第6章積分の応用

Key Concepts重要な概念

The arc length of a curve can be calculated using a definite integral.
曲線の弧長は、定積分を使って求められる。
The arc length is first approximated using line segments, which generates a Riemann sum. Taking a limit then gives us the definite integral formula. The same process can be applied to functions of $y .$
まず曲線を線分で近似し、その長さの和をリーマン和で表す。極限をとると、定積分による公式が得られる。 $y$ の関数でも同じ手順を使える。
The concepts used to calculate the arc length can be generalized to find the surface area of a surface of revolution.
弧長を求める考え方を発展させると、回転曲面の面積も求められる。
The integrals generated by both the arc length and surface area formulas are often difficult to evaluate. It may be necessary to use a computer or calculator to approximate the values of the integrals.
弧長や回転曲面の面積の公式に現れる積分は、計算が難しいことも多い。その場合、コンピューターや電卓で近似値を求める必要がある。

Key Equations重要な式

Arc Length of a Function of x x の関数の弧長	$Arc Length = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x$ $弧長 = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x$
Arc Length of a Function of y y の関数の弧長	$Arc Length = \int_{c}^{d} \sqrt{1 + {[g^{'} (y)]}^{2}} d y$ $弧長 = \int_{c}^{d} \sqrt{1 + {[g^{'} (y)]}^{2}} d y$
Surface Area of a Function of x x の関数が作る回転曲面の面積	$Surface Area = \int_{a}^{b} (2 π f (x) \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}}) d x$ $表面積 = \int_{a}^{b} (2 π f (x) \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}}) d x$

Exercises 165–170練習問題 165–170

For the following exercises, find the length of the functions over the given interval.

次の各問では、指定された区間でグラフの弧長を求めよ。

Exercise 165問題 165

y = 5 x from x = 0 to x = 2

y = 5 x から x = 0 ～ x = 2

Solution解き方

2 \sqrt{26}

2 \sqrt{26}

Exercise 166問題 166

y = - \frac{1}{2} x + 25 from x = 1 to x = 4

y = - \frac{1}{2} x + 25 から x = 1 ～ x = 4

Exercise 167問題 167

x = 4 y from y = −1 to y = 1

x = 4 y から y = −1 ～ y = 1

Solution解き方

2 \sqrt{17}

2 \sqrt{17}

Exercise 168問題 168

Pick an arbitrary linear function

x = g (y)

over any interval of your choice

(y_{1}, y_{2}) .

Determine the length of the function and then prove the length is correct by using geometry.

任意の1次関数

x = g (y)

と区間

(y_{1}, y_{2})

を選び、そのグラフの長さを求めよ。さらに、幾何学的な方法でその結果が正しいことを証明せよ。

Exercise 169問題 169

Find the surface area of the volume generated when the curve

y = \sqrt{x}

revolves around the

x -axis

from

(1, 1)

(4, 2),

as seen here.

曲線

y = \sqrt{x}

の点

(1, 1)

から点

(4, 2)

までの部分を、

x 軸

の周りに回転させる。図に示す曲面の面積を求めよ。

曲線 y=√x を x 軸の周りに回転させてできる曲面。立体的な位置関係が分かるように、周囲に直方体の枠が描かれている。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Solution解き方

\frac{π}{6} (17 \sqrt{17} - 5 \sqrt{5})

\frac{π}{6} (17 \sqrt{17} - 5 \sqrt{5})

Exercise 170問題 170

Find the surface area of the volume generated when the curve

y = x^{2}

revolves around the

y -axis

from

(1, 1)

(3, 9) .

曲線

y = x^{2}

の点

(1, 1)

から点

(3, 9)

までの部分を、

y 軸

の周りに回転させる。できる曲面の面積を求めよ。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercises 171–180練習問題 171–180

For the following exercises, find the lengths of the functions of

x

over the given interval. If you cannot evaluate the integral exactly, use technology to approximate it.

