第6章積分の応用

Key Concepts重要な概念

The earlier treatment of logarithms and exponential functions did not define the functions precisely and formally. This section develops the concepts in a mathematically rigorous way.
以前の指数関数と対数の扱いでは、定義の厳密な構成を省いていた。この節では、これらを数学的に厳密に組み立てた。
The cornerstone of the development is the definition of the natural logarithm in terms of an integral.
議論の土台は、積分による自然対数の定義である。
The function $e^{x}$ is then defined as the inverse of the natural logarithm.
関数 $e^{x}$ を、自然対数の逆関数として定義した。
General exponential functions are defined in terms of $e^{x},$ and the corresponding inverse functions are general logarithms.
一般の指数関数を $e^{x}$ を使って定義し、その逆関数として一般の対数を定義した。
Familiar properties of logarithms and exponents still hold in this more rigorous context.
このように厳密に定義しても、よく知っている対数の性質や指数法則が成り立つ。

Key Equations重要な式

Natural logarithm function 自然対数関数	$ln x = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t$ Z
Exponential function $y = e^{x}$ 指数関数 $y = e^{x}$	$ln y = ln (e^{x}) = x$ Z

Exercises 295–297練習問題 295–297

For the following exercises, find the derivative

\frac{d y}{d x} .

次の各問では、導関数

\frac{d y}{d x}

を求めよ。

Exercise 295問題 295

y = ln (2 x)

y = ln (2 x)

Solution解き方

\frac{1}{x}

\frac{1}{x}

Exercise 296問題 296

y = ln (2 x + 1)

y = ln (2 x + 1)

Exercise 297問題 297

y = \frac{1}{ln x}

y = \frac{1}{ln x}

Solution解き方

- \frac{1}{x {(ln x)}^{2}}

- \frac{1}{x {(ln x)}^{2}}

Exercises 298–299練習問題 298–299

For the following exercises, find the indefinite integral.

次の各問では、不定積分を求めよ。

Exercise 298問題 298

\int \frac{d t}{3 t}

\int \frac{d t}{3 t}

Exercise 299問題 299

\int \frac{d x}{1 + x}

\int \frac{d x}{1 + x}

Solution解き方

ln (x + 1) + C

ln (x + 1) + C

Exercises 300–309練習問題 300–309

For the following exercises, find the derivative

d y / d x .

(You can use a calculator to plot the function and the derivative to confirm that it is correct.)

次の各問では、導関数

d y / d x

を求めよ。計算機で関数と導関数のグラフを描き、結果を確かめてもよい。

Exercise 300問題 300

[T]

y = \frac{ln (x)}{x}

[T]

y = \frac{ln (x)}{x}

Exercise 301問題 301

[T]

y = x ln (x)

[T]

y = x ln (x)

Solution解き方

ln (x) + 1

ln (x) + 1

Exercise 302問題 302

[T]

y = {log}_{10} x

[T]

y = {log}_{10} x

Exercise 303問題 303

[T]

y = ln (sin x)

[T]

y = ln (sin x)

Solution解き方

cot (x)

cot (x)

Exercise 304問題 304

[T]

y = ln (ln x)

[T]

y = ln (ln x)

Exercise 305問題 305

[T]

y = 7 ln (4 x)

[T]

y = 7 ln (4 x)

Solution解き方

\frac{7}{x}

\frac{7}{x}

Exercise 306問題 306

[T]

y = ln ({(4 x)}^{7})

[T]

y = ln ({(4 x)}^{7})

Exercise 307問題 307

[T]

y = ln (tan x)

[T]

y = ln (tan x)

Solution解き方

csc (x) sec x

csc (x) sec x

Exercise 308問題 308

[T]

y = ln (tan (3 x))

[T]

y = ln (tan (3 x))

Exercise 309問題 309

[T]

y = ln ({cos}^{2} x)

[T]

y = ln ({cos}^{2} x)

Solution解き方

−2 tan x

−2 tan x

Exercises 310–319練習問題 310–319

For the following exercises, find the definite or indefinite integral.

