第6章積分の応用

6.8 Exponential Growth and Decay6.8　指数的増加と指数的減少

Learning Objectives学習目標

Use the exponential growth model in applications, including population growth and compound interest.
個体数の増加や複利などに、指数的増加のモデルを使う。
Explain the concept of doubling time.
倍加時間を説明する。
Use the exponential decay model in applications, including radioactive decay and Newton’s law of cooling.
放射性崩壊やニュートンの冷却の法則などに、指数的減少のモデルを使う。
Explain the concept of half-life.
半減期を説明する。

One of the most prevalent applications of exponential functions involves growth and decay models. Exponential growth and decay show up in a host of natural applications. From population growth and continuously compounded interest to radioactive decay and Newton’s law of cooling, exponential functions are ubiquitous in nature. In this section, we examine exponential growth and decay in the context of some of these applications.

英語のヒント

指数関数の代表的な応用に、増加と減少のモデルがある。人口増加、連続複利、放射性崩壊、ニュートンの冷却の法則など、さまざまな現象に指数関数が現れる。この節では、そのいくつかを通して指数的増加・減少を調べる。

Exponential Growth Model指数的増加のモデル

Many systems exhibit exponential growth. These systems follow a model of the form

y = y_{0} e^{k t},

where

y_{0}

represents the initial state of the system and

k

is a positive constant, called the growth constant. Notice that in an exponential growth model, we have

指数的に増加する量は多く、

y = y_{0} e^{k t}

という形のモデルに従う。

y_{0}

は初期値、

k

は増加定数と呼ばれる正の定数である。このモデルでは、次式が成り立つ。

y^{'} = k y_{0} e^{k t} = k y .

y^{'} = k y_{0} e^{k t} = k y

(6.27)

That is, the rate of growth is proportional to the current function value. This is a key feature of exponential growth. Equation 6.27 involves derivatives and is called a differential equation. We learn more about differential equations in Introduction to Differential Equations.

つまり、増加する速さは、その時点の関数の値に比例する。これが指数的増加の大きな特徴である。式6.27のように導関数を含む方程式を、微分方程式という。詳しくは「微分方程式入門」で学ぶ。

Population growth is a common example of exponential growth. Consider a population of bacteria, for instance. It seems plausible that the rate of population growth would be proportional to the size of the population. After all, the more bacteria there are to reproduce, the faster the population grows. Figure 6.79 and Table 6.1 represent the growth of a population of bacteria with an initial population of

200

bacteria and a growth constant of

0.02 .

Notice that after only

2

hours

(120

minutes), the population is

10

times its original size!

英語のヒント

個体数の増加は、指数的増加のよくある例である。細菌を考えると、個体数が増える速さが現在の個体数に比例する、という仮定は自然だろう。繁殖する細菌が多いほど、個体数も速く増えるからである。図6.79と表6.1は、初期の個体数が

200

、増加定数が

0.02

の場合を示す。わずか

2

時間

(120

分）で、初めの約

10

倍になる。

指数関数 y=200e^(0.02t) のグラフ。t=0 で200から始まり、時間とともに増加の傾きが大きくなる。 — Figure 6.79図 6.79
An example of exponential growth for bacteria.
細菌の個体数が指数的に増加する例。

Exponential Growth of a Bacterial Population細菌の個体数の指数的増加

Table 6.1表 6.1
Time (min) 時間（分）	Population Size (no. of bacteria) 細菌の個体数
$10$	$244$
$20$	$298$
$30$	$364$
$40$	$445$
$50$	$544$
$60$	$664$
$70$	$811$
$80$	$991$
$90$	$1210$
$100$	$1478$
$110$	$1805$
$120$	$2205$

Note that we are using a continuous function to model what is inherently discrete behavior. At any given time, the real-world population contains a whole number of bacteria, although the model takes on noninteger values. When using exponential growth models, we must always be careful to interpret the function values in the context of the phenomenon we are modeling.

英語のヒント

本来は離散的な個体数を、連続関数で近似していることに注意しよう。実際の細菌の個体数は常に整数だが、モデルの値は整数とは限らない。指数的増加のモデルを使うときは、対象とする現象に合わせて関数の値を解釈する必要がある。

Example 6.42例題 6.42

Population Growth個体数の増加

Consider the population of bacteria described earlier. This population grows according to the function

f (t) = 200 e^{0.02 t},

where t is measured in minutes. How many bacteria are present in the population after

5

hours

(300

minutes)? When does the population reach

100,000

bacteria?

先ほどの細菌の個体数を考える。

f (t) = 200 e^{0.02 t}

に従って増加し、t の単位は分とする。

5

時間

(300

分）後の個体数はいくらか。また、

100,000

に達するのはいつか。

Solution解き方

We have

f (t) = 200 e^{0.02 t} .

Then

f (t) = 200 e^{0.02 t}

なので、次のようになる。

f (300) = 200 e^{0.02 (300)} \approx 80,686 .

f (300) = 200 e^{0.02 (300)} \approx 80,686

There are

80,686

bacteria in the population after

5

hours.