次の各問では、指定された区間における

x

の関数のグラフの弧長を求めよ。積分の値を厳密に求められない場合は、計算機器を使って近似せよ。

Exercise 171問題 171

y = x^{3 / 2}

from

(0, 0) to (1, 1)

(0, 0) ～ (1, 1)

を範囲とする

y = x^{3 / 2}

。

Solution解き方

\frac{13 \sqrt{13} - 8}{27}

\frac{13 \sqrt{13} - 8}{27}

Exercise 172問題 172

y = x^{2 / 3}

from

(1, 1) to (8, 4)

(1, 1) ～ (8, 4)

を範囲とする

y = x^{2 / 3}

。

Exercise 173問題 173

y = \frac{1}{3} {(x^{2} + 2)}^{3 / 2}

from

x = 0 to x = 1

x = 0 ～ x = 1

を範囲とする

y = \frac{1}{3} {(x^{2} + 2)}^{3 / 2}

。

Solution解き方

\frac{4}{3}

\frac{4}{3}

Exercise 174問題 174

y = \frac{1}{3} {(x^{2} - 2)}^{3 / 2}

from

x = 2

x = 4

x = 2

から

x = 4

までの

y = \frac{1}{3} {(x^{2} - 2)}^{3 / 2}

。

Exercise 175問題 175

[T]

y = e^{x}

x = 0

x = 1

[T]

x = 0

から

x = 1

までの

y = e^{x}

。

Solution解き方

2.0035

2.0035

Exercise 176問題 176

y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}

from

x = 1 to x = 3

x = 1 ～ x = 3

を範囲とする

y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}

。

Exercise 177問題 177

y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}

from

x = 1 to x = 2

x = 1 ～ x = 2

を範囲とする

y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}

。

Solution解き方

\frac{123}{32}

\frac{123}{32}

Exercise 178問題 178

y = \frac{2 x^{3 / 2}}{3} - \frac{x^{1 / 2}}{2}

from

x = 1 to x = 4

x = 1 ～ x = 4

を範囲とする

y = \frac{2 x^{3 / 2}}{3} - \frac{x^{1 / 2}}{2}

。

Exercise 179問題 179

y = \frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{3 / 2}

from

x = 0 to x = 2

x = 0 ～ x = 2

を範囲とする

y = \frac{1}{27} {(9 x^{2} + 6)}^{3 / 2}

。

Solution解き方

10

10

Exercise 180問題 180

[T]

y = sin x

x = 0 to x = π

[T] 区間

x = 0 ～ x = π

上の

y = sin x

。

Exercises 181–190練習問題 181–190

For the following exercises, find the lengths of the functions of

y

over the given interval. If you cannot evaluate the integral exactly, use technology to approximate it.

次の各問では、指定された区間における

y

の関数のグラフの弧長を求めよ。積分の値を厳密に求められない場合は、計算機器を使って近似せよ。

Exercise 181問題 181

y = \frac{5 - 3 x}{4}

from

y = 0

y = 4

y = 0

から

y = 4

までの

y = \frac{5 - 3 x}{4}

。

Solution解き方

\frac{20}{3}

\frac{20}{3}

Exercise 182問題 182

x = \frac{1}{2} (e^{y} + e^{− y})

from

y = −1 to y = 1

y = −1 ～ y = 1

を範囲とする

x = \frac{1}{2} (e^{y} + e^{− y})

。

Exercise 183問題 183

x = 5 y^{3 / 2}

from

y = 0

y = 1

y = 0

から

y = 1

までの

x = 5 y^{3 / 2}

。

Solution解き方

\frac{1}{675} (229 \sqrt{229} - 8)

\frac{1}{675} (229 \sqrt{229} - 8)

Exercise 184問題 184

[T]

x = y^{2}

from

y = 0

y = 1

[T]

y = 0

から

y = 1

までの

x = y^{2}

。

Exercise 185問題 185

x = \sqrt{y}

from

y = 0 to y = 1

y = 0 ～ y = 1

を範囲とする

x = \sqrt{y}

。

Solution解き方

\frac{1}{8} (4 \sqrt{5} + ln (9 + 4 \sqrt{5}))

\frac{1}{8} (4 \sqrt{5} + ln (9 + 4 \sqrt{5}))

