第6章積分の応用

Key Concepts重要な概念

Several physical applications of the definite integral are common in engineering and physics.
工学や物理では、定積分のさまざまな応用が使われる。
Definite integrals can be used to determine the mass of an object if its density function is known.
密度を表す関数が分かれば、定積分で物体の質量を求められる。
Work can also be calculated from integrating a force function, or when counteracting the force of gravity, as in a pumping problem.
力を表す関数の積分から、仕事を求められる。液体のくみ上げのように、重力に逆らって物体を動かす仕事にも使える。
Definite integrals can also be used to calculate the force exerted on an object submerged in a liquid.
液体に沈んだ物体が受ける力も、定積分で求められる。

Key Equations重要な式

Mass of a one-dimensional object 1次元の物体の質量	$m = \int_{a}^{b} ρ (x) d x$
Mass of a circular object 円板の質量	$m = \int_{0}^{r} 2 π x ρ (x) d x$
Work done on an object 物体にする仕事	$W = \int_{a}^{b} F (x) d x$
Hydrostatic force on a plate 板に働く静水圧による力	$F = \int_{a}^{b} ρ w (x) s (x) d x$

Exercises 218–223練習問題 218–223

For the following exercises, find the work done.

次の各問では、仕事を求めよ。

Exercise 218問題 218

Find the work done when a constant force

F = 12

lb moves a chair from

x = 0.9

x = 1.1

ft.

一定の力

F = 12

ポンドで、椅子を

x = 0.9

から

x = 1.1

フィートまで動かすときの仕事を求めよ。

Exercise 219問題 219

How much work is done when a person lifts a

50

lb box of comics onto a truck that is

3

ft off the ground?

重さ

50

ポンドの漫画の箱を、地面から

3

フィートの高さのトラックの荷台へ持ち上げるとき、仕事はいくらか。

Solution解き方

150

ft-lb

150

フィート・ポンド

Exercise 220問題 220

What is the work done lifting a

20

kg child from the floor to a height of

2

m? (Note that a mass of

1

kg weighs

9.8

N near the surface of the Earth.)

質量

20

kg の子どもを床から高さ

2

m まで持ち上げる仕事はいくらか。地表付近では、質量

1

kg の物体の重さは

9.8

N である。

Exercise 221問題 221

Find the work done when you push a box along the floor

2

m, when you apply a constant force of

F = 100 N .

一定の力

F = 100 N

で、箱を床に沿って

2

m 押すときの仕事を求めよ。

Solution解き方

200 J

200 J

Exercise 222問題 222

Compute the work done for a force

F = 12 / x^{2}

N from

x = 1

x = 2

力

F = 12 / x^{2}

N が物体を

x = 1

から

x = 2

m まで動かすときの仕事を求めよ。

Exercise 223問題 223

What is the work done moving a particle from

x = 0

x = 1

m if the force acting on it is

F = 3 x^{2}

質点を

x = 0

から

x = 1

m まで動かすとき、作用する力が

F = 3 x^{2}

N なら、仕事はいくらか。

Solution解き方

1

1

Exercises 224–228練習問題 224–228

For the following exercises, find the mass of the one-dimensional object.

次の各問では、1次元の物体の質量を求めよ。

Exercise 224問題 224

A wire that is

2

ft long (starting at

x = 0)

and has a density function of

ρ (x) = x^{2} + 2 x

lb/ft

長さ

2

フィートの針金（始点は

x = 0)

。線密度は

ρ (x) = x^{2} + 2 x

lb/ft である。

Exercise 225問題 225

A car antenna that is

3

ft long (starting at

x = 0)

and has a density function of

ρ (x) = 3 x + 2

lb/ft

長さ

3

フィートの自動車のアンテナ（始点は

x = 0)

。線密度は

ρ (x) = 3 x + 2

lb/ft である。

Solution解き方

\frac{39}{2}

\frac{39}{2}

Exercise 226問題 226

A metal rod that is

8

in. long (starting at

x = 0)

and has a density function of

ρ (x) = e^{1 / 2 x}

lb/in.

