第6章積分の応用

Exponential Decay Model指数的減少のモデル

Exponential functions can also be used to model populations that shrink (from disease, for example), or chemical compounds that break down over time. We say that such systems exhibit exponential decay, rather than exponential growth. The model is nearly the same, except there is a negative sign in the exponent. Thus, for some positive constant

k,

we have

y = y_{0} e^{− k t} .

英語のヒント

指数関数は、病気などで減少する個体数や、時間とともに分解する化合物の量にも使える。このような変化を指数的減少という。指数的増加のモデルとほぼ同じだが、指数に負号が付く。つまり、正の定数

k

を使って

y = y_{0} e^{− k t}

と表す。

As with exponential growth, there is a differential equation associated with exponential decay. We have

指数的増加と同じように、指数的減少にも対応する微分方程式がある。

y^{'} = − k y_{0} e^{− k t} = − k y .

y^{'} = − k y_{0} e^{− k t} = − k y

The following figure shows a graph of a representative exponential decay function.

代表的な指数的減少の関数のグラフを、次の図に示す。

初期値2000から減少し、時間とともに0へ近づく指数関数のグラフ。 — Figure 6.80図 6.80
An example of exponential decay.
指数的減少の例。

Let’s look at a physical application of exponential decay. Newton’s law of cooling says that an object cools at a rate proportional to the difference between the temperature of the object and the temperature of the surroundings. In other words, if

T

represents the temperature of the object and

T_{a}

represents the ambient temperature in a room, then

英語のヒント

指数的減少の物理への応用を見よう。ニュートンの冷却の法則によれば、物体が冷える速さは、物体と周囲の温度差に比例する。物体の温度を

T

、一定の室温を

T_{a}

とすれば、次式が成り立つ。

T^{'} = − k (T - T_{a}) .

T^{'} = − k (T - T_{a})

Note that this is not quite the right model for exponential decay. We want the derivative to be proportional to the function, and this expression has the additional

T_{a}

term. Fortunately, we can make a change of variables that resolves this issue. Let

y (t) = T (t) - T_{a} .

Then

y^{'} (t) = T^{'} (t) - 0 = T^{'} (t),

and our equation becomes

英語のヒント

このままでは、指数的減少の形と少し違う。導関数を元の関数に比例させたいが、余分な

T_{a}

の項がある。そこで、変数を

y (t) = T (t) - T_{a}

と置き換える。すると

y^{'} (t) = T^{'} (t) - 0 = T^{'} (t)

となり、方程式は次の形になる。

y^{'} = − k y .

y^{'} = − k y

From our previous work, we know this relationship between y and its derivative leads to exponential decay. Thus,

このような y とその導関数の関係から、指数的減少が得られることはすでに学んだ。したがって、次式となる。

y = y_{0} e^{− k t},

y = y_{0} e^{− k t}

and we see that

よって、次式を得る。

\begin{matrix} T - T_{a} & = & (T_{0} - T_{a}) e^{− k t} \\ T & = & (T_{0} - T_{a}) e^{− k t} + T_{a} \end{matrix}

where

T_{0}

represents the initial temperature. Let’s apply this formula in the following example.

T_{0}

は初めの温度である。次の例で公式を使ってみよう。

Example 6.45例題 6.45

Newton’s Law of Coolingニュートンの冷却の法則

According to experienced baristas, the optimal temperature to serve coffee is between

155 ° F

and

175 ° F .

Suppose coffee is poured at a temperature of

200 ° F,

and after

2

minutes in a

70 ° F

room it has cooled to

180 ° F .

When is the coffee first cool enough to serve? When is the coffee too cold to serve? Round answers to the nearest half minute.

コーヒーを提供するのに適した温度を、

155 ° F

から

175 ° F

の間とする。

200 ° F

で注いだコーヒーを室温

70 ° F

の部屋に置くと、

2

分後に

180 ° F

まで冷えた。提供できる温度に初めて達するのはいつか。また、この範囲より冷たくなるのはいつか。最も近い0.5分単位に丸めて答えよ。

Solution解き方

We have

次の式が得られる。

\begin{matrix} T & = & (T_{0} - T_{a}) e^{− k t} + T_{a} \\ 180 & = & (200 - 70) e^{− k (2)} + 70 \\ 110 & = & 130 e^{−2 k} \\ \frac{11}{13} & = & e^{−2 k} \\ ln \frac{11}{13} & = & −2 k \\ ln 11 - ln 13 & = & −2 k \\ k & = & \frac{ln 13 - ln 11}{2} . \end{matrix}

Then, the model is

したがって、モデルは次のようになる。

T = 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} + 70 .