次の各問では、定積分または不定積分を求めよ。

Exercise 310問題 310

\int_{0}^{1} \frac{d x}{3 + x}

\int_{0}^{1} \frac{d x}{3 + x}

Exercise 311問題 311

\int_{0}^{1} \frac{d t}{3 + 2 t}

\int_{0}^{1} \frac{d t}{3 + 2 t}

Solution解き方

\frac{1}{2} ln (\frac{5}{3})

\frac{1}{2} ln (\frac{5}{3})

Exercise 312問題 312

\int_{0}^{2} \frac{x d x}{x^{2} + 1}

\int_{0}^{2} \frac{x d x}{x^{2} + 1}

Exercise 313問題 313

\int_{0}^{2} \frac{x^{3} d x}{x^{2} + 1}

\int_{0}^{2} \frac{x^{3} d x}{x^{2} + 1}

Solution解き方

2 - \frac{1}{2} ln (5)

2 - \frac{1}{2} ln (5)

Exercise 314問題 314

\int_{2}^{e} \frac{d x}{x ln x}

\int_{2}^{e} \frac{d x}{x ln x}

Exercise 315問題 315

\int_{2}^{e} \frac{d x}{{x (ln x)}^{2}}

\int_{2}^{e} \frac{d x}{{x (ln x)}^{2}}

Solution解き方

\frac{1}{ln (2)} - 1

\frac{1}{ln (2)} - 1

Exercise 316問題 316

\int \frac{cos x d x}{sin x}

\int \frac{cos x d x}{sin x}

Exercise 317問題 317

\int_{0}^{π / 4} tan x d x

\int_{0}^{π / 4} tan x d x

Solution解き方

\frac{1}{2} ln (2)

\frac{1}{2} ln (2)

Exercise 318問題 318

\int cot (3 x) d x

\int cot (3 x) d x

Exercise 319問題 319

\int \frac{{(ln x)}^{2} d x}{x}

\int \frac{{(ln x)}^{2} d x}{x}

Solution解き方

\frac{1}{3} {(ln x)}^{3}

\frac{1}{3} {(ln x)}^{3}

Exercises 320–329練習問題 320–329

For the following exercises, compute

d y / d x

by differentiating

ln y .

次の各問では、

ln y

を微分することで、

d y / d x

を求めよ。

Exercise 320問題 320

y = \sqrt{x^{2} + 1}

y = \sqrt{x^{2} + 1}

Exercise 321問題 321

y = \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} - 1}

y = \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} - 1}

Solution解き方

\frac{2 x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} - 1}}

\frac{2 x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} - 1}}

Exercise 322問題 322

y = e^{sin x}

y = e^{sin x}

Exercise 323問題 323

y = x^{−1 / x}

y = x^{−1 / x}

Solution解き方

x^{−2 - (1 / x)} (ln x - 1)

x^{−2 - (1 / x)} (ln x - 1)

Exercise 324問題 324

y = e^{(e x)}

y = e^{(e x)}

Exercise 325問題 325

y = x^{e}

y = x^{e}

Solution解き方

e x^{e - 1}

e x^{e - 1}

Exercise 326問題 326

y = x^{(e x)}

y = x^{(e x)}

Exercise 327問題 327

y = \sqrt{x} \sqrt[3]{x} \sqrt[6]{x}

y = \sqrt{x} \sqrt[3]{x} \sqrt[6]{x}

Solution解き方

1

1

Exercise 328問題 328

y = x^{−1 / ln x}

y = x^{−1 / ln x}

Exercise 329問題 329

y = e^{− ln x}

y = e^{− ln x}

Solution解き方

- \frac{1}{x^{2}}

- \frac{1}{x^{2}}

Exercises 330–334練習問題 330–334

For the following exercises, evaluate by any method.

次の各問を、任意の方法で計算せよ。

Exercise 330問題 330

\int_{5}^{10} \frac{d t}{t} - \int_{5 x}^{10 x} \frac{d t}{t}

\int_{5}^{10} \frac{d t}{t} - \int_{5 x}^{10 x} \frac{d t}{t}

Exercise 331問題 331

\int_{1}^{e^{π}} \frac{d x}{x} + \int_{−2}^{−1} \frac{d x}{x}

\int_{1}^{e^{π}} \frac{d x}{x} + \int_{−2}^{−1} \frac{d x}{x}

Solution解き方

π - ln (2)

π - ln (2)

Exercise 332問題 332

\frac{d}{d x} \int_{x}^{1} \frac{d t}{t}

\frac{d}{d x} \int_{x}^{1} \frac{d t}{t}

Exercise 333問題 333

\frac{d}{d x} \int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{t}

\frac{d}{d x} \int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{t}

Solution解き方

\frac{1}{x}

\frac{1}{x}

Exercise 334問題 334

\frac{d}{d x} ln (sec x + tan x)

\frac{d}{d x} ln (sec x + tan x)

Exercises 335–339練習問題 335–339

For the following exercises, use the function

ln x .