5

時間後の細菌の個体数は

80,686

である。

To find when the population reaches

100,000

bacteria, we solve the equation

100,000

に達する時刻を求めるには、次の方程式を解けばよい。

\begin{matrix} 100,000 & = & 200 e^{0.02 t} \\ 500 & = & e^{0.02 t} \\ ln 500 & = & 0.02 t \\ t & = & \frac{ln 500}{0.02} \approx 310.73. \end{matrix}

The population reaches

100,000

bacteria after

310.73

minutes.

310.73

分後に、細菌の個体数は

100,000

に達する。

Checkpoint 6.42確認問題 6.42

Consider a population of bacteria that grows according to the function

f (t) = 500 e^{0.05 t},

where

t

is measured in minutes. How many bacteria are present in the population after 4 hours? When does the population reach

100

million bacteria?

細菌の個体数が

f (t) = 500 e^{0.05 t}

に従って増加するとする。

t

の単位は分である。4時間後の個体数はいくらか。個体数が

100

百万に達するのはいつか。

Solution解き方

There are

81,377,396

bacteria in the population after

4

hours. The population reaches

100

million bacteria after

244.12

minutes.

4

時間後の個体数は

81,377,396

である。

244.12

分後に

100

百万に達する。

Let’s now turn our attention to a financial application: compound interest. Interest that is not compounded is called simple interest. Simple interest is paid once, at the end of the specified time period (usually

1

year). So, if we put

$ 1000

in a savings account earning

2 %

simple interest per year, then at the end of the year we have

次に、金融への応用として複利を考える。利息にさらに利息を付けない計算方法を単利という。ここでは、指定期間（通常は

1

年）の終わりに利息を1回受け取る場合を考える。年利

2 %

の単利で

$ 1000

を預けると、1年後には次の金額になる。

1000 (1 + 0.02) = $ 1020 .

1000 (1 + 0.02) = $ 1020

Compound interest is paid multiple times per year, depending on the compounding period. Therefore, if the bank compounds the interest every

6

months, it credits half of the year’s interest to the account after

6

months. During the second half of the year, the account earns interest not only on the initial

$ 1000,

but also on the interest earned during the first half of the year. Mathematically speaking, at the end of the year, we have

英語のヒント

複利では、決められた間隔で利息を元金に加え、その合計に次の利息を付ける。たとえば

6

か月ごとに利息を加える場合、

6

か月後に年利の半分の利息を受け取る。後半の半年では、最初の

$ 1000

だけでなく、前半の利息にも利息が付く。1年後の金額は次のようになる。

1000 {(1 + \frac{0.02}{2})}^{2} = $ 1020.10 .

1000 {(1 + \frac{0.02}{2})}^{2} = $ 1020.10

Similarly, if the interest is compounded every

4

months, we have

同様に、

4

か月ごとに利息を加えると、次のようになる。

1000 {(1 + \frac{0.02}{3})}^{3} = $ 1020.13,

1000 {(1 + \frac{0.02}{3})}^{3} = $ 1020.13

and if the interest is compounded daily

(365

times per year), we have

$ 1020.20 .

If we extend this concept, so that the interest is compounded continuously, after

t

years we have

毎日、すなわち年

(365

回）利息を加えると、1年後には

$ 1020.20

となる。この間隔を限りなく短くした連続複利では、

t

年後の金額は次式となる。

1000 lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{0.02}{n})}^{n t} .

1000 lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{0.02}{n})}^{n t}

Now let’s manipulate this expression so that we have an exponential growth function. Recall that the number

e

can be expressed as a limit:

この式を変形し、指数的増加の関数に書き直そう。数

e

は、次の極限で表せる。

e = lim_{m \to \infty} {(1 + \frac{1}{m})}^{m} .

e = lim_{m \to \infty} {(1 + \frac{1}{m})}^{m}

Based on this, we want the expression inside the parentheses to have the form

(1 + 1 / m) .

Let

n = 0.02 m .

Note that as

n \to \infty,

m \to \infty

as well. Then we get

そこで、括弧の中を

(1 + 1 / m)

の形にしたい。

n = 0.02 m

と置く。

n \to \infty

なら

m \to \infty

でもあるので、次のようになる。

1000 lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{0.02}{n})}^{n t} = 1000 lim_{m \to \infty} {(1 + \frac{0.02}{0.02 m})}^{0.02 m t} = 1000 {[lim_{m \to \infty} {(1 + \frac{1}{m})}^{m}]}^{0.02 t} .

1000 lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{0.02}{n})}^{n t} = 1000 lim_{m \to \infty} {(1 + \frac{0.02}{0.02 m})}^{0.02 m t} = 1000 {[lim_{m \to \infty} {(1 + \frac{1}{m})}^{m}]}^{0.02 t}

We recognize the limit inside the brackets as the number

e .

So, the balance in our bank account after

t

years is given by

1000 e^{0.02 t} .