T = 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} + 70

The coffee reaches

175 ° F

when

コーヒーが

175 ° F

になる時刻は、次のように求められる。

\begin{matrix} 175 & = & 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} + 70 \\ 105 & = & 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} \\ \frac{21}{26} & = & e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} \\ ln \frac{21}{26} & = & \frac{ln 11 - ln 13}{2} t \\ ln 21 - ln 26 & = & \frac{ln 11 - ln 13}{2} t \\ t & = & \frac{2 (ln 21 - ln 26)}{ln 11 - ln 13} \approx 2.56. \end{matrix}

The coffee can be served about

2.5

minutes after it is poured. The coffee reaches

155 ° F

注いでから約

2.5

分後に、提供できる温度になる。

155 ° F

になる時刻は、次のように求められる。

\begin{matrix} 155 & = & 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} + 70 \\ 85 & = & 130 e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} \\ \frac{17}{26} & = & e^{(\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t} \\ ln 17 - ln 26 & = & (\frac{ln 11 - ln 13}{2}) t \\ t & = & \frac{2 (ln 17 - ln 26)}{ln 11 - ln 13} \approx 5.09. \end{matrix}

The coffee is too cold to be served about

5

minutes after it is poured.

注いでから約

5

分後には、指定した提供温度の範囲より冷たくなる。

Checkpoint 6.45確認問題 6.45

Suppose the room is warmer

(75 ° F)

and, after

2

minutes, the coffee has cooled only to

185 ° F .

When is the coffee first cool enough to serve? When is the coffee be too cold to serve? Round answers to the nearest half minute.

部屋がより暖かい

(75 ° F)

場合、

2

分後にコーヒーが

185 ° F

までしか冷えなかったとする。提供できる温度に初めて達するのはいつか。また、その範囲より冷たくなるのはいつか。最も近い0.5分単位に丸めて答えよ。

Solution解き方

The coffee is first cool enough to serve about

3.5

minutes after it is poured. The coffee is too cold to serve about

7

minutes after it is poured.

注いでから約

3.5

分後に提供できる温度に達し、約

7

分後には指定した範囲より冷たくなる。

Just as systems exhibiting exponential growth have a constant doubling time, systems exhibiting exponential decay have a constant half-life. To calculate the half-life, we want to know when the quantity reaches half its original size. Therefore, we have

指数的増加で倍加時間が一定であるのと同じように、指数的減少では半減期が一定である。半減期を求めるには、量が初期値の半分になる時刻を求めればよい。

\begin{matrix} \frac{y_{0}}{2} & = & y_{0} e^{− k t} \\ \frac{1}{2} & = & e^{− k t} \\ - ln 2 & = & − k t \\ t & = & \frac{ln 2}{k} . \end{matrix}

Note: This is the same expression we came up with for doubling time.

これは、倍加時間で得られたものと同じ形の式である。

Example 6.46例題 6.46

Radiocarbon Dating放射性炭素による年代測定

One of the most common applications of an exponential decay model is carbon dating.

Carbon- 14

decays (emits a radioactive particle) at a regular and consistent exponential rate. Therefore, if we know how much carbon was originally present in an object and how much carbon remains, we can determine the age of the object. The half-life of

carbon- 14

is approximately

5730

years—meaning, after that many years, half the material has converted from the original

carbon- 14

to the new nonradioactive

nitrogen- 14 .

If we have

100

carbon- 14

today, how much is left in

50

years? If an artifact that originally contained

100

g of carbon now contains

10

g of carbon, how old is it? Round the answer to the nearest hundred years.

英語のヒント

指数的減少の代表的な応用に、放射性炭素による年代測定がある。

炭素 14

は放射性崩壊し、その残存量は一定の減衰定数で指数的に減少する。したがって、初めの量と現在の残存量が分かれば、経過時間を求められる。

炭素 14

の半減期は約

5730

年である。この時間がたつと、初めにあった

炭素 14

の半分が、放射性ではない

窒素 14

に変わる。今日、

炭素 14

が

100

g あるなら、

50

年後には何 g 残るか。また、初めに

100

g の炭素14を含んでいた試料に、現在は

10

g しか残っていない場合、何年前のものと推定されるか。年代は最も近い100年単位に丸めよ。

Solution解き方

We have

次の式が得られる。

\begin{matrix} 5730 & = & \frac{ln 2}{k} \\ k & = & \frac{ln 2}{5730} . \end{matrix}

So, the model says

したがって、モデルは次のようになる。

y = 100 e^{− (ln 2 / 5730) t} .

y = 100 e^{− (ln 2 / 5730) t}

50

years, we have

50

年後の量は、次のように求められる。

\begin{matrix} y & = & 100 e^{− (ln 2 / 5730) (50)} \\ \approx & 99.40 . \end{matrix}

Therefore, in

50

years,

99.40

g of

carbon- 14

remains.

50

年後には、

炭素 14

が

99.40

g 残る。

To determine the age of the artifact, we must solve

試料の年代を求めるには、次の方程式を解く。

\begin{matrix} 10 & = & 100 e^{− (ln 2 / 5730) t} \\ \frac{1}{10} & = & e^{− (ln 2 / 5730) t} \\ t & \approx & 19035. \end{matrix}

The artifact is about

19,000

years old.

試料は約

19,000

年前のものと推定される。