第6章積分の応用

Key Concepts重要な概念

• Definite integrals can be used to find the volumes of solids. Using the slicing method, we can find a volume by integrating the cross-sectional area.

  定積分で立体の体積を求められる。断面の方法では、断面積を積分することで体積を得る。
• For solids of revolution, the volume slices are often disks and the cross-sections are circles. The method of disks involves applying the method of slicing in the particular case in which the cross-sections are circles, and using the formula for the area of a circle.

  回転体の切片は円板になることが多く、断面は円である。円板法は、断面が円である場合に、円の面積公式を使う方法である。
• If a solid of revolution has a cavity in the center, the volume slices are washers. With the method of washers, the area of the inner circle is subtracted from the area of the outer circle before integrating.

  回転体の中央に空洞がある場合、切片は円環になる。円環法では、外側の円の面積から内側の円の面積を引き、その差を積分する。

Key Equations重要な式

Exercises 63–67練習問題 63–67

For the following exercises, draw a typical slice and find the volume using the slicing method for the given volume.

次の各問では、代表的な切片を描き、断面を使う方法で立体の体積を求めよ。

Exercise 63問題 63

A pyramid with height 6 units and square base of side 2 units, as pictured here.

図のような、高さ6単位、底面が一辺2単位の正方形である角錐。

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Solution解き方

8 units³

8単位³

Exercise 64問題 64

A pyramid with height 4 units and a rectangular base with length 2 units and width 3 units, as pictured here.

図のような、高さ4単位、底面が縦2単位・横3単位の長方形である角錐。

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Exercise 65問題 65

A tetrahedron with a base side of 4 units, as seen here.

図のような、底面の一辺が4単位である正四面体。

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Solution解き方

$\frac{32}{3\sqrt{2}}$ units³

$\frac{32}{3\sqrt{2}}$ 単位³

Exercise 66問題 66

A pyramid with height 5 units, and an isosceles triangular base with lengths of 6 units and 8 units, as seen here.

図のような、高さ5単位で、底面が底辺6単位、等しい二辺がそれぞれ8単位の二等辺三角形である角錐。

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Exercise 67問題 67

A cone of radius $r$ and height $h$ has a smaller cone of radius $r\text{/}2$ and height $h\text{/}2$ removed from the top, as seen here. The resulting solid is called a frustum.

半径 $r$、高さ $h$ の円錐から、頂点側の半径 $r\text{/}2$、高さ $h\text{/}2$ の小円錐を取り除く。残る立体を円錐台という。

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Solution解き方

$\frac{7}{24}\pi r^{2}h$ units³

$\frac{7}{24}\pi r^{2}h$ 単位³

Exercises 68–73練習問題 68–73

For the following exercises, draw an outline of the solid and find the volume using the slicing method.

次の各問では、立体の概形を描き、断面を使って体積を求めよ。

Exercise 68問題 68

The base is a circle of radius $a.$ The slices perpendicular to the base are squares.

底面は半径 $a$ の円であり、底面に垂直な切片は正方形である。

Exercise 69問題 69

The base is a triangle with vertices $\left(0,0\right),\left(1,0\right),$ and $\left(0,1\right).$ Slices perpendicular to the x-axis are semicircles.

底面は頂点 $\left(0,0\right),\left(1,0\right)$、$\left(0,1\right)$ を持つ三角形であり、x 軸に垂直な断面は半円である。

Solution解き方

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$\frac{\pi }{24}$ units³

$\frac{\pi }{24}$ 単位³

Exercise 70問題 70

The base is the region under the parabola $y=1-x^2$ in the first quadrant. Slices perpendicular to the xy-plane and parallel to the y-axis are squares.

底面は、第1象限で放物線 $y=1-x^2$ の下にある領域である。xy 平面に垂直で、y 軸に平行な断面は正方形である。

Exercise 71問題 71

The base is the region under the parabola $y=1-x^2$ and above the $x\text{-axis}\text{.}$ Slices perpendicular to the $y\text{-axis}$ are squares.

底面は、放物線 $y=1-x^2$ の下、$x\text{軸}\text{.}$ の上の領域である。$y\text{軸}$ に垂直な断面は正方形である。

Solution解き方

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$2$ units³

$2$ 単位³

Exercise 72問題 72

The base is the region enclosed by $y=x^2$ and $y=9.$ Slices perpendicular to the x-axis are right isosceles triangles. The intersection of one of these slices and the base is the leg of the triangle.