Generalizing this concept, we see that if a bank account with an initial balance of

$ P

earns interest at a rate of

r,

compounded continuously, then the balance of the account after

t

years is

角括弧内の極限は

e

である。したがって、

t

年後の口座残高は

1000 e^{0.02 t}

となる。一般に、初めの残高が

$ P

で、小数で表した年利

r

（たとえば2%なら0.02）の連続複利なら、

t

年後の残高は次式で表される。

Balance = P e^{r t} .

残高 = P e^{r t}

Example 6.43例題 6.43

Compound Interest複利

A 25-year-old student is offered an opportunity to invest some money in a retirement account that pays

5 %

annual interest compounded continuously. How much does the student need to invest today to have

$ 1

million when she retires at age

65 ?

What if she could earn

6 %

annual interest compounded continuously instead?

英語のヒント

25歳の学生が、年利

5 %

の連続複利で増える退職準備用の口座への投資を考えている。

65

歳で退職するときに

$ 1

百万ドルを得るには、今いくら投資すればよいか。年利

6 %

の連続複利なら、いくら必要か。

Solution解き方

We have

次の式が得られる。

\begin{matrix} 1,000,000 & = & P e^{0.05 (40)} \\ P & = & 135,335.28. \end{matrix}

She must invest

$ 135,335.28

5 %

interest.

年利

5 %

では、

$ 135,335.28

を投資する必要がある。

If, instead, she is able to earn

6 %,

then the equation becomes

代わりに年利

6 %

を得られる場合、方程式は次のようになる。

\begin{matrix} 1,000,000 & = & P e^{0.06 (40)} \\ P & = & 90,717.95. \end{matrix}

In this case, she needs to invest only

$ 90,717.95 .

This is roughly two-thirds the amount she needs to invest at

5 % .

The fact that the interest is compounded continuously greatly magnifies the effect of the

1 %

increase in interest rate.

英語のヒント

この場合、必要な投資額は

$ 90,717.95

である。年利

5 %

の場合のおよそ3分の2で済む。利率の

1

ポイントの差も、長期間にわたる複利では大きな差になる。

If a quantity grows exponentially, the time it takes for the quantity to double remains constant. In other words, it takes the same amount of time for a population of bacteria to grow from

100

200

bacteria as it does to grow from

10,000

20,000

bacteria. This time is called the doubling time. To calculate the doubling time, we want to know when the quantity reaches twice its original size. So we have

英語のヒント

指数的に増加する量では、2倍になるまでの時間は一定である。たとえば細菌の個体数が

100

から

200

に増える時間と、

10,000

から

20,000

に増える時間は等しい。この時間を倍加時間という。倍加時間を求めるには、量が初期値の2倍になる時刻を求めればよい。

\begin{matrix} 2 y_{0} & = & y_{0} e^{k t} \\ 2 & = & e^{k t} \\ ln 2 & = & k t \\ t & = & \frac{ln 2}{k} . \end{matrix}

Example 6.44例題 6.44

Using the Doubling Time倍加時間を使う

Assume a population of fish grows exponentially. A pond is stocked initially with

500

fish. After

6

months, there are

1000

fish in the pond. The owner will allow his friends and neighbors to fish on his pond after the fish population reaches

10,000 .

When will the owner’s friends be allowed to fish?

池の魚の個体数が指数的に増えるとする。初めに

500

匹を放流したところ、

6

か月後には

1000

匹になった。所有者は魚が

10,000

匹になったら、友人や近所の人に釣りを許可するつもりである。いつから釣りができるか。

Solution解き方

We know it takes the population of fish

6

months to double in size. So, if t represents time in months, by the doubling-time formula, we have

6 = (ln 2) / k .

Then,

k = (ln 2) / 6 .

Thus, the population is given by

y = 500 e^{((ln 2) / 6) t} .

To figure out when the population reaches

10,000

fish, we must solve the following equation:

魚の個体数が2倍になるまでに

6

か月かかる。時間 t の単位を月にとると、倍加時間の公式から

6 = (ln 2) / k

であり、

k = (ln 2) / 6

を得る。したがって、個体数は

y = 500 e^{((ln 2) / 6) t}

で表される。

10,000

匹に達する時刻を求めるには、次の方程式を解く。

\begin{matrix} 10,000 & = & 500 e^{(ln 2 / 6) t} \\ 20 & = & e^{(ln 2 / 6) t} \\ ln 20 & = & (\frac{ln 2}{6}) t \\ t & = & \frac{6 (ln 20)}{ln 2} \approx 25.93. \end{matrix}

The owner’s friends have to wait

25.93

months (a little more than

2

years) to fish in the pond.

釣りができるまで、

25.93

か月、すなわち

2

年あまり待つ必要がある。

第6章積分の応用

6.8 Exponential Growth and Decay6.8 指数的増加と指数的減少

Learning Objectives学習目標

Exponential Growth Model指数的増加のモデル

Exponential Growth of a Bacterial Population細菌の個体数の指数的増加

Population Growth個体数の増加

Compound Interest複利

Using the Doubling Time倍加時間を使う

6.8 Exponential Growth and Decay6.8　指数的増加と指数的減少