約

871

年前のものと推定される。

Exercise 356問題 356

The population of Cairo grew from

5

million to

10

million in

20

years. Use an exponential model to find when the population was

8

million.

カイロの人口が

20

年間で

5

百万人から

10

百万人へ増えたとする。指数モデルを使い、人口が

8

百万人だった時点を求めよ。

Exercise 357問題 357

The populations of New York and Los Angeles are growing at

1 %

and

1.4 %

a year, respectively. Starting from

8

million (New York) and

6

million (Los Angeles), when are the populations equal?

ニューヨークとロサンゼルスの人口が、それぞれ年

1 %

、

1.4 %

の割合で増えるとする。初期人口がそれぞれ

8

百万人、

6

百万人のとき、人口が等しくなるのはいつか。

Solution解き方

71.92

years

71.92

年

Exercise 358問題 358

Suppose the value of

$ 1

in Japanese yen decreases at

2 %

per year. Starting from

$ 1 = ¥ 250,

when will

$ 1 = ¥ 1 ?

$ 1

を円で表した価値が、年

2 %

の割合で減少するとする。初めは

$ 1 = ¥ 250

である。

$ 1 = ¥ 1

となるのはいつか。

Exercise 359問題 359

The effect of advertising decays exponentially. If

40 %

of the population remembers a new product after

3

days, how long will

20 %

remember it?

広告の効果が指数的に減少するとする。広告直後は全員が商品を覚えており、

3

日後には

40 %

が覚えている場合、覚えている人が

20 %

になるのは何日後か。

Solution解き方

5

days

6

hours

27

minutes

5

日

6

時間

27

分。

Exercise 360問題 360

y = 1000

t = 3

and

y = 3000

t = 4,

what was

y_{0}

t = 0 ?

t = 3

で

y = 1000

、

t = 4

で

y = 3000

である。

t = 0

のときの初期値

y_{0}

を求めよ。

Exercise 361問題 361

y = 100

t = 4

and

y = 10

t = 8,

when does

y = 1 ?

t = 4

で

y = 100

、

t = 8

で

y = 10

である。

y = 1

となるのはいつか。

Solution解き方

12

12

Exercise 362問題 362

If a bank offers annual interest of

7.5 %

or continuous interest of

7.25 %,

which has a better annual yield?

銀行の年1回の利率

7.5 %

と、年利

7.25 %

の連続複利では、どちらの年間収益が大きいか。

Exercise 363問題 363

What continuous interest rate has the same yield as an annual rate of

9 % ?

年1回の利率

9 %

と同じ年間収益を生む、連続複利の年利を求めよ。

Solution解き方

8.618 %

8.618 %

Exercise 364問題 364

If you deposit

$ 5000

8 %

annual interest, how many years can you withdraw

$ 500

(starting after the first year) without running out of money?

年利

8 %

で

$ 5000

を預ける。1年後から毎年

$ 500

を引き出す場合、残高が尽きるまで何年間引き出せるか。

Exercise 365問題 365

You are trying to save

$ 50,000

20

years for college tuition for your child. If interest is a continuous

10 %,

how much do you need to invest initially?

子どもの大学の学費として、

20

年後に

$ 50,000

を用意したい。年利

10 %

の連続複利なら、初めにいくら投資すればよいか。

Solution解き方

$ 6766.76

$ 6766.76

Exercise 366問題 366

You are cooling a turkey that was taken out of the oven with an internal temperature of

165 ° F .

After

10

minutes of resting the turkey in a

70 ° F

apartment, the temperature has reached

155 ° F .

What is the temperature of the turkey

20

minutes after taking it out of the oven?

内部温度

165 ° F

の七面鳥をオーブンから出して冷ます。室温

70 ° F

の部屋に

10

分置いたところ、温度が

155 ° F .

になった。取り出して

20

分後の温度はいくらか。

Exercise 367問題 367

You are trying to thaw some vegetables that are at a temperature of

1 ° F .

To thaw vegetables safely, you must put them in the refrigerator, which has an ambient temperature of

44 ° F .

You check on your vegetables

2

hours after putting them in the refrigerator to find that they are now

12 ° F .

Plot the resulting temperature curve and use it to determine when the vegetables reach

33 ° F .

温度

1 ° F .

の冷凍野菜を、周囲温度

44 ° F

の冷蔵庫で解凍するモデルを考える。入れてから

2

時間後には

12 ° F .

になっていた。温度のグラフを描き、

33 ° F .

に達する時刻を求めよ。

Solution解き方

9

hours

13

minutes

9

時間

13

分。

Exercise 368問題 368

You are an archaeologist and are given a bone that is claimed to be from a Tyrannosaurus Rex. You know these dinosaurs lived during the Cretaceous Era

(146

million years to

65

million years ago), and you find by radiocarbon dating that there is

0.000001 %

the amount of radiocarbon. Is this bone from the Cretaceous?

ティラノサウルスのものとされる骨を、考古学者として調べる。この問題では、白亜紀を

(146

百万年前から

65

百万年前）とする。放射性炭素の残存率が

0.000001 %

であることが分かった。この骨は白亜紀のものといえるか。

Exercise 369問題 369

The spent fuel of a nuclear reactor contains plutonium-239, which has a half-life of

24,000

years. If

1

barrel containing

10 kg

of plutonium-239 is sealed, how many years must pass until only

10 g

of plutonium-239 is left?