底面は $y=x^2$ と $y=9$ で囲まれる領域である。x 軸に垂直な断面は直角二等辺三角形であり、底面との共通線分がその直角を挟む一辺となる。

Exercise 73問題 73

The base is the area between $y=x$ and $y=x^2.$ Slices perpendicular to the x-axis are semicircles.

底面は $y=x$ と $y=x^2$ の間の領域であり、x 軸に垂直な断面は半円である。

Solution解き方

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$\frac{\pi }{240}$ units³

$\frac{\pi }{240}$ 単位³

Exercises 74–81練習問題 74–81

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the disk method to find the volume when the region is rotated around the x-axis.

次の各問では、曲線で囲まれた領域を描け。次に、その領域を x 軸のまわりに回したときの体積を、円板法で求めよ。

Exercise 74問題 74

$x+y=8,x=0,\text{and}y=0$

$x+y=8,x=0,\text{および}y=0$

Exercise 75問題 75

$y=2x^2,x=0,x=4,\text{and}y=0$

$y=2x^2,x=0,x=4,\text{および}y=0$

Solution解き方

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$\frac{4096\pi }{5}$ units³

$\frac{4096\pi }{5}$ 単位³

Exercise 76問題 76

$y=e^x+1,x=0,x=1,\text{and}y=0$

$y=e^x+1,x=0,x=1,\text{および}y=0$

Exercise 77問題 77

$y=x^4,x=0,\text{and}y=1\text{for}x\ge 0$

$y=x^4,x=0,\text{および}y=1\text{ただし}x\ge 0$

Solution解き方

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$\frac{8\pi }{9}$ units³

$\frac{8\pi }{9}$ 単位³

Exercise 78問題 78

$y=\sqrt{x},x=0,x=4,\text{and}y=0$

$y=\sqrt{x},x=0,x=4,\text{および}y=0$

Exercise 79問題 79

$y=\text{sin}x,y=\text{cos}x,\text{and}x=0$

$y=\text{sin}x,y=\text{cos}x,\text{および}x=0$

Solution解き方

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$\frac{\pi }{2}$ units³

$\frac{\pi }{2}$ 単位³

Exercise 80問題 80

$y=\frac{1}{x},x=2,\text{and}y=3$

$y=\frac{1}{x},x=2,\text{および}y=3$

Exercise 81問題 81

$x^2-y^2=9\text{and}x+y=9,y=0\text{and}x=0$

$x^2-y^2=9\text{および}x+y=9,y=0\text{および}x=0$

Solution解き方

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$207\pi$ units³

$207\pi$ 単位³

Exercises 82–89練習問題 82–89

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, find the volume when the region is rotated around the y-axis.

次の各問では、曲線で囲まれた領域を描き、y 軸のまわりに回したときの体積を求めよ。

Exercise 82問題 82

$y=4-\frac{1}{2}x,x=0,\text{and}y=0$

$y=4-\frac{1}{2}x,x=0,\text{および}y=0$

Exercise 83問題 83

$y=2x^3,x=0,x=1,\text{and}y=0$

$y=2x^3,x=0,x=1,\text{および}y=0$

Solution解き方

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$\frac{4\pi }{5}$ units³

$\frac{4\pi }{5}$ 単位³

Exercise 84問題 84

$y=3x^2,x=0,\text{and}y=3$

$y=3x^2,x=0,\text{および}y=3$

Exercise 85問題 85

$y=\sqrt{4-x^2},y=0,\text{and}x=0$

$y=\sqrt{4-x^2},y=0,\text{および}x=0$

Solution解き方

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$\frac{16\pi }{3}$ units³

$\frac{16\pi }{3}$ 単位³

Exercise 86問題 86

$y=\frac{1}{\sqrt{x+1}},x=0,x=3,\text{and}y=0$

$y=\frac{1}{\sqrt{x+1}},x=0,x=3,\text{および}y=0$

Exercise 87問題 87

$x=\text{sec}\left(y\right)\text{and}y=\frac{\pi }{4},y=0\text{and}x=0$

$x=\text{sec}\left(y\right)\text{および}y=\frac{\pi }{4},y=0\text{および}x=0$

Solution解き方

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$\pi$ units³

$\pi$ 単位³

Exercise 88問題 88

$y=\frac{1}{x+1},x=0,,x=2,\text{and}y=0$

$y=\frac{1}{x+1},x=0,,x=2,\text{および}y=0$

Exercise 89問題 89

$y=4-x,y=x,\text{and}x=0$

$y=4-x,y=x,\text{および}x=0$

Solution解き方

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$\frac{16\pi }{3}$ units³

$\frac{16\pi }{3}$ 単位³

Exercises 90–97練習問題 90–97

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, find the volume when the region is rotated around the x-axis.