Exercise 186問題 186

x = \frac{2}{3} {(y^{2} + 1)}^{3 / 2}

from

y = 1

y = 3

y = 1

から

y = 3

までの

x = \frac{2}{3} {(y^{2} + 1)}^{3 / 2}

。

Exercise 187問題 187

[T]

x = tan y

from

y = 0

y = \frac{3}{4}

[T]

y = 0

から

y = \frac{3}{4}

までの

x = tan y

。

Solution解き方

1.201

1.201

Exercise 188問題 188

[T]

x = {cos}^{2} y

from

y = - \frac{π}{2}

y = \frac{π}{2}

[T]

y = - \frac{π}{2}

から

y = \frac{π}{2}

までの

x = {cos}^{2} y

。

Exercise 189問題 189

[T]

x = 4^{y}

from

y = 0 to y = 2

[T]

y = 0 ～ y = 2

を範囲とする

x = 4^{y}

。

Solution解き方

15.2341

15.2341

Exercise 190問題 190

[T]

x = ln (y)

y = \frac{1}{e}

y = e

[T]

y = \frac{1}{e}

から

y = e

までの

x = ln (y)

。

Exercises 191–198練習問題 191–198

For the following exercises, find the surface area of the volume generated when the following curves revolve around the

x -axis .

If you cannot evaluate the integral exactly, use your calculator to approximate it.

次の各問では、与えられた曲線を

x 軸

のまわりに回転させたときにできる立体の表面積を求めよ。積分の値を厳密に求められない場合は、電卓で近似せよ。

Exercise 191問題 191

y = \sqrt{x}

from

x = 2

x = 6

x = 2

から

x = 6

までの

y = \sqrt{x}

。

Solution解き方

\frac{49 π}{3}

\frac{49 π}{3}

Exercise 192問題 192

y = x^{3}

from

x = 0

x = 1

x = 0

から

x = 1

までの

y = x^{3}

。

Exercise 193問題 193

y = 7 x

from

x = −1 to x = 1

x = −1 ～ x = 1

を範囲とする

y = 7 x

。

Solution解き方

70 π \sqrt{2}

70 π \sqrt{2}

Exercise 194問題 194

[T]

y = \frac{1}{x^{2}}

from

x = 1 to x = 3

[T]

x = 1 ～ x = 3

を範囲とする

y = \frac{1}{x^{2}}

。

Exercise 195問題 195

y = \sqrt{4 - x^{2}}

from

x = 0 to x = 2

x = 0 ～ x = 2

を範囲とする

y = \sqrt{4 - x^{2}}

。

Solution解き方

8 π

8 π

Exercise 196問題 196

y = \sqrt{4 - x^{2}}

from

x = −1 to x = 1

x = −1 ～ x = 1

を範囲とする

y = \sqrt{4 - x^{2}}

。

Exercise 197問題 197

y = 5 x

from

x = 1 to x = 5

x = 1 ～ x = 5

を範囲とする

y = 5 x

。

Solution解き方

120 π \sqrt{26}

120 π \sqrt{26}

Exercise 198問題 198

[T]

y = tan x

from

x = - \frac{π}{4} to x = \frac{π}{4}

[T]

x = - \frac{π}{4} ～ x = \frac{π}{4}

を範囲とする

y = tan x

。

Exercises 199–211練習問題 199–211

For the following exercises, find the surface area of the volume generated when the following curves revolve around the

y -axis .

If you cannot evaluate the integral exactly, use your calculator to approximate it.

次の各問では、与えられた曲線を

y 軸 .

