第6章積分の応用

Which Method Should We Use?どの方法を選ぶべきか

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Key Concepts重要な概念

• The method of cylindrical shells is another method for using a definite integral to calculate the volume of a solid of revolution. This method is sometimes preferable to either the method of disks or the method of washers because we integrate with respect to the other variable. In some cases, one integral is substantially more complicated than the other.

  円筒殻法も、定積分を使って回転体の体積を求める方法である。円板法・円環法とは別の変数について積分するので、こちらの方が便利な場合がある。変数の選び方によって、積分の難しさが大きく変わることがある。
• The geometry of the functions and the difficulty of the integration are the main factors in deciding which integration method to use.

  方法を選ぶ際の主な判断材料は、関数のグラフが作る形と、積分の計算の難しさである。

Key Equations重要な式

Exercises 114–119練習問題 114–119

For the following exercises, find the volume generated when the region between the two curves is rotated around the given axis. Use both the shell method and the washer method. Use technology to graph the functions and draw a typical slice by hand.

次の各問では、2曲線間の領域を指定された軸の周りに回転させたときの体積を求めよ。円筒殻法と円環法の両方を使うこと。計算機で関数のグラフを描き、代表的な薄片は手で描け。

Exercise 114問題 114

[T] Bounded by the curves $y=3x,x=0,$ and $y=3$ rotated around the $y\text{-axis}.$

[T] $y=3x,x=0$、$y=3$で囲まれた領域を、$y\text{軸}$の周りに回転させる。

Exercise 115問題 115

[T] Bounded by the curves $y=3x,y=0,\text{and}x=3$ rotated around the $y\text{-axis}.$

[T] 曲線 $y=3x,y=0,\text{および}x=3$ で囲まれた領域を $y\text{軸}$ のまわりに回転させる。

Solution解き方

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$54\pi$ units³

$54\pi$ 単位³

Exercise 116問題 116

[T] Bounded by the curves $y=3x,y=0,\text{and}y=3$ rotated around the $x\text{-axis}.$

[T] 曲線 $y=3x,y=0,\text{および}y=3$ で囲まれた領域を $x\text{軸}$ のまわりに回転させる。

Exercise 117問題 117

[T] Bounded by the curves $y=3x,y=0,\text{and}x=3$ rotated around the $x\text{-axis}.$

[T] 曲線 $y=3x,y=0,\text{および}x=3$ で囲まれた領域を $x\text{軸}$ のまわりに回転させる。

Solution解き方

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$81\pi$ units³

$81\pi$ 単位³

Exercise 118問題 118

[T] Bounded by the curves $y=2x^3,y=0,\text{and}x=2$ rotated around the $y\text{-axis}.$

[T] 曲線 $y=2x^3,y=0,\text{および}x=2$ で囲まれた領域を $y\text{軸}$ のまわりに回転させる。

Exercise 119問題 119

[T] Bounded by the curves $y=2x^3,y=0,\text{and}x=2$ rotated around the $x\text{-axis}.$

[T] 曲線 $y=2x^3,y=0,\text{および}x=2$ で囲まれた領域を $x\text{軸}$ のまわりに回転させる。

Solution解き方

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$\frac{512\pi }{7}$ units³

$\frac{512\pi }{7}$ 単位³

Exercises 150–157練習問題 150–157

For the following exercises, use technology to graph the region. Determine which method you think would be easiest to use to calculate the volume generated when the function is rotated around the specified axis. Then, use your chosen method to find the volume.

次の各問では、計算機で領域のグラフを描け。その領域を指定された軸の周りに回転させたとき、体積を最も求めやすい方法を選び、実際に体積を求めよ。

Exercise 150問題 150

[T] $y=x^2$ and $y=4x$ rotated around the $y\text{-axis}.$

[T] $y=x^2$ と $y=4x$ で囲まれた領域を $y\text{軸}$ のまわりに回転させる。

Exercise 151問題 151

[T] $y=\text{cos}\left(\pi x\right),y=\text{sin}\left(\pi x\right),x=\frac{1}{4},\text{and}x=\frac{5}{4}$ rotated around the $y\text{-axis}.$ This exercise requires advanced technique. You may use technology to perform the integration.

[T] $y=\text{cos}\left(\pi x\right),y=\text{sin}\left(\pi x\right),x=\frac{1}{4},\text{および}x=\frac{5}{4}$で囲まれた領域を$y\text{軸}$の周りに回転させる。この積分には発展的な手法が必要なので、計算機を使ってよい。