次の各問では、曲線で囲まれた領域を描き、x 軸のまわりに回したときの体積を求めよ。

Exercise 90問題 90

$y=x+2,y=x+6,x=0,\text{and}x=5$

$y=x+2,y=x+6,x=0,\text{および}x=5$

Exercise 91問題 91

$y=x^2\text{and}y=x+2$

$y=x^2\text{および}y=x+2$

Solution解き方

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$\frac{72\pi }{5}$ units³

$\frac{72\pi }{5}$ 単位³

Exercise 92問題 92

$x^2=y^3\text{and}{x}^3=y^2$

$x^2=y^3\text{および}{x}^3=y^2$

Exercise 93問題 93

$y=4-x^2\text{and}y=2-x$

$y=4-x^2\text{および}y=2-x$

Solution解き方

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$\frac{108\pi }{5}$ units³

$\frac{108\pi }{5}$ 単位³

Exercise 94問題 94

[T] $y=\text{cos}x,y=e^{\text{−}x},x=0,\text{and}x=1.2927$

[T] $y=\text{cos}x,y=e^{\text{−}x},x=0,\text{および}x=1.2927$

Exercise 95問題 95

$y=\sqrt{x}\text{and}y=x^2$

$y=\sqrt{x}\text{および}y=x^2$

Solution解き方

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$\frac{3\pi }{10}$ units³

$\frac{3\pi }{10}$ 単位³

Exercise 96問題 96

$y=\text{sin}x\text{,}y=5\text{sin}x,x=0\text{and}x=\pi$

$y=\text{sin}x\text{,}y=5\text{sin}x,x=0\text{および}x=\pi$

Exercise 97問題 97

$y=\sqrt{1+x^2}\text{and}y=\sqrt{4-x^2}$

$y=\sqrt{1+x^2}\text{および}y=\sqrt{4-x^2}$

Solution解き方

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$2\sqrt{6}\pi$ units³

$2\sqrt{6}\pi$ 単位³

Exercises 98–107練習問題 98–107

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the washer method to find the volume when the region is revolved around the y-axis.

次の各問では、曲線で囲まれた領域を描き、y 軸のまわりに回したときの体積を円環法で求めよ。

Exercise 98問題 98

$y=\sqrt{x},x=4,\text{and}y=0$

$y=\sqrt{x},x=4,\text{および}y=0$

Exercise 99問題 99

$y=x+2,y=2x-1,\text{and}x=0$

$y=x+2,y=2x-1,\text{および}x=0$

Solution解き方

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$9\pi$ units³

$9\pi$ 単位³

Exercise 100問題 100

$y=\sqrt[3]{x}\text{and}y=x^3$

$y=\sqrt[3]{x}\text{および}y=x^3$

Exercise 101問題 101

$x=e^{2y},x=y^2,y=0,\text{and}y=\text{ln}\left(2\right)$

$x=e^{2y},x=y^2,y=0,\text{および}y=\text{ln}\left(2\right)$

Solution解き方

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$\frac{\pi }{20}\left(75-4{\text{ln}}^5\left(2\right)\right)$ units³

$\frac{\pi }{20}\left(75-4{\text{ln}}^5\left(2\right)\right)$ 単位³

Exercise 102問題 102

$x=\sqrt{9-y^2},x=e^{\text{−}y},y=0,\text{and}y=3$

$x=\sqrt{9-y^2},x=e^{\text{−}y},y=0,\text{および}y=3$

Exercise 103問題 103

Yogurt containers can be shaped like frustums. Rotate the line $y=\frac{1}{m}x$ around the y-axis to find the volume between $y=a\text{and}y=b.$

ヨーグルトの容器には、円錐台の形をしたものがある。直線 $y=\frac{1}{m}x$ を y 軸のまわりに回し、$y=a\text{および}y=b$ の間にできる体積を求めよ。

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Solution解き方

$\frac{m^2\pi }{3}\left(b^3-a^3\right)$ units³

$\frac{m^2\pi }{3}\left(b^3-a^3\right)$ 単位³

Exercise 104問題 104

Rotate the ellipse $\left(x^2\text{/}{a}^2\right)+\left(y^2\text{/}{b}^2\right)=1$ around the x-axis to approximate the volume of a football, as seen here.