If you are unable to find intersection points analytically, use a calculator.

次の各問では、関数

ln x

を用いる。交点を式で求められない場合は、計算機を使ってよい。

Exercise 335問題 335

Find the area of the region enclosed by

x = 1

and

y = 5

above

y = ln x .

y = ln x

の上側で、

x = 1

と

y = 5

に囲まれた領域の面積を求めよ。

Solution解き方

e^{5} - 6 {units}^{2}

e^{5} - 6 {単位}^{2}

Exercise 336問題 336

[T] Find the arc length of

ln x

from

x = 1

x = 2 .

[T]

ln x

のグラフの、

x = 1

から

x = 2

までの弧長を求めよ。

Exercise 337問題 337

Find the area between

ln x

and the x-axis from

x = 1 to x = 2 .

x = 1 ～ x = 2

までの、

ln x

のグラフと x 軸の間の面積を求めよ。

Solution解き方

ln (4) - 1 {units}^{2}

ln (4) - 1 {単位}^{2}

Exercise 338問題 338

Find the volume of the shape created when rotating this curve from

x = 1 to x = 2

around the x-axis, as pictured here.

図のように、

x = 1 ～ x = 2

までの曲線下の領域を x 軸の周りに回転させた立体の体積を求めよ。

曲線 y=ln x を x 軸の周りに回転させてできる曲面。立体的な位置関係を示す枠が描かれている。

OpenStax, Rice University; Calculus Volume 1. · CC BY-NC-SA 4.0

Exercise 339問題 339

[T] Find the surface area of the shape created when rotating the curve in the previous exercise from

x = 1

x = 2

around the x-axis.

[T] 前問の曲線の

x = 1

から

x = 2

までの部分を、x 軸の周りに回転させてできる曲面の面積を求めよ。

Solution解き方

2.8656

2.8656

Exercises 340–342練習問題 340–342

If you are unable to find intersection points analytically in the following exercises, use a calculator.

次の各問で、交点を式で求められない場合は、計算機を使ってよい。

Exercise 340問題 340

Find the area of the hyperbolic quarter-circle enclosed by

x = 2 and y = 2

above

y = 1 / x .

双曲線

y = 1 / x

の上側で、

x = 2 および y = 2

に囲まれた領域の面積を求めよ。

Exercise 341問題 341

[T] Find the arc length of

y = 1 / x

from

x = 1 to x = 4 .

[T]

y = 1 / x

の

x = 1 ～ x = 4

までの弧長を求めよ。

Solution解き方

3.1502

3.1502

Exercise 342問題 342

Find the area under

y = 1 / x

and above the x-axis from

x = 1 to x = 4 .

x = 1 ～ x = 4

までの、

y = 1 / x

のグラフの下、x 軸の上にある面積を求めよ。

Exercises 343–347練習問題 343–347

For the following exercises, verify the derivatives and antiderivatives.

次の各問では、示された導関数と原始関数を確かめよ。

Exercise 343問題 343

\frac{d}{d x} ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

\frac{d}{d x} ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

Exercise 344問題 344

\frac{d}{d x} ln (\frac{x - a}{x + a}) = \frac{2 a}{(x^{2} - a^{2})}

\frac{d}{d x} ln (\frac{x - a}{x + a}) = \frac{2 a}{(x^{2} - a^{2})}

Exercise 345問題 345

\frac{d}{d x} ln (\frac{1 + \sqrt{1 - x^{2}}}{x}) = - \frac{1}{x \sqrt{1 - x^{2}}}

\frac{d}{d x} ln (\frac{1 + \sqrt{1 - x^{2}}}{x}) = - \frac{1}{x \sqrt{1 - x^{2}}}

Exercise 346問題 346

\frac{d}{d x} ln (x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}

\frac{d}{d x} ln (x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}

Exercise 347問題 347

\int \frac{d x}{x ln (x) ln (ln x)} = ln (ln (ln x)) + C

\int \frac{d x}{x ln (x) ln (ln x)} = ln (ln (ln x)) + C