のまわりに回転させたときにできる立体の表面積を求めよ。積分の値を厳密に求められない場合は、電卓で近似せよ。

Exercise 199問題 199

y = x^{2}

from

x = 0 to x = 2

x = 0 ～ x = 2

を範囲とする

y = x^{2}

。

Solution解き方

\frac{π}{6} (17 \sqrt{17} - 1)

\frac{π}{6} (17 \sqrt{17} - 1)

Exercise 200問題 200

y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}

from

x = 0 to x = 1

x = 0 ～ x = 1

を範囲とする

y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}

。

Exercise 201問題 201

y = x + 1

from

x = 0 to x = 3

x = 0 ～ x = 3

を範囲とする

y = x + 1

。

Solution解き方

9 \sqrt{2} π

9 \sqrt{2} π

Exercise 202問題 202

[T]

y = \frac{1}{x}

from

x = \frac{1}{2}

x = 1

[T]

x = \frac{1}{2}

から

x = 1

までの

y = \frac{1}{x}

。

Exercise 203問題 203

y = \sqrt[3]{x}

from

x = 1 to x = 27

x = 1 ～ x = 27

を範囲とする

y = \sqrt[3]{x}

。

Solution解き方

\frac{10 \sqrt{10} π}{27} (73 \sqrt{73} - 1)

\frac{10 \sqrt{10} π}{27} (73 \sqrt{73} - 1)

Exercise 204問題 204

[T]

y = 3 x^{4}

from

x = 0

x = 1

[T]

x = 0

から

x = 1

までの

y = 3 x^{4}

。

Exercise 205問題 205

[T]

y = \frac{1}{\sqrt{x}}

from

x = 1

x = 3

[T]

x = 1

から

x = 3

までの

y = \frac{1}{\sqrt{x}}

。

Solution解き方

25.645

25.645

Exercise 206問題 206

[T]

y = cos x

from

x = 0

x = \frac{π}{2}

[T]

x = 0

から

x = \frac{π}{2}

までの

y = cos x

。

Exercise 207問題 207

The base of a lamp is constructed by revolving a quarter circle

y = \sqrt{2 x - x^{2}}

around the

y -axis

from

x = 1

x = 2,

as seen here. Create an integral for the surface area of this curve and compute it.

ランプの台座を、4分の1円

y = \sqrt{2 x - x^{2}}

の

x = 1

から

x = 2

までの部分を

y 軸

の周りに回転させて作る。図の曲面の面積を表す積分式を立て、計算せよ。

4分の1円 y=√(2x−x²) の x=1 から x=2 までの部分を y 軸の周りに回転させた、ランプの台座の曲面。

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Solution解き方

π (π + 2)

π (π + 2)

Exercise 208問題 208

A light bulb is a sphere with radius

1 / 2

in. with the bottom sliced off to fit exactly onto a cylinder of radius

1 / 4

in. and length

1 / 3

in., as seen here. The sphere is cut off at the bottom to fit exactly onto the cylinder, so the radius of the cut is

1 / 4

in. Find the surface area (not including the top or bottom of the cylinder).

電球の形を、半径

1 / 2

インチの球から下部を切り落とし、半径

1 / 4

インチ、長さ

1 / 3

インチの円柱をつないだものとする。球の切り口の半径は

1 / 4

インチで、円柱にぴったり接している。円柱の上底・下底を含めず、表面積を求めよ。

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Exercise 209問題 209

[T] A lampshade is constructed by rotating

y = 1 / x

around the

x -axis

from

y = 1

y = 2,

as seen here. Determine how much material you would need to construct this lampshade—that is, the surface area—accurate to four decimal places.

[T] 曲線

y = 1 / x

の

y = 1

から

y = 2

までの部分を

x 軸

の周りに回転させて、図のようなランプシェードを作る。必要な材料の面積、すなわち曲面の面積を、小数第4位まで求めよ。

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Solution解き方

10.5017

10.5017

Exercise 210問題 210

[T] An anchor drags behind a boat according to the function

y = 24 e^{− x / 2} - 24,

where

y

represents the depth beneath the boat and

x

is the horizontal distance of the anchor from the back of the boat. If the anchor is

23

ft below the boat, how much rope do you have to pull to reach the anchor? Round your answer to three decimal places.

[T] 船の後方に引かれるいかりのロープの形を、

y = 24 e^{− x / 2} - 24

で表す。

y

は船からの鉛直位置、

x

は船尾からいかりまでの水平距離である。いかりが船より

23

フィート下にあるとき、いかりまでのロープの長さはいくらか。小数第3位まで求めよ。

Exercise 211問題 211

[T] You are building a bridge that will span

10

ft. You intend to add decorative rope in the shape of

y = 5 | sin ((x π) / 5) |,

where

x

is the distance in feet from one end of the bridge. Find out how much rope you need to buy, rounded to the nearest foot.