長さ

8

インチの金属棒（始点は

x = 0)

。線密度は

ρ (x) = e^{1 / 2 x}

lb/in. である。

Exercise 227問題 227

A pencil that is

4

in. long (starting at

x = 2)

and has a density function of

ρ (x) = 5 / x

oz/in.

長さ

4

インチの鉛筆（始点は

x = 2)

。線密度は

ρ (x) = 5 / x

oz/in. である。

Solution解き方

ln (243)

ln (243)

Exercise 228問題 228

A ruler that is

12

in. long (starting at

x = 5)

and has a density function of

ρ (x) = ln (x) + (1 / 2) x^{2}

oz/in.

長さ

12

インチの定規（始点は

x = 5)

。線密度は

ρ (x) = ln (x) + (1 / 2) x^{2}

oz/in. である。

Exercises 229–253練習問題 229–253

For the following exercises, find the mass of the two-dimensional object that is centered at the origin.

次の各問では、中心が原点にある2次元の物体の質量を求めよ。密度は中心からの距離の関数である。

Exercise 229問題 229

An oversized hockey puck of radius

2

in. with density function

ρ (x) = x^{3} - 2 x + 5

半径

2

インチの大きなホッケーのパック。密度は

ρ (x) = x^{3} - 2 x + 5

である。

Solution解き方

\frac{332 π}{15}

\frac{332 π}{15}

Exercise 230問題 230

A frisbee of radius

6

in. with density function

ρ (x) = e^{− x}

半径

6

インチのフリスビー。密度は

ρ (x) = e^{− x}

である。

Exercise 231問題 231

A plate of radius

10

in. with density function

ρ (x) = 1 + cos (π x)

半径

10

インチの皿。密度は

ρ (x) = 1 + cos (π x)

である。

Solution解き方

100 π

100 π

Exercise 232問題 232

A jar lid of radius

3

in. with density function

ρ (x) = ln (x + 1)

半径

3

インチの瓶のふた。密度は

ρ (x) = ln (x + 1)

である。

Exercise 233問題 233

A disk of radius

5

cm with density function

ρ (x) = \sqrt{3 x}

半径

5

cm の円板。密度は

ρ (x) = \sqrt{3 x}

である。

Solution解き方

20 π \sqrt{15}

20 π \sqrt{15}

Exercise 234問題 234

12

-in. spring is stretched to

15

in. by a force of

75

lb. What is the spring constant?

自然長

12

インチのばねを、

75

ポンドの力で

15

インチまで伸ばす。このばねのばね定数を求めよ。

Exercise 235問題 235

A spring has a natural length of

10

cm. It takes

2

J to stretch the spring to

15

cm. How much work would it take to stretch the spring from

15

cm to

20

cm?

自然長

10

cm のばねを

15

cm まで伸ばすのに、

2

J の仕事が必要である。

15

cm から

20

cm までさらに伸ばすには、どれだけの仕事が必要か。

Solution解き方

6

6

Exercise 236問題 236

1

-m spring requires

10

J to stretch the spring to

1.1

m. How much work would it take to stretch the spring from

1

m to

1.2

自然長

1

m のばねを

1.1

m まで伸ばすのに、

10

J の仕事が必要である。

1

m から

1.2

m まで伸ばすには、どれだけの仕事が必要か。

Exercise 237問題 237

A spring requires

5

J to stretch the spring from

8

cm to

12

cm, and an additional

4

J to stretch the spring from

12

cm to

14

cm. What is the natural length of the spring?

ばねを

8

cm から

12

cm まで伸ばすのに

5

J、さらに

12

cm から

14

cm まで伸ばすのに

4

J の仕事が必要である。ばねの自然長を求めよ。

Solution解き方

5

5

cm。

Exercise 238問題 238

A shock absorber is compressed 1 in. by a weight of 1 t. What is the spring constant?

