第6章積分の応用

Applications応用

One physical application of hyperbolic functions involves hanging cables. If a cable of uniform density is suspended between two supports without any load other than its own weight, the cable forms a curve called a catenary. High-voltage power lines, chains hanging between two posts, and strands of a spider’s web all form catenaries. The following figure shows chains hanging from a row of posts.

英語のヒント

双曲線関数の物理への応用に、つり下げたケーブルの形がある。密度が一様なケーブルを2点の間につり下げ、自重以外の荷重がないとき、ケーブルは懸垂線と呼ばれる曲線になる。送電線や支柱の間につり下げた鎖、糸などで見られる形である。次の図には、支柱の間につり下げた鎖を示す。

Image omitted because its reuse rights could not be verified.権利の確認ができないため画像を割愛。

Figure 6.83図 6.83

Chains between these posts take the shape of a catenary. (credit: modification of work by OKFoundryCompany, Flickr)

支柱の間の鎖は、懸垂線の形になる。（写真：OKFoundryCompany、Flickr の作品を加工）

Hyperbolic functions can be used to model catenaries. Specifically, functions of the form

y = a cosh (x / a)

are catenaries. Figure 6.84 shows the graph of

y = 2 cosh (x / 2) .

懸垂線は双曲線関数で表せる。具体的には、

y = a cosh (x / a)

の形の関数が懸垂線となる。図6.84に

y = 2 cosh (x / 2)

のグラフを示す。

関数 f(x)=2cosh(x/2) のグラフ。y 軸に関して対称で、(0,2) を最下点とし、左右に離れるにつれて高くなる。 — Figure 6.84図 6.84
A hyperbolic cosine function forms the shape of a catenary.
双曲線余弦関数は、懸垂線の形を表す。

Example 6.51例題 6.51

Using a Catenary to Find the Length of a Cable懸垂線を使ってケーブルの長さを求める

Assume a hanging cable has the shape

10 cosh (x / 10)

for

−15 \leq x \leq 15,

where

x

is measured in feet. Determine the length of the cable (in feet).

つり下げたケーブルが、

−15 \leq x \leq 15

で

10 cosh (x / 10)

の形をしているとする。

x

の単位はフィートである。ケーブルの長さをフィート単位で求めよ。

Solution解き方

Recall from Section

6.4

that the formula for arc length is

弧長を扱った

6.4

節の公式を思い出そう。

Arc Length = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x .

弧長 = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x

We have

f (x) = 10 cosh (x / 10),

f^{'} (x) = sinh (x / 10) .

Then

f (x) = 10 cosh (x / 10)

なので、

f^{'} (x) = sinh (x / 10)

となる。したがって、次のようになる。

\begin{matrix} Arc Length & = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x \\ = \int_{−15}^{15} \sqrt{1 + {sinh}^{2} (\frac{x}{10})} d x . \end{matrix}

\begin{matrix} 弧長 & = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x \\ = \int_{−15}^{15} \sqrt{1 + {sinh}^{2} (\frac{x}{10})} d x . \end{matrix}

Now recall that

1 + {sinh}^{2} x = {cosh}^{2} x,

so we have

1 + {sinh}^{2} x = {cosh}^{2} x

を使うと、次式を得る。

\begin{matrix} Arc Length & = \int_{−15}^{15} \sqrt{1 + {sinh}^{2} (\frac{x}{10})} d x \\ = \int_{−15}^{15} cosh (\frac{x}{10}) d x \\ = 10 sinh {(\frac{x}{10}) |}_{−15}^{15} = 10 [sinh (\frac{3}{2}) - sinh (- \frac{3}{2})] = 20 sinh (\frac{3}{2}) \\ \approx 42.586 ft . \end{matrix}

\begin{matrix} 弧長 & = \int_{−15}^{15} \sqrt{1 + {sinh}^{2} (\frac{x}{10})} d x \\ = \int_{−15}^{15} cosh (\frac{x}{10}) d x \\ = 10 sinh {(\frac{x}{10}) |}_{−15}^{15} = 10 [sinh (\frac{3}{2}) - sinh (- \frac{3}{2})] = 20 sinh (\frac{3}{2}) \\ \approx 42.586 ft . \end{matrix}