原子炉の使用済み燃料に含まれるプルトニウム239の半減期は

24,000

年である。

10 kg

のプルトニウム239を含む

1

個の容器を密封すると、残量が

10 g

になるまで何年かかるか。

Solution解き方

239,179

years

239,179

年

Exercises 370–373練習問題 370–373

For the next set of exercises, use the following table, which features the world population by decade.

次の一連の問題では、10年ごとの世界人口を示す表を使う。

*Source*: http://www.factmonster.com/ipka/A0762181.html.
出典：http://www.factmonster.com/ipka/A0762181.html。
Years since 1950 1950年からの経過年数	Population (millions) 人口（百万人）
$0$	$2,556$
$10$	$3,039$
$20$	$3,706$
$30$	$4,453$
$40$	$5,279$
$50$	$6,083$
$60$	$6,849$

Exercise 370問題 370

[T] The best-fit exponential curve to the data of the form

P (t) = a e^{b t}

is given by

P (t) = 2686 e^{0.01604 t} .

Use a graphing calculator to graph the data and the exponential curve together.

[T] データに最もよく当てはまる

P (t) = a e^{b t}

の形の指数曲線は、

P (t) = 2686 e^{0.01604 t}

で与えられる。グラフ電卓を使い、データと指数曲線を同じ座標上に描け。

Exercise 371問題 371

[T] Find and graph the derivative

y^{'}

of your equation. Where is it increasing and what is the meaning of this increase?

[T] 求めた式の導関数

y^{'}

を求め、グラフを描け。どこで増加するか。その増加は何を意味するか。

Solution解き方

P' (t) = 43 e^{0.01604 t} .

The population is always increasing.

P' (t) = 43 e^{0.01604 t}

。個体数は常に増加している。

Exercise 372問題 372

[T] Find and graph the second derivative of your equation. Where is it increasing and what is the meaning of this increase?

[T] 求めた式の2階導関数を求め、グラフを描け。どこで増加するか。その増加は何を意味するか。

Exercise 373問題 373

[T] Find the predicted date when the population reaches

10

billion. Using your previous answers about the first and second derivatives, explain why exponential growth is unsuccessful in predicting the future.

[T] モデルが人口

10

十億人に達すると予測する年を求めよ。1階・2階導関数に関する前問の結果を使い、指数的増加のモデルで将来を予測し続けることに無理がある理由を説明せよ。

Solution解き方

The population reaches

10

billion people in

2027 .

このモデルでは、

2027 .

年に人口が

10

十億人に達する。

Exercises 374–376練習問題 374–376

For the next set of exercises, use the following table, which shows the population of San Francisco during the 19th century.

次の一連の問題では、19世紀のサンフランシスコの人口を示す表を使う。

*Source*: http://www.sfgenealogy.com/sf/history/hgpop.htm.
出典：http://www.sfgenealogy.com/sf/history/hgpop.htm。
Years since 1850 1850年からの経過年数	Population (thousands) 人口（千人）
$0$	$21.00$
$10$	$56.80$
$20$	$149.5$
$30$	$234.0$

Exercise 374問題 374

[T] The best-fit exponential curve to the data of the form

P (t) = a e^{b t}

is given by

P (t) = 35.26 e^{0.06407 t} .

Use a graphing calculator to graph the data and the exponential curve together.

[T] データに最もよく当てはまる

P (t) = a e^{b t}

の形の指数曲線は、

P (t) = 35.26 e^{0.06407 t}

で与えられる。グラフ電卓を使い、データと指数曲線を同じ座標上に描け。

Exercise 375問題 375

[T] Find and graph the derivative

y^{'}

of your equation. Where is it increasing? What is the meaning of this increase? Is there a value where the increase is maximal?

[T] 求めた式の導関数

y^{'}

を求め、グラフを描け。どこで増加するか。その増加は何を意味するか。また、増加率が最大になる時点はあるか。

Solution解き方

P' (t) = 2.259 e^{0.06407 t} .

The population is always increasing.

P' (t) = 2.259 e^{0.06407 t}

。個体数は常に増加している。

Exercise 376問題 376

[T] Find and graph the second derivative of your equation. Where is it increasing? What is the meaning of this increase?

[T] 求めた式の2階導関数を求め、グラフを描け。どこで増加するか。その増加は何を意味するか。

doubling time

倍加時間

if a quantity grows exponentially, the doubling time is the amount of time it takes the quantity to double, and is given by

(ln 2) / k

指数的に増加する量が2倍になるまでの時間。

(ln 2) / k

で与えられる。

exponential decay

指数的減少

systems that exhibit exponential decay follow a model of the form

y = y_{0} e^{− k t}

y = y_{0} e^{− k t}

の形のモデルに従う減少。k は正の定数である。

exponential growth

指数的増加

systems that exhibit exponential growth follow a model of the form

y = y_{0} e^{k t}

y = y_{0} e^{k t}

の形のモデルに従う増加。k は正の定数である。

half-life

半減期

if a quantity decays exponentially, the half-life is the amount of time it takes the quantity to be reduced by half. It is given by

(ln 2) / k

指数的に減少する量が半分になるまでの時間。

(ln 2) / k

で与えられる。