第6章積分の応用

Defining the Number e数 e の定義

Now that we have the natural logarithm defined, we can use that function to define the number

e .

英語のヒント

自然対数が定義できたので、これを使って数

e

を定義しよう。

To put it another way, the area under the curve

y = 1 / t

between

t = 1

and

t = e

1

(Figure 6.77). The proof that such a number exists and is unique is left to you. (Hint: Use the Intermediate Value Theorem to prove existence and the fact that

ln x

is increasing to prove uniqueness.)

英語のヒント

言い換えると、曲線

y = 1 / t

の下の、

t = 1

から

t = e

までの面積が

1

となる（図6.77）。このような数がただ1つ存在することは、各自で証明してみよう。ヒント：存在は中間値の定理で示し、一意性は

ln x

が増加することを使って示す。

曲線 y=1/t の下で、t=1 から t=e までの領域。この面積が1となるように e を定義する。 — Figure 6.77図 6.77
The area under the curve from $1$ to $e$ is equal to one.
$1$ から $e$ までの曲線下の面積は1に等しい。

The number

e

can be shown to be irrational, although we won’t do so here (see the Student Project in Taylor and Maclaurin Series). Its approximate value is given by

数

e

が無理数であることも証明できるが、ここでは扱わない。「テイラー級数とマクローリン級数」の課題を参照してほしい。近似値は次のとおりである。

e \approx 2.71828182846 .

e \approx 2.71828182846

The Exponential Function指数関数

We now turn our attention to the function

e^{x} .

Note that the natural logarithm is one-to-one and therefore has an inverse function. For now, we denote this inverse function by

exp x .

Then,

次に、関数

e^{x}

を考える。自然対数は1対1の関数なので、逆関数をもつ。その逆関数を、ひとまず

exp x

と書く。このとき、次式が成り立つ。

exp (ln x) = x for x > 0 and ln (exp x) = x for all x .

exp (ln x) = x ただし x > 0 および ln (exp x) = x すべての x

The following figure shows the graphs of

exp x

and

ln x .

exp x

と

ln x

のグラフを次の図に示す。

関数 exp x と ln x のグラフは、直線 y=x に関して対称である。exp x は (0,1) を通り、x 軸を水平漸近線とする。ln x は (1,0) を通り、y 軸を鉛直漸近線とする。 — Figure 6.78図 6.78
The graphs of $ln x$ and $exp x .$
$ln x$ と $exp x$ のグラフ。

We hypothesize that

exp x = e^{x} .

For rational values of

x,

this is easy to show. If

x

is rational, then we have

ln (e^{x}) = x ln e = x .

Thus, when

x

is rational,

e^{x} = exp x .

For irrational values of

x,

we simply define

e^{x}

as the inverse function of

ln x .

英語のヒント

exp x = e^{x}

と予想される。

x

が有理数なら、簡単に示せる。

x

が有理数のとき

ln (e^{x}) = x ln e = x

なので、

x

が有理数なら

e^{x} = exp x

である。

x

が無理数の場合には、

e^{x}

を

ln x

の逆関数によって定義することにする。

Then we have

e^{x} = exp (x)

for all

x,

and thus

こうすると、すべての

x

に対して

e^{x} = exp (x)

となる。したがって、次式が成り立つ。

e^{ln x} = x for x > 0 and ln (e^{x}) = x

e^{ln x} = x ただし x > 0 および ln (e^{x}) = x

(6.26)

for all

x .

これは、すべての

x

について成り立つ。

Properties of the Exponential Function指数関数の性質

Since the exponential function was defined in terms of an inverse function, and not in terms of a power of

e,

we must verify that the usual laws of exponents hold for the function

e^{x} .

指数関数を、

e

のべき乗ではなく逆関数として定義したので、通常の指数法則が

e^{x}

でも成り立つことを確かめる必要がある。

Proof証明

Note that if

p

and

q

are rational, the properties hold. However, if

p

q

are irrational, we must apply the inverse function definition of

e^{x}

and verify the properties. Only the first property is verified here; the other two are left to you. We have

p

と

q

が有理数なら、これらの性質は成り立つ。しかし、

p

または

q

が無理数の場合は、

e^{x}

を逆関数として定義したことに戻って確認する必要がある。ここでは最初の性質だけを証明し、残る2つは各自の課題とする。まず、次式を得る。

ln (e^{p} e^{q}) = ln (e^{p}) + ln (e^{q}) = p + q = ln (e^{p + q}) .

ln (e^{p} e^{q}) = ln (e^{p}) + ln (e^{q}) = p + q = ln (e^{p + q})

Since

ln x

is one-to-one, then

ln x

は1対1の関数なので、次のようになる。

e^{p} e^{q} = e^{p + q} .

e^{p} e^{q} = e^{p + q}

□

As with part iv. of the logarithm properties, we can extend property iii. to irrational values of

r,

and we do so by the end of the section.