Key Concepts重要な概念

Hyperbolic functions are defined in terms of exponential functions.
双曲線関数は、指数関数を使って定義される。
Term-by-term differentiation yields differentiation formulas for the hyperbolic functions. These differentiation formulas give rise, in turn, to integration formulas.
項ごとに微分すると、双曲線関数の微分公式が得られる。そこから積分公式も得られる。
With appropriate range restrictions, the hyperbolic functions all have inverses.
必要に応じて定義域を制限すれば、双曲線関数はどれも逆関数をもつ。
Implicit differentiation yields differentiation formulas for the inverse hyperbolic functions, which in turn give rise to integration formulas.
陰関数微分から逆双曲線関数の微分公式が得られ、さらに積分公式も得られる。
The most common physical applications of hyperbolic functions are calculations involving catenaries.
双曲線関数の代表的な物理への応用に、懸垂線に関する計算がある。

Exercises 377–384練習問題 377–384

Exercise 377問題 377

[T] Find expressions for

cosh x + sinh x

and

cosh x - sinh x .

Use a calculator to graph these functions and ensure your expression is correct.

[T]

cosh x + sinh x

と

cosh x - sinh x

を簡単な式で表せ。計算機でグラフを描き、結果を確かめよ。

Solution解き方

e^{x} and e^{− x}

e^{x} および e^{− x}

Exercise 378問題 378

From the definitions of

cosh (x)

and

sinh (x),

find their antiderivatives.

cosh (x)

と

sinh (x)

の定義から、それぞれの原始関数を求めよ。

Exercise 379問題 379

Show that

cosh (x)

and

sinh (x)

satisfy

y^{″} = y .

cosh (x)

と

sinh (x)

が

y^{″} = y

を満たすことを示せ。

Solution解き方

Answers may vary

答えは一通りとは限らない。

Exercise 380問題 380

Use the quotient rule to verify that

tanh (x)' = {sech}^{2} (x) .

商の微分法を使い、

tanh (x)' = {sech}^{2} (x)

を確かめよ。

Exercise 381問題 381

Derive

{cosh}^{2} (x) + {sinh}^{2} (x) = cosh (2 x)

from the definition.

定義から

{cosh}^{2} (x) + {sinh}^{2} (x) = cosh (2 x)

を導け。

Solution解き方

Answers may vary

答えは一通りとは限らない。

Exercise 382問題 382

Take the derivative of the previous expression to find an expression for

sinh (2 x) .

直前の式を微分し、

sinh (2 x)

を表す式を求めよ。

Exercise 383問題 383

Prove

sinh (x + y) = sinh (x) cosh (y) + cosh (x) sinh (y)

by changing the expression to exponentials.

指数関数に書き換えることで、

sinh (x + y) = sinh (x) cosh (y) + cosh (x) sinh (y)

を証明せよ。

Solution解き方

Answers may vary

答えは一通りとは限らない。

Exercise 384問題 384

Take the derivative of the previous expression to find an expression for

cosh (x + y) .

直前の式を微分し、

cosh (x + y)

を表す式を求めよ。

Exercises 385–394練習問題 385–394

For the following exercises, find the derivatives of the given functions and graph along with the function to ensure your answer is correct.

次の各問では、与えられた関数の導関数を求めよ。元の関数と導関数のグラフを描き、結果を確かめよ。

Exercise 385問題 385

[T]

cosh (3 x + 1)

[T]

cosh (3 x + 1)

Solution解き方

3 sinh (3 x + 1)

3 sinh (3 x + 1)

Exercise 386問題 386

[T]

sinh (x^{2})

[T]

sinh (x^{2})

Exercise 387問題 387

[T]

\frac{1}{cosh (x)}

[T]

\frac{1}{cosh (x)}

Solution解き方

− tanh (x) sech (x)

− tanh (x) sech (x)

Exercise 388問題 388

[T]

sinh (ln (x))

[T]

sinh (ln (x))

Exercise 389問題 389

[T]

{cosh}^{2} (x) + {sinh}^{2} (x)

[T]

{cosh}^{2} (x) + {sinh}^{2} (x)