[T] 長さ

10

フィートの橋に、

y = 5 | sin ((x π) / 5) |

の形で飾りのロープを張る。

x

は橋の一端から測った距離で、単位はフィートである。何フィートのロープを買えばよいか。最も近い整数に丸めて答えよ。

Solution解き方

23

23

フィート。

Exercises 212–217練習問題 212–217

For the following exercises, find the exact arc length for the following problems over the given interval.

次の各問では、指定された区間で弧長の正確な値を求めよ。

Exercise 212問題 212

y = ln (sin x)

from

x = π / 4

x = (3 π) / 4 .

(Hint: Recall trigonometric identities.)

y = ln (sin x)

、

x = π / 4

から

x = (3 π) / 4

まで。ヒント：三角関数の恒等式を使う。

Exercise 213問題 213

Draw graphs of

y = x^{2},

y = x^{6},

and

y = x^{10} .

For

y = x^{n},

n

increases, formulate a prediction on the arc length from

(0, 0)

(1, 1) .

Now, compute the lengths of these three functions and determine whether your prediction is correct.

y = x^{2}

、

y = x^{6}

、

y = x^{10}

のグラフを描け。

y = x^{n}

において

n

が大きくなると、

(0, 0)

から

(1, 1)

までの弧長はどう変わるか予想せよ。3つのグラフの長さを計算し、予想が正しかったか確かめよ。

Solution解き方

2

2

Exercise 214問題 214

Compare the lengths of the parabola

x = y^{2}

and the line

x = b y

from

(0, 0) to (b^{2}, b)

b

increases. What do you notice?

放物線

x = y^{2}

と直線

x = b y

の、

(0, 0) ～ (b^{2}, b)

までの部分の長さを比較せよ。

b

が大きくなるにつれて、どのようなことが分かるか。

Exercise 215問題 215

Solve for the length of

x = y^{2}

from

(0, 0) to (1, 1) .

Show that

x = (1 / 2) y^{2}

from

(0, 0)

(2, 2)

is twice as long. Graph both functions and explain why this is so.

曲線

x = y^{2}

の

(0, 0) ～ (1, 1)

までの長さを求めよ。また、

x = (1 / 2) y^{2}

の

(0, 0)

から

(2, 2)

までの長さが、その2倍になることを示せ。両方のグラフを描き、なぜそうなるか説明せよ。

Solution解き方

Answers may vary

答えは一通りとは限らない。

Exercise 216問題 216

[T] Which is longer between

(1, 1)

and

(2, 1 / 2) :

the hyperbola

y = 1 / x

or the graph of

x + 2 y = 3 ?

[T] 点

(1, 1)

と点

(2, 1 / 2) :

を結ぶ部分では、双曲線

y = 1 / x

と直線

x + 2 y = 3

のどちらが長いか。

Exercise 217問題 217

Explain why the surface area is infinite when

y = 1 / x

is rotated around the

x -axis

for

1 \leq x < \infty,

but the volume is finite.

1 \leq x < \infty

の範囲で曲線

y = 1 / x

を

x 軸

の周りに回転させると、体積は有限なのに表面積は無限になる。その理由を説明せよ。

Solution解き方

For more information, look up Gabriel’s Horn.

詳しくは「ガブリエルのラッパ」を調べてみよう。

arc length

弧長

the arc length of a curve can be thought of as the distance a person would travel along the path of the curve

曲線に沿って移動したときの距離として捉えられる、曲線の長さ。

frustum

円錐台

a portion of a cone; a frustum is constructed by cutting the cone with a plane parallel to the base

円錐を底面に平行な平面で切り、頂点側を除いて残る部分。

surface area

表面積

the surface area of a solid is the total area of the outer layer of the object; for objects such as cubes or bricks, the surface area of the object is the sum of the areas of all of its faces

物体の外側を覆う面の面積の合計。立方体やれんがのような立体では、すべての面の面積を足し合わせたものである。