対数の性質 iv と同じく、性質 iii も、

r

が無理数の場合まで広げられる。この節の最後で扱う。

We also want to verify the differentiation formula for the function

y = e^{x} .

To do this, we need to use implicit differentiation. Let

y = e^{x} .

Then

関数

y = e^{x}

の微分公式も確かめたい。そのために陰関数微分を使う。

y = e^{x}

と置くと、次式が成り立つ。

\begin{matrix} ln y & = & x \\ \frac{d}{d x} ln y & = & \frac{d}{d x} x \\ \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} & = & 1 \\ \frac{d y}{d x} & = & y . \end{matrix}

Thus, we see

したがって、次式を得る。

\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}

as desired, which leads immediately to the integration formula

これで目的の微分公式が示された。積分公式も直ちに得られる。

\int e^{x} d x = e^{x} + C .

\int e^{x} d x = e^{x} + C

We apply these formulas in the following examples.

次の例題で、これらの公式を使ってみよう。

Example 6.38例題 6.38

Using Properties of Exponential Functions指数関数の性質を使う

Evaluate the following derivatives:

次の導関数を求めよ。

$\frac{d}{d t} e^{3 t} e^{t^{2}}$
$\frac{d}{d t} e^{3 t} e^{t^{2}}$
$\frac{d}{d x} e^{3 x^{2}}$
$\frac{d}{d x} e^{3 x^{2}}$

Solution解き方

We apply the chain rule as necessary.

必要に応じて連鎖律を使う。

$\frac{d}{d t} e^{3 t} e^{t^{2}} = \frac{d}{d t} e^{3 t + t^{2}} = e^{3 t + t^{2}} (3 + 2 t)$
$\frac{d}{d t} e^{3 t} e^{t^{2}} = \frac{d}{d t} e^{3 t + t^{2}} = e^{3 t + t^{2}} (3 + 2 t)$
$\frac{d}{d x} e^{3 x^{2}} = e^{3 x^{2}} 6 x$
$\frac{d}{d x} e^{3 x^{2}} = e^{3 x^{2}} 6 x$

Example 6.39例題 6.39

Using Properties of Exponential Functions指数関数の性質を使う

Evaluate the following integral:

\int 2 x e^{− x^{2}} d x .

次の積分を求めよ：

\int 2 x e^{− x^{2}} d x

。

Solution解き方

Using

u

-substitution, let

u = − x^{2} .

Then

d u = −2 x d x,

and we have

u

による置換を用い、

u = − x^{2}

とおく。すると

d u = −2 x d x

となり、次のようになる。

\int 2 x e^{− x^{2}} d x = − \int e^{u} d u = − e^{u} + C = − e^{− x^{2}} + C .

\int 2 x e^{− x^{2}} d x = − \int e^{u} d u = − e^{u} + C = − e^{− x^{2}} + C

General Logarithmic and Exponential Functions一般の対数関数と指数関数

We close this section by looking at exponential functions and logarithms with bases other than

e .

Exponential functions are functions of the form

f (x) = a^{x} .

Note that unless

a = e,

we still do not have a mathematically rigorous definition of these functions for irrational exponents. Let’s rectify that here by defining the function

f (x) = a^{x}

in terms of the exponential function

e^{x} .

We then examine logarithms with bases other than

e

as inverse functions of exponential functions.

英語のヒント

この節の最後に、

e

以外を底とする指数関数と対数を考える。指数関数は

f (x) = a^{x}

という形の関数である。

a = e

以外の場合、無理数の指数については、まだ厳密な定義を与えていない。そこで、

f (x) = a^{x}

を指数関数

e^{x}

によって定義する。さらに、その逆関数として、

e

以外を底とする対数を調べる。

Now

a^{x}

is defined rigorously for all values of x. This definition also allows us to generalize property iv. of logarithms and property iii. of exponential functions to apply to both rational and irrational values of

r .

It is straightforward to show that properties of exponents hold for general exponential functions defined in this way.

これで、すべての実数 x について

a^{x}

が厳密に定義できた。この定義を使うと、対数の性質 iv と指数関数の性質 iii を、

r

が有理数でも無理数でも成り立つように拡張できる。この方法で定義した一般の指数関数にも指数法則が成り立つことは、直接確かめられる。

Let’s now apply this definition to calculate a differentiation formula for

a^{x} .