Solution解き方

4 cosh (x) sinh (x)

4 cosh (x) sinh (x)

Exercise 390問題 390

[T]

{cosh}^{2} (x) - {sinh}^{2} (x)

[T]

{cosh}^{2} (x) - {sinh}^{2} (x)

Exercise 391問題 391

[T]

tanh (\sqrt{x^{2} + 1})

[T]

tanh (\sqrt{x^{2} + 1})

Solution解き方

\frac{x {sech}^{2} (\sqrt{x^{2} + 1})}{\sqrt{x^{2} + 1}}

\frac{x {sech}^{2} (\sqrt{x^{2} + 1})}{\sqrt{x^{2} + 1}}

Exercise 392問題 392

[T]

\frac{1 + tanh (x)}{1 - tanh (x)}

[T]

\frac{1 + tanh (x)}{1 - tanh (x)}

Exercise 393問題 393

[T]

{sinh}^{6} (x)

[T]

{sinh}^{6} (x)

Solution解き方

6 {sinh}^{5} (x) cosh (x)

6 {sinh}^{5} (x) cosh (x)

Exercise 394問題 394

[T]

ln (sech (x) + tanh (x))

[T]

ln (sech (x) + tanh (x))

Exercises 395–404練習問題 395–404

For the following exercises, find the antiderivatives for the given functions.

次の各問では、与えられた関数の原始関数を求めよ。

Exercise 395問題 395

cosh (2 x + 1)

cosh (2 x + 1)

Solution解き方

\frac{1}{2} sinh (2 x + 1) + C

\frac{1}{2} sinh (2 x + 1) + C

Exercise 396問題 396

tanh (3 x + 2)

tanh (3 x + 2)

Exercise 397問題 397

x cosh (x^{2})

x cosh (x^{2})

Solution解き方

\frac{1}{2} {sinh}^{2} (x^{2}) + C

\frac{1}{2} {sinh}^{2} (x^{2}) + C

Exercise 398問題 398

3 x^{3} tanh (x^{4})

3 x^{3} tanh (x^{4})

Exercise 399問題 399

{cosh}^{2} (x) sinh (x)

{cosh}^{2} (x) sinh (x)

Solution解き方

\frac{1}{3} {cosh}^{3} (x) + C

\frac{1}{3} {cosh}^{3} (x) + C

Exercise 400問題 400

{tanh}^{2} (x) {sech}^{2} (x)

{tanh}^{2} (x) {sech}^{2} (x)

Exercise 401問題 401

\frac{sinh (x)}{1 + cosh (x)}

\frac{sinh (x)}{1 + cosh (x)}

Solution解き方

ln (1 + cosh (x)) + C

ln (1 + cosh (x)) + C

Exercise 402問題 402

coth (x)

coth (x)

Exercise 403問題 403

cosh (x) + sinh (x)

cosh (x) + sinh (x)

Solution解き方

cosh (x) + sinh (x) + C

cosh (x) + sinh (x) + C

Exercise 404問題 404

{(cosh (x) + sinh (x))}^{n}

{(cosh (x) + sinh (x))}^{n}

Exercises 405–411練習問題 405–411

For the following exercises, find the derivatives for the functions.

次の各問では、与えられた関数の導関数を求めよ。

Exercise 405問題 405

{tanh}^{−1} (4 x)

{tanh}^{−1} (4 x)

Solution解き方

\frac{4}{1 - 16 x^{2}}

\frac{4}{1 - 16 x^{2}}

Exercise 406問題 406

{sinh}^{−1} (x^{2})

{sinh}^{−1} (x^{2})

Exercise 407問題 407

{sinh}^{−1} (cosh (x))

{sinh}^{−1} (cosh (x))

Solution解き方

\frac{sinh (x)}{\sqrt{{cosh}^{2} (x) + 1}}

\frac{sinh (x)}{\sqrt{{cosh}^{2} (x) + 1}}

Exercise 408問題 408

{cosh}^{−1} (x^{3})

{cosh}^{−1} (x^{3})

Exercise 409問題 409

{tanh}^{−1} (cos (x))

{tanh}^{−1} (cos (x))

Solution解き方

− csc (x)

− csc (x)

Exercise 410問題 410

e^{{sinh}^{−1} (x)}

e^{{sinh}^{−1} (x)}

Exercise 411問題 411

ln ({tanh}^{−1} (x))

ln ({tanh}^{−1} (x))

Solution解き方

- \frac{1}{(x^{2} - 1) {tanh}^{−1} (x)}

- \frac{1}{(x^{2} - 1) {tanh}^{−1} (x)}

Exercises 412–418練習問題 412–418

For the following exercises, find the antiderivatives for the functions.