重さ1米トンの荷重で、ショックアブソーバーが1インチ縮む。ばね定数を求めよ。

Exercise 239問題 239

A force of

F = 20 x - x^{3}

N stretches a nonlinear spring by

x

meters. What work is required to stretch the spring from

x = 0

x = 2

非線形ばねを

x

メートル伸ばすのに必要な力が

F = 20 x - x^{3}

N である。

x = 0

から

x = 2

m まで伸ばすための仕事を求めよ。

Solution解き方

36

36

Exercise 240問題 240

Find the work done by winding up a hanging cable of length

100

ft and weight-density

5

lb/ft.

長さ

100

フィート、単位長さあたりの重さ

5

lb/ft のケーブルが垂れ下がっている。これをすべて巻き上げる仕事を求めよ。

Exercise 241問題 241

For the cable in the preceding exercise, how much work is done to lift the cable

50

ft?

前問のケーブルを

50

フィート巻き上げる場合、仕事はいくらか。

Solution解き方

18,750

ft-lb

18,750

フィート・ポンド

Exercise 242問題 242

For the cable in the preceding exercise, how much additional work is done by hanging a

200

lb weight at the end of the cable?

前問のケーブルの先端に

200

ポンドのおもりを付けると、必要な仕事はどれだけ増えるか。

Exercise 243問題 243

[T] A pyramid of height

500

ft has a square base

800

ft by

800

ft. Find the area

A

at height

h .

If the rock used to build the pyramid weighs approximately

w = 100 {lb/ft}^{3},

how much work did it take to lift all the rock?

[T] 高さ

500

フィートのピラミッドの底面は、

800

フィート×

800

フィートの正方形である。高さ

h

での水平断面積

A

を求めよ。石材の重量密度が約

w = 100 {lb/ft}^{3}

のとき、すべての石材を地面から持ち上げるのに要した仕事はいくらか。

Solution解き方

Weight

= \frac{32}{3} \times 10^{9} lb

重さ

= \frac{32}{3} \times 10^{9} lb

。

Work

= \frac{4}{3} \times 10^{12} ft-lb

仕事

= \frac{4}{3} \times 10^{12} ft-lb

。

Exercise 244問題 244

[T] For the pyramid in the preceding exercise, assume there were

1000

workers each working

10

hours a day,

5

days a week,

50

weeks a year. If the workers, on average, lifted 10 100 lb rocks

2

ft/hr, how long did it take to build the pyramid?

[T] 前問のピラミッドを、

1000

人の労働者が、1日

10

時間、週

5

日、年

50

週働いて建設するとする。1人あたり平均して、毎時、重さ100ポンドの石を10個、それぞれ

2

フィート持ち上げるなら、建設に何年かかるか。

Exercise 245問題 245

[T] The force of gravity on a mass

m

F = − ((G M m) / x^{2})

newtons. For a rocket of mass

m = 1000 kg,

compute the work to lift the rocket from

x = 6400

x = 6500

km. State your answers with three significant figures. (Note:

G = 6.67 \times 10^{−11} {N m}^{2} / {kg}^{2}

and

M = 6 \times 10^{24} kg .)

[T] 質量

m

の物体に働く重力は

F = − ((G M m) / x^{2})

ニュートンである。質量

m = 1000 kg

のロケットを、地球の中心からの距離

x = 6400

km から

x = 6500

km まで持ち上げる仕事を、有効数字3桁で求めよ。定数は（

G = 6.67 \times 10^{−11} {N m}^{2} / {kg}^{2}

、

M = 6 \times 10^{24} kg .)

を用いる。

Solution解き方

9.71 \times 10^{2} N m

9.71 \times 10^{2} N m

Exercise 246問題 246

[T] For the rocket in the preceding exercise, find the work to lift the rocket from

x = 6400

x = \infty .

[T] 前問のロケットを

x = 6400

km から

x = \infty

まで持ち上げる仕事を求めよ。

Exercise 247問題 247

[T] A rectangular dam is

40

ft high and

60

ft wide. Assume the weight density of water is 62.5 lbs/ft³. Compute the total force

F

on the dam when

[T] 高さ

40

フィート、幅

60

フィートの長方形のダムを考える。水の重量密度を62.5 lb/ft³とし、次の各場合にダムが受ける力の合計

F

を求めよ。

the surface of the water is at the top of the dam and
水面がダムの上端にある場合。
the surface of the water is halfway down the dam.
水面がダムの高さの半分にある場合。

Solution解き方

3,000,000

lb, b.