図のように、楕円 $\left(x^2\text{/}{a}^2\right)+\left(y^2\text{/}{b}^2\right)=1$ を x 軸のまわりに回し、アメリカンフットボールのボールの体積を近似せよ。

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Exercise 105問題 105

Rotate the ellipse $\left(x^2\text{/}{a}^2\right)+\left(y^2\text{/}{b}^2\right)=1$ around the y-axis to approximate the volume of a football.

楕円 $\left(x^2\text{/}{a}^2\right)+\left(y^2\text{/}{b}^2\right)=1$ を y 軸のまわりに回し、フットボールの体積を近似せよ。

Solution解き方

$\frac{4a^{2}b\pi }{3}$ units³

$\frac{4a^{2}b\pi }{3}$ 単位³

Exercise 106問題 106

A better approximation of the volume of a football is given by the solid that comes from rotating $y=\text{sin}x$ around the x-axis from $x=0$ to $x=\pi .$ What is the volume of this football approximation, as seen here?

フットボールの体積は、$x=0$ から $x=\pi$ までの $y=\text{sin}x$ の下の領域を x 軸のまわりに回した立体で、よりよく近似できるとする。図の回転体の体積はいくらか。

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Exercise 107問題 107

What is the volume of the Bundt cake that comes from rotating $y=\text{sin}x$ around the y-axis from $x=0$ to $x=\pi ?$

$x=0$ から $x=\pi$ までの $y=\text{sin}x$ の下の領域を y 軸のまわりに回してできる、リング状のバントケーキの体積はいくらか。

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Solution解き方

$2{\pi }^2$ units³

$2{\pi }^2$ 単位³

Exercises 108–113練習問題 108–113

For the following exercises, find the volume of the solid described.

次の各問では、説明された立体の体積を求めよ。

Exercise 108問題 108

The base is the region between $y=x$ and $y=x^2.$ Slices perpendicular to the x-axis are semicircles.

底面は $y=x$ と $y=x^2$ の間の領域であり、x 軸に垂直な断面は半円である。

Exercise 109問題 109

The base is the region enclosed by the generic ellipse $\left(x^2\text{/}{a}^2\right)+\left(y^2\text{/}{b}^2\right)=1.$ Slices perpendicular to the x-axis are semicircles.

底面は楕円 $\left(x^2\text{/}{a}^2\right)+\left(y^2\text{/}{b}^2\right)=1$ で囲まれた領域であり、x 軸に垂直な断面は半円である。

Solution解き方

$\frac{2a{b}^2\pi }{3}$ units³

$\frac{2a{b}^2\pi }{3}$ 単位³

Exercise 110問題 110

Bore a hole of radius $a$ down the axis of a right cone of height $b$ and radius $b$ through the base of the cone as seen here.

図のように、高さ $b$、底面の半径 $b$ の直円錐に、底面から軸に沿って半径 $a$ の穴を開ける。残る立体の体積を求めよ。

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Exercise 111問題 111

Find the volume common to two spheres of radius $r$ with centers that are $2h$ apart, as shown here.

図のように、半径 $r$ の二つの球の中心間距離が $2h$ であるとき、共通部分の体積を求めよ。

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Solution解き方

$V=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}(2r^3-3r^{2}h+h^3)$ units³

$V=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}(2r^3-3r^{2}h+h^3)$ 単位³

Exercise 112問題 112

Find the volume of a spherical cap of height $h$ and radius $r$ where $h<r,$ as seen here.

図のように、半径 $r$ の球から、高さ $h$ の球冠を切り取る。$h<r$ のとき、その体積を求めよ。

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Exercise 113問題 113

Find the volume of a sphere of radius $R$ with a cap of height $h$ removed from the top, as seen here.

図のように、半径 $R$ の球の上部から、高さ $h$ の球冠を取り除いた立体の体積を求めよ。

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Solution解き方

$\frac{\pi }{3}\left(h+R\right){\left(h-2R\right)}^2$ units³

$\frac{\pi }{3}\left(h+R\right){\left(h-2R\right)}^2$ 単位³