次の各問では、与えられた関数の原始関数を求めよ。

Exercise 412問題 412

\int \frac{d x}{4 - x^{2}}

\int \frac{d x}{4 - x^{2}}

Exercise 413問題 413

\int \frac{d x}{a^{2} - x^{2}}

\int \frac{d x}{a^{2} - x^{2}}

Solution解き方

\frac{1}{a} {tanh}^{−1} (\frac{x}{a}) + C

\frac{1}{a} {tanh}^{−1} (\frac{x}{a}) + C

Exercise 414問題 414

\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

Exercise 415問題 415

\int \frac{x d x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

\int \frac{x d x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

Solution解き方

\sqrt{x^{2} + 1} + C

\sqrt{x^{2} + 1} + C

Exercise 416問題 416

\int - \frac{d x}{x \sqrt{1 - x^{2}}}

\int - \frac{d x}{x \sqrt{1 - x^{2}}}

Exercise 417問題 417

\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{2 x} - 1}}

\int \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{2 x} - 1}}

Solution解き方

{cosh}^{−1} (e^{x}) + C

{cosh}^{−1} (e^{x}) + C

Exercise 418問題 418

\int - \frac{2 x}{x^{4} - 1}

\int - \frac{2 x}{x^{4} - 1}

Exercises 419–421練習問題 419–421

For the following exercises, use the fact that a falling body with friction equal to velocity squared obeys the equation

d v / d t = g - v^{2} .

次の各問では、速度の2乗に比例する抵抗を受けて落下する物体が、単位と係数を適切にとると

d v / d t = g - v^{2}

に従うことを使う。

Exercise 419問題 419

Show that

v (t) = \sqrt{g} tanh ((\sqrt{g}) t)

satisfies this equation.

v (t) = \sqrt{g} tanh ((\sqrt{g}) t)

がこの方程式を満たすことを示せ。

Solution解き方

Answers may vary

答えは一通りとは限らない。

Exercise 420問題 420

Derive the previous expression for

v (t)

by integrating

\frac{d v}{g - v^{2}} = d t .

\frac{d v}{g - v^{2}} = d t

を積分して、前問の

v (t)

の式を導け。

Exercise 421問題 421

[T] Estimate how far a body has fallen in

12

seconds by finding the area underneath the curve of

v (t) .

[T]

v (t)

のグラフの下の面積を求め、

12

秒間に落下した距離を近似せよ。

Solution解き方

37.30

37.30

Exercises 422–424練習問題 422–424

For the following exercises, use this scenario: A cable hanging under its own weight has a slope

S = d y / d x

that satisfies

d S / d x = c \sqrt{1 + S^{2}} .

The constant

c

is the ratio of cable density to tension.

英語のヒント

次の各問では、自重で垂れ下がったケーブルを考える。その傾き

S = d y / d x

は、

d S / d x = c \sqrt{1 + S^{2}}

を満たす。定数

c

は、ケーブルの単位長さあたりの重さと、張力の水平成分との比である。

Exercise 422問題 422

Show that

S = sinh (c x)

satisfies this equation.

S = sinh (c x)

がこの方程式を満たすことを示せ。

Exercise 423問題 423

Integrate

d y / d x = sinh (c x)

to find the cable height

y (x)

y (0) = 1 / c .

d y / d x = sinh (c x)

を積分し、

y (0) = 1 / c

を満たすケーブルの高さ

y (x)

を求めよ。

Solution解き方

y = \frac{1}{c} cosh (c x)

y = \frac{1}{c} cosh (c x)

Exercise 424問題 424

Sketch the cable and determine how far down it sags at

x = 0 .