750,000

lbs

3,000,000

ポンド。b.

750,000

ポンド。

Exercise 248問題 248

[T] Find the work required to pump all the water out of a cylinder that has a circular base of radius

5

ft and height

200

ft. Use the fact that the density of water is

62

lb/ft³.

[T] 底面の半径

5

フィート、高さ

200

フィートの円柱形タンクが満水である。水をすべて上端までくみ上げる仕事を求めよ。水の重量密度は

62

lb/ft³とする。

Exercise 249問題 249

[T] Find the work required to pump all the water out of the cylinder in the preceding exercise if the cylinder is only half full.

[T] 前問の円柱形タンクに、高さの半分まで水が入っている場合、水をすべて上端までくみ上げる仕事を求めよ。

Solution解き方

23.25 π

million ft-lb

23.25 π

百万フィート・ポンド。

Exercise 250問題 250

[T] How much work is required to pump out a swimming pool if the area of the base is

800

ft², the water is

4

ft deep, and the top is

1

ft above the water level? Assume that the density of water is

62

lb/ft³.

[T] 底面積

800

ft²のプールに、深さ

4

フィートの水が入っている。プールの上縁は水面より

1

フィート高い。水の重量密度を

62

lb/ft³とすると、すべての水をくみ出す仕事はいくらか。

Exercise 251問題 251

A cylinder of depth

H

and cross-sectional area

A

stands full of water at density

ρ .

Compute the work to pump all the water to the top.

深さ

H

、断面積

A

の円柱形タンクが、重量密度

ρ

の水で満たされている。すべての水を上端までくみ上げる仕事を求めよ。

Solution解き方

\frac{A ρ H^{2}}{2}

\frac{A ρ H^{2}}{2}

Exercise 252問題 252

For the cylinder in the preceding exercise, compute the work to pump all the water to the top if the cylinder is only half full.

前問の円柱形タンクに、高さの半分まで水が入っている場合、すべての水を上端までくみ上げる仕事を求めよ。

Exercise 253問題 253

A cone-shaped tank has a cross-sectional area that increases with its depth:

A = (π r^{2} h^{2}) / H^{2} .

Show that the work to empty it is half the work for a cylinder with the same height and base.

円錐形タンクの断面積が、上端からの深さ h に従って

A = (π r^{2} h^{2}) / H^{2}

と増加する。このタンクを満水から空にする仕事が、高さと底面が等しい円柱形タンクの場合の半分になることを示せ。

Solution解き方

Answers may vary

答えは一通りとは限らない。

density function

密度関数

a density function describes how mass is distributed throughout an object; it can be a linear density, expressed in terms of mass per unit length; an area density, expressed in terms of mass per unit area; or a volume density, expressed in terms of mass per unit volume; weight-density is also used to describe weight (rather than mass) per unit volume

物体内での質量の分布を表す関数。線密度は単位長さあたり、面密度は単位面積あたり、体積密度は単位体積あたりの質量を表す。また、質量ではなく単位体積あたりの重さを表す重量密度も用いる。

Hooke’s law

フックの法則

this law states that the force required to compress (or elongate) a spring is proportional to the distance the spring has been compressed (or stretched) from equilibrium; in other words,

F = k x,

where

k

is a constant

ばねを平衡位置から縮めたり伸ばしたりするのに必要な力は、その変位に比例するという法則。すなわち、定数

k

を用いて

F = k x

と表される。

hydrostatic pressure

静水圧

the pressure exerted by water on a submerged object

静止した水が、水中の物体に及ぼす圧力。

work

仕事

the amount of energy it takes to move an object; in physics, when a force is constant, work is expressed as the product of force and distance

力によって物体へ移されるエネルギー。力が一定で、物体がその力と同じ向きに動く場合、仕事は力と移動距離の積で表される。