Solution解き方

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$3\sqrt{2}$ units³

$3\sqrt{2}$ 単位³

Exercise 152問題 152

[T] $y=x^2-2x,x=2,\text{and}x=4$ rotated around the $y\text{-axis}.$

[T] $y=x^2-2x,x=2,\text{および}x=4$ を $y\text{軸}$ のまわりに回転させる。

Exercise 153問題 153

[T] $y=x^2-2x,x=2,\text{and}x=4$ rotated around the $x\text{-axis}.$

[T] $y=x^2-2x,x=2,\text{および}x=4$ を $x\text{軸}$ のまわりに回転させる。

Solution解き方

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$\frac{496\pi }{15}$ units³

$\frac{496\pi }{15}$ 単位³

Exercise 154問題 154

[T] $y=3x^3-2,y=x,\text{and}x=2$ rotated around the $x\text{-axis}.$

[T] $y=3x^3-2,y=x,\text{および}x=2$ を $x\text{軸}$ のまわりに回転させる。

Exercise 155問題 155

[T] $y=3x^3-2,y=x,\text{and}x=2$ rotated around the $y\text{-axis}.$

[T] $y=3x^3-2,y=x,\text{および}x=2$ を $y\text{軸}$ のまわりに回転させる。

Solution解き方

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$\frac{398\pi }{15}$ units³

$\frac{398\pi }{15}$ 単位³

Exercise 156問題 156

[T] $x=\text{sin}\left(\pi y^2\right)$ and $x=\sqrt{2}y$ rotated around the $x\text{-axis}.$

[T] $x=\text{sin}\left(\pi y^2\right)$ と $x=\sqrt{2}y$ で囲まれた領域を $x\text{軸}$ のまわりに回転させる。

Exercise 157問題 157

[T] $x=y^2,x=y^2-2y+1,\text{and}x=2$ rotated around the $y\text{-axis}.$

[T] $x=y^2,x=y^2-2y+1,\text{および}x=2$ を $y\text{軸}$ のまわりに回転させる。

Solution解き方

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$15.9074$ units³

$15.9074$ 単位³

Exercises 158–164練習問題 158–164

For the following exercises, use the method of shells to approximate the volumes of some common objects, which are pictured in accompanying figures.

次の各問では、図に示す身近な物の形をモデル化し、円筒殻法で体積を求めよ。

Exercise 158問題 158

Use the method of shells to find the volume of a sphere of radius $r.$

円筒殻法を使って、半径$r$の球の体積を求めよ。

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Exercise 159問題 159

Use the method of shells to find the volume of a cone with radius $r$ and height $h.$

円筒殻法を使って、半径$r$、高さ$h$の円錐の体積を求めよ。

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Solution解き方

$\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ units³

$\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ 単位³

Exercise 160問題 160

Use the method of shells to find the volume of an ellipsoid $\left(x^2\text{/}{a}^2\right)+\left(y^2\text{/}{b}^2\right)=1$ rotated around the $x\text{-axis}.$

楕円$\left(x^2\text{/}{a}^2\right)+\left(y^2\text{/}{b}^2\right)=1$の内部を$x\text{軸}$の周りに回転させてできる回転楕円体の体積を、円筒殻法で求めよ。

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Exercise 161問題 161

Use the method of shells to find the volume of a cylinder with radius $r$ and height $h.$

円筒殻法を使って、半径$r$、高さ$h$の円柱の体積を求めよ。

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Solution解き方

$\pi r^{2}h$ units³

$\pi r^{2}h$ 単位³

Exercise 162問題 162

Use the method of shells to find the volume of the donut created when the circle $x^2+y^2=4$ is rotated around the line $x=4.$

円$x^2+y^2=4$の内部を直線$x=4$の周りに回転させてできるドーナツ形の立体の体積を、円筒殻法で求めよ。

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Exercise 163問題 163

Consider he region enclosed by the graphs of $y=f\left(x\right),y=1+f\left(x\right),x=0,y=0,$ and $x=a>0.$ What is the volume of the solid generated when this region is rotated around the $y\text{-axis}?$ Assume that the function is defined over the interval $[0,a].$

$y=f\left(x\right),y=1+f\left(x\right),x=0,y=0$、$x=a>0$のグラフで囲まれた領域を考える。この領域を$y\text{軸}$の周りに回転させると、体積はいくらになるか。関数は区間$[0,a]$で定義されているものとする。

Solution解き方

$\pi a^2$ units³

$\pi a^2$ 単位³

Exercise 164問題 164

Consider the function $y=f\left(x\right),$ which decreases from $f\left(0\right)=b$ to $f\left(1\right)=0.$ Set up the integrals for determining the volume, using both the shell method and the disk method, of the solid generated when this region, with $x=0$ and $y=0,$ is rotated around the $y\text{-axis}.$ Prove that both methods approximate the same volume. Which method is easier to apply? (Hint: Since $f\left(x\right)$ is one-to-one, there exists an inverse $f^{\mathrm{-1}}(y).)$

$f\left(0\right)=b$から$f\left(1\right)=0$まで減少する関数$y=f\left(x\right)$を考える。このグラフと$x=0$、$y=0$で囲まれた領域を、$y\text{軸}$の周りに回転させる。円筒殻法と円板法のそれぞれで体積を求める積分式を立て、両者が同じ体積を与えることを証明せよ。どちらの方法が使いやすいか。ヒント：$f\left(x\right)$は1対1の関数なので、逆関数$f^{\mathrm{-1}}(y).)$が存在する。