ケーブルの概形を描き、

x = 0

でのたるみの深さを調べよ。

Exercises 425–434練習問題 425–434

For the following exercises, solve each problem.

次の各問を解け。

Exercise 425問題 425

[T] A chain hangs from two posts

2

m apart to form a catenary described by the equation

y = 2 cosh (x / 2) - 1 .

Find the slope of the catenary at the left fence post.

[T]

2

m 離れた同じ高さの支柱の間に鎖をつり下げると、

y = 2 cosh (x / 2) - 1

で表される懸垂線になった。左右の支柱を原点から等距離に置き、左の支柱での傾きを求めよ。

Solution解き方

−0.521095

−0.521095

Exercise 426問題 426

[T] A chain hangs from two posts four meters apart to form a catenary described by the equation

y = 4 cosh (x / 4) - 3 .

Find the total length of the catenary (arc length).

[T] 4 m 離れた同じ高さの支柱の間につり下げた鎖が、

y = 4 cosh (x / 4) - 3

で表される懸垂線になった。左右の支柱を原点から等距離に置き、鎖全体の長さを求めよ。

Exercise 427問題 427

[T] A high-voltage power line is a catenary described by

y = 10 cosh (x / 10) .

Find the ratio of the area under the catenary to its arc length. What do you notice?

[T] 高圧送電線が、懸垂線

y = 10 cosh (x / 10)

で表される。ある区間の曲線下の面積と、同じ区間の弧長の比を求めよ。どのようなことが分かるか。

Solution解き方

10

10

Exercise 428問題 428

A telephone line is a catenary described by

y = a cosh (x / a) .

Find the ratio of the area under the catenary to its arc length. Does this confirm your answer for the previous question?

電話線が、懸垂線

y = a cosh (x / a)

で表される。曲線下の面積と、同じ区間の弧長の比を求めよ。前問の結果を確かめられるか。

Exercise 429問題 429

Prove the formula for the derivative of

y = {sinh}^{−1} (x)

by differentiating

x = sinh (y) .

(Hint: Use hyperbolic trigonometric identities.)

x = sinh (y)

を微分することで、

y = {sinh}^{−1} (x)

の導関数の公式を証明せよ。（ヒント：双曲線関数の恒等式を用いる。）

Exercise 430問題 430

Prove the formula for the derivative of

y = {cosh}^{−1} (x)

by differentiating

x = cosh (y) .

x = cosh (y)

を微分することで、

y = {cosh}^{−1} (x)

の導関数の公式を証明せよ。

(Hint: Use hyperbolic trigonometric identities.)

ヒント：双曲線関数の恒等式を使う。

Exercise 431問題 431

Prove the formula for the derivative of

y = {sech}^{−1} (x)

by differentiating

x = sech (y) .

(Hint: Use hyperbolic trigonometric identities.)

x = sech (y)

を微分することで、

y = {sech}^{−1} (x)

の導関数の公式を証明せよ。（ヒント：双曲線関数の恒等式を用いる。）

Exercise 432問題 432

Prove that

{(cosh (x) + sinh (x))}^{n} = cosh (n x) + sinh (n x) .

{(cosh (x) + sinh (x))}^{n} = cosh (n x) + sinh (n x)

を証明せよ。

Exercise 433問題 433

Prove the expression for

{sinh}^{−1} (x) .

Multiply

x = sinh (y) = (1 / 2) (e^{y} + e^{− y})

2 e^{y}

and solve for

y .

Does your expression match the textbook?

{sinh}^{−1} (x)

の式を証明せよ。

x = sinh (y) = (1 / 2) (e^{y} + e^{− y})

に

2 e^{y}

を掛け、

y

について解け。得られた式は教科書の式と一致するか。

Exercise 434問題 434

Prove the expression for

{cosh}^{−1} (x) .

Multiply

x = cosh (y) = (1 / 2) (e^{y} - e^{− y})

2 e^{y}

and solve for

y .

Does your expression match the textbook?

{cosh}^{−1} (x)

の式を証明せよ。

x = cosh (y) = (1 / 2) (e^{y} - e^{− y})

に

2 e^{y}

を掛け、

y

について解け。得られた式は教科書の式と一致するか。