We have

この定義を使って、

a^{x}

の微分公式を求めよう。

\frac{d}{d x} a^{x} = \frac{d}{d x} e^{x ln a} = e^{x ln a} ln a = a^{x} ln a .

\frac{d}{d x} a^{x} = \frac{d}{d x} e^{x ln a} = e^{x ln a} ln a = a^{x} ln a

The corresponding integration formula follows immediately.

対応する積分公式も直ちに得られる。

a \neq 1,

then the function

a^{x}

is one-to-one and has a well-defined inverse. Its inverse is denoted by

{log}_{a} x .

Then,

底が正で

a \neq 1

なら、関数

a^{x}

は1対1で、逆関数が定まる。その逆関数を

{log}_{a} x

と書く。このとき、次式が成り立つ。

y = {log}_{a} x if and only if x = a^{y} .

y = {log}_{a} x と同値 x = a^{y}

Note that general logarithm functions can be written in terms of the natural logarithm. Let

y = {log}_{a} x .

Then,

x = a^{y} .

Taking the natural logarithm of both sides of this second equation, we get

一般の対数も、自然対数で表せる。

y = {log}_{a} x

と置くと

x = a^{y}

である。後者の両辺の自然対数をとると、次式を得る。

\begin{matrix} ln x & = & ln (a^{y}) \\ ln x & = & y ln a \\ y & = & \frac{ln x}{ln a} \\ {log}_{a} x & = & \frac{ln x}{ln a} . \end{matrix}

Thus, we see that all logarithmic functions are constant multiples of one another. Next, we use this formula to find a differentiation formula for a logarithm with base

a .

Again, let

y = {log}_{a} x .

Then,

したがって、どの対数関数も、別の対数関数の定数倍である。次にこの式を使い、底

a

の対数の微分公式を求める。再び

y = {log}_{a} x

と置くと、次のようになる。

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} & = \frac{d}{d x} ({log}_{a} x) \\ = \frac{d}{d x} (\frac{ln x}{ln a}) \\ = (\frac{1}{ln a}) \frac{d}{d x} (ln x) \\ = \frac{1}{ln a} \cdot \frac{1}{x} \\ = \frac{1}{x ln a} . \end{matrix}

Example 6.40例題 6.40

Calculating Derivatives of General Exponential and Logarithm Functions一般の指数関数と対数関数の導関数を求める

Evaluate the following derivatives:

次の導関数を求めよ。

$\frac{d}{d t} (4^{t} \cdot 2^{t^{2}})$
$\frac{d}{d t} (4^{t} \cdot 2^{t^{2}})$
$\frac{d}{d x} {log}_{8} (7 x^{2} + 4)$
$\frac{d}{d x} {log}_{8} (7 x^{2} + 4)$

Solution解き方

We need to apply the chain rule as necessary.

必要に応じて連鎖律を使う。

$\frac{d}{d t} (4^{t} \cdot 2^{t^{2}}) = \frac{d}{d t} (2^{2 t} \cdot 2^{t^{2}}) = \frac{d}{d t} (2^{2 t + t^{2}}) = 2^{2 t + t^{2}} ln (2) (2 + 2 t)$
$\frac{d}{d t} (4^{t} \cdot 2^{t^{2}}) = \frac{d}{d t} (2^{2 t} \cdot 2^{t^{2}}) = \frac{d}{d t} (2^{2 t + t^{2}}) = 2^{2 t + t^{2}} ln (2) (2 + 2 t)$
$\frac{d}{d x} {log}_{8} (7 x^{2} + 4) = \frac{1}{(7 x^{2} + 4) (ln 8)} (14 x)$
$\frac{d}{d x} {log}_{8} (7 x^{2} + 4) = \frac{1}{(7 x^{2} + 4) (ln 8)} (14 x)$

Example 6.41例題 6.41

Integrating General Exponential Functions一般の指数関数を積分する

Evaluate the following integral:

\int \frac{3}{2^{3 x}} d x .

次の積分を求めよ：

\int \frac{3}{2^{3 x}} d x

。

Solution解き方

Use

u -substitution

and let

u = −3 x .

Then

d u = −3 d x

and we have

u による置換

を使い、

u = −3 x

と置く。

d u = −3 d x

なので、次のようになる。

\int \frac{3}{2^{3 x}} d x = \int 3 \cdot 2^{−3 x} d x = − \int 2^{u} d u = - \frac{1}{ln 2} 2^{u} + C = - \frac{1}{ln 2} 2^{−3 x} + C .

\int \frac{3}{2^{3 x}} d x = \int 3 \cdot 2^{−3 x} d x = − \int 2^{u} d u = - \frac{1}{ln 2} 2^{u} + C = - \frac{1}{ln 2} 2^{−